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2007年第4届中国东南数学奥林匹克试题及答案


第四届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
(2007 年 7 月 27 日, 8:00-12:00,浙江 ?镇海) 一、 试求实数 a 的个数,使得对于每个 a,关于 x 的三次方程 x3 ? ax ? a ? 1 都 有满足 x ? 1000 的偶数根。
F

二、 如图,设 C、D 是以 O 为圆心、AB 为直 径的半圆上的任意

两点,过点 B 作 ? O 的切线交直线 CD 交于 P, 直线 PO 与直 线 CA、AD 分别交于点 E、F。证明: OE=OF。
i ? ? 三、 设 ai ? min ?k ? k ? N * ? ,试求 k ? ? Sn2 ? ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? ? ?an2 ? 的值,其中 ? ?

D C

P

A

O

B

n ? 2,

? x? 表示不超过 x 的最大整数。

E

四、 求最小的正整数 n,使得对于满足条件 ? ai ? 2007 的任一具有 n 项的正整
i ?1

n

数数列 a1, a2 , ?, an ,其中必有连续的若干项之和等于 30。

第二天
(2007 年 7 月 28 日, 8:00-12:00,浙江 ?镇海) 五、 设函数 f ? x ? 满足: f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 x ? 1( x ? R ),且当 x ? ? 0, 1? 时有
f ? x ? ? 1 ,证明:当 x ? R 时,有 f ? x ? ? 2 ? x 2 。

六、 如图, 直角三角形 ABC 中,D 是斜边 AB 的 中点, MB ? AB ,MD 交 AC 于 N;MC 的 ? 延长线交 AB 于 E。 证明: DBN ? ?BCE 。 七、 试求满足下列条件的三元数组(a, b, c): (i) a<b<c<100,a、b、c 为质数; (ii) a+1、b+1、c+1 组成等比数列。 八、 设正实数 a、b、c 满足:abc=1,求证:对 于整数 k ? 2 ,有
A D

M

N

C

E

B

ak bk ck 3 ? ? ? a?b b?c c?a 2

答案
? 一、 令 x0 ? 2n , 为整数, | 2n |? 1000 , | n 4 n 且 即 |9 , 所以至多取 2 ? 499 ? 1 ? 999 个数,即 n?{?499, ? 498, ? 0,1, ?, 499}。将 x0 ? 2n 代入原方程得 ,
8n 3 ? 1 8n 3 ? 1 a? 。记 f (n) ? ,对任意的 n1, n2 ?{?499, ? 498, ? 0,1, ?, 499} , , 2n ? 1 2n ? 1 x x 当 n1 ? n2 ( n1, n2 ? Z )时,若 f (n1 ) ? f (n2 ) ,设 n1 ? 1 , n2 ? 2 ,其中 x1, x2 是关 2 2 3 于 x 的方程 x ? ax ? a ? 1 ? 0 的两个根,设另一根为 x3 ,由根与系数的关系 x3 ? ?( x1 ? x2 ) ? ? ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ? ?a ? x1 x2 x3 ? a ? 1 ? ? 4 N ? ?a 即? 1 (其中 N1 ? ?(n12 ? n22 ? n1n2 ), N2 ? ?n1n2 (n1 ? n2 ) ) ?8 N 2 ? a ? 1 即 4N1 ? 8N2 ? 1,矛盾! 所以, 对于不同的 n1, n2 ?{?499, ? 498, ? 0,1, ?, 499} , 都有 f (n1 ) ? f (n2 ) , , 于是满足条件的实数 a 恰有 999 个。 【另解】 x3 ? 1 对任意 | x |? 998 ,x 为偶数, a ? 的取值都各不相同。 x ?1 x13 ? 1 x23 ? 1 ? 反证,若存在 x1 ? x2 ,使得 ,其中 x1, x2 为偶数,则 x1 ? 1 x2 ? 1

( x1 ? x2 )( x12 x2 ? x1x22 ? x12 ? x22 ? x1x2 ? 1) ? 0 由于 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,又因为 x12 x2 ? x1x22 ? x12 ? x2 2 ? x1x2 为偶数,所 以 ( x1 ? x2 )( x12 x2 ? x1x2 2 ? x12 ? x2 2 ? x1x2 ? 1) ? 0 ,矛盾。因此满足条件的 a 共有 999 个。
二、 如图,作 OM ? CD 于 M,作 MN//AD, 设 MN ? BA ? N , CN ? DA ? K ,连 BC、 BM,则 ?NBC ? ?ADC ? ?NMC ,因此 N、B、M、C 共圆;又由 O、B、P、M 共圆,得 ?OPM ? ?OBM ? 180? ? ?MCN 所以 CN//OP,于是 CN AN NK ? ? ?(1) OE AO OF
F D C
N M

P

A
K

O

B

E

因 M 为 CD 的中点, MN//DK, N 为 CK 的中点; 则 故由(1)得,OE ? OF 。 【另证】 如图, O 作 OM ? CD 于 M , 过 连结 BC、 BM、 BD、 BE, 因为 OM ? CD ,PB ? AB , 所以 O、 B、P、M 四点共圆,于是 ?BMP ? ?BOP ? ?AOE , ?EAO ? ?BDM , AE AO AB 所以 ?OAE ? ?MDB , ,从而 ? ? BD DM CD ?BAE ? ?CDB , ?EBA ? ?BCD ? ?BAD ,所 OE OB 以 AD//BE, ? ? 1,即 OE=OF。 OF OA
F D M C A O B P

E

i ?1 i ?1 ? ? 三、 设 ai ?1 ? min ?k ? ( k1 ? N * ),则 k ? N * ? ? k1 ? k k1 ? ? i i ?1 ai ? k1 ? ? k1 ? ? ai ?1 ,即数列 ?an ? 严格单增。 k1 k1

m2 ? 2m ,(当 k=m 时取得等号),故 am2 ? 2m ? m ? N * ? ; k m ? m ? 1? ? 2m ? 1 ,而在 k ? m 或 k ? m ? 1时, 又当 k=m、m+1 时, k ? k ? k ? m?? k ? m ? 1? ? 0 ,即 k 2 ? ? 2m ? 1? k ? m ? m ? 1? ? 0 ,亦即 m ? m ? 1? k? ? 2m ? 1 ,所以 am2 ?m ? 2m ? 1 ;再由数列 ?an ? 的单调性,当 k 2 m2 ? m ? i ? ? m ? 1? 时, 2m ? 1 ? ai ? 2 ? m ? 1? ,所以
由于 k ?
?2m, m2 ? i ? m2 ? m ? ? ai ? ? ? 2 2 ?2m ? 1, m ? m ? i ? ? m ? 1? ?
m2 ? 2 m

因此,

i ? m2

? ?a ? ? 2m ? m ? ? 2m ? 1? ? ? m ? 1? ? 4m
i

2

? 3m ? 1 ,于是

Sn2 ? ? ? 4m 2 ? 3m ? 1? ? 2n n ? n ? 1?? 2n ? 1? n ? n ? 1? ? 3? ? ? n ? 1? ? 2n 6 2 8n3 ? 3n 2 ? 13n ? 6 ? 6 ? 4?
m ?1

n ?1

四、 首先,我们可以构造一个具有 1017 项的整数数列 a1, a2 ,?, a1017 ,使其中不 存在和为 30 的连续项;为此,取 a1 ? a2 ? ? ? a29 ? 1, a30 ? 31,以及

a30m?i ? ai , i ??1,2,?,30?, m ? N ,即 ?ak ? 为: 1,1,?,1,31, 1,1,?,1,31, 1,1,?,1,31, ? 1,1,?,1,31, 1,1,?,1 (共有 34 段, 33 段中每段各有 30 个项, 前 最后一段有 27 个项, 共计 1017 个项),其次,当项数少于 1017 时,只须将某些段中连续的若干个数合并 成较大的数即可。
对于满足条件 ? ai ? 2007 的任一个具有 1018 项的正整数数列 a1, a2 ,?, a1018 ,
i ?1 1018

我们来证明,其中必有连续的若干项之和等于 30。为此,记
Sk ? ? ai , k ? 1,2,?,1018 ,则1 ? S1 ? S2 ? ? ? S1018 ? 2007 。今考虑集
k i ?1

?1,2,?,2007? 中元素的分组:
(1, 31), (61, 91), (121,151), ? (60k ? 1, 60k ? 31), (2, 32), (62, 92), (122,152), ? (60k ? 2, 60k ? 32), ?, ?, (30, 60), (90,120), ?, (150,180), ? ? ?, (60k ? 30, 60( k ? 1)),

? ? ? ? (60 ? 32 ? 1, 60 ? 32 ? 31), (60 ? 32 ? 2, 60 ? 32 ? 32), ?, (60 ? 32 ? 30, 60 ? 33), 1981 1982 ?, 2007 其中有 33× 30=990 个括号以及 27 个未加括号的数, 从中任取 1018 个数作 为 Sk 的取值,必有两数取自同一括号,设为 ? Sk , Sk ?m ? ,则 Sk ?m ? Sk ? 30 , 即该数列中 ak ?1 ? ak ?2 ? ? ? ak ?m ? 30 。因此 n 的最小值为 1018。
五、 令 g ? x ? ? f ? x ? ? x 2 ,则 g ? x ? 1? ? g? x ? f? x?1? ? f ? ? x?? ? ? x ? 1
2

? 2x ? , 0

所以 g ? x ? 是 R 上以 1 为周期的周期函数;又由条件当 x ? ? 0, 1? 时有 以周期函数 g ? x ? 在 R 上有 g ? x ? ? 2 ,据此知,在 R 上,
f ? x ? ? g ? x ? ? x2 ? g ? x ? ? x2 ? 2 ? x2 。

f ? x ? ? 1 ,可得,当 x ? ? 0, 1? 时, g ? x ? ? f ? x ? ? x 2 ? f ? x ? ? x 2 ? 2 ,所

六、 如图, 延长 ME 交 ?ABC 的外接圆于 F, 延长 MD 交 AF 于 K,作 CG//MK,交 AF 于 G, 交 AB 于 P,作 DH ? CF 于 H,则 H 为 CF 的中点。连 HB、HP,则 D、H、B、M 共圆, 故 ?HBD ? ?HMD ? ?HCP , 于是 H、 C、 B、 P 共圆,所以 ?PHC ? ?ABC ? ?AFC ,故 PH//AF。即 PH 为 ?CFG 的中位线,P 是 CG 的中点。则 AP 为 ?ACG 的边 CG 上的中线,

M

N P E A K G F D H

C

B

又因 NK//CG,故 D 是 NK 的中点,即线段 AB 与 NK 互相平分,所以 K A ?F B ? F B C ? C E ? ?DBN ? ?DAK , ?D ?B 而 A ? , 即有 ?DBN ? ?BCE 。 七、 据条件,

? a ? 1?? c ? 1? ? ? b ? 1?

2

?(1)

设 a ? 1 ? n2 x, c ? 1 ? m2 y , 其中 x、 不含大于 1 的平方因子, y 则必有 x=y, 这是由于,据(1), 2 2 ? mn ? xy ? ? b ? 1? ?(2) 则 mn ? b ? 1? ,设 b ? 1 ? mn ? w ,于是(2)化为,

xy ? w2 ?(3) 若 w ? 1 ,则有质数 p1 w ,即 p12 w2 ,因 x、y 皆不含大于 1 的平方因子,因
此 p1 x , p1 y 。设 x ? p1x1, y ? p1 y1, w ? p1w1 ,则(3)化为

x1 y1 ? w12 ?(4) 2 若仍有 w1 ? 1,则又有质数 p2 w1 ,即 p2 w12 ,因 x1 , y1 皆不含大于 1 的平方
因子,则 p2 x1 , p2 y1 ,设 x1 ? p2 x2 , y1 ? p2 y2 , w1 ? p2w2 ,则(4)化为,
2 x2 y2 ? w2 ,??,如此下去,因(3)式中 w 的质因子个数有限,故有 r,使 wr ? 1 , 而从 xr yr ? wr2 得, xr ? yr ? 1,从而 x ? p1 p2 ? pr ? y ,改记 x=y=k,则有, ?a ? kn 2 ? 1 ? ?b ? kmn ? 1 ? (5) ?c ? km 2 ? 1 ? 其中 1 ? n ? m, a ? b ? c ? 100 ?(6) k 无大于1 的平方因子,并且 k ? 1,否则若 k=1,则 c ? m2 ? 1 ,因 c 大于第 三个质数 5,即 c ? m2 ? 1 ? 5 , m ? 3 ,得 c ? m2 ? 1 ? ? m ? 1?? m ? 1? 为合数, 矛盾。因此 k 或为质数,或为若干个互异质数之乘积,(即 k 大于 1,且无 大于 1 的平方因子)。我们将其简称为“k 具有性质 p” 。 (i) 据(6), m ? 2 。 ?a ? k ? 1 ? 当 m=2,则 n=1,有 ?b ? 2k ? 1,因 c<100,得 k<25; ?c ? 4 k ? 1 ? 若 k ? 1? mod3? ,则 3 c 且 c>3,得 c 为合数; 若 k ? 2 ? mod3? : 在 k 为偶数时,具有性质 p 的 k 有 2、14,分别给出 a ? 2 ? 1 ? 1, b ? 2 ?14 ? 1 ? 27 不为质数;

当 k=3 时,给出解 f1 ? ? a, b, c ? ? ? 2,5,11? ; 当 k=6 时,给出解 f 2 ? ? a, b, c ? ? ? 5,11,23? ; 当 k=15、21 时,分别给出的 a ? k ? 1 皆不为质数; 若 m=3,则 n=2 或 1。 ? a ? 4k ? 1 ? 在 m=3、n=2 时, ?b ? 6k ? 1 ,因质数 c ? 97 ,得 k ? 10 ,具有性 ?c ? 9k ? 1 ? 质 p 的 k 值有 2、3、5、6、7、10: 在 k 为奇数 3、5、7 时,给出 c ? 9k ? 1皆为合数; 在 k=6 时,给出 b ? 6k ? 1 ? 35 为合数; 在 k=10 时,给出 a ? 4k ? 1 ? 39 为合数; 在 k=2 时,给出解 f3 ? ? a, b, c ? ? ? 7,11,17 ? ;

k 为奇数时,具有性质 p 的 k 值有 5、11、17、23,分别给 出的 a ? k ? 1皆不为质数; 若 k ? 0 ? mod3? ,具有性质 p 的 k 值有 3、6、15、21:

(ii)

? a ? 4k ? 1 ? 在 m=3、n=1 时, ?b ? 6k ? 1 , k ? 10 ,具有性质 p 的 k 值有 2、 ?c ? 9k ? 1 ? 3、5、6、7、10: 在 k 为奇数 3、5、7 时,给出的 b ? 3k ? 1皆为合数; 在 k=2 和 10 时,给出的 a ? k ? 1不为质数; 在 k=6 时,给出解 f 4 ? ? a, b, c ? ? ? 5,17,53? ; m=4 时, c ? 16k ? 1 ? 97 得 k ? 6 , 由 具有性质 p 的 k 值有 2、 5、 3、 6。 在 k=6 时, c ? 16 ? 6 ? 1 ? 95 为合数; ?a ? 5n 2 ? 1 在 k=5 时, ? ,因 n ? m ? 4 ,则 n 可取 1、2、3,分别得到 b ? 20n ? 1 ? a、b 至少一个不为质数; ?a ? 3n 2 ? 1 在 k=3 时, c ? 48 ? 1 ? 47 , ? ,因 n ? m ? 4 : b ? 12n ? 1 ? 在 n=3 时给出的 a、b 为合数; 在 n=2 时给出解 f5 ? ? a, b, c ? ? ?11,23,47 ? ; 在 n=1 时给出解 f6 ? ? a, b, c ? ? ? 2,11,47 ? ;
? a ? 2n 2 ? 1 在 k=2 时, c ? 16k ? 1 ? 31 , ? , n ? m ? 4 ,只有在 n=3 时 b ? 8n ? 1 ? 给出解 f7 ? ? a, b, c ? ? ?17,23,31? ; m=5 时, c ? 25k ? 1 ? 97 ,具有性质 p 的 k 值有 2、3,分别给出

(iii)

(iv)

c ? 25k ? 1为合数; m=6 时, c ? 36k ? 1 ? 97 ,具有性质 p 的 k 值只有 2,因此可以得到 ? a ? 2n 2 ? 1 c ? 2 ? 36 ? 1 ? 71 ,这时 ? , n ? m ? 6 ,只有在 n=2 时给出 b ? 12n ? 1 ? 解 f8 ? ? a, b, c ? ? ? 7,23,71? ; n=4 时给出解 f9 ? ? a, b, c ? ? ? 31,47,71? ; 在

c m=7 时, ? 49k ? 1 ? 97 , 具有性质 p 的 k 值只有 2 得 c ? 2 ? 49 ? 1 ? 97 , ? a ? 2n 2 ? 1 而 n ? m ? 7, ? ,只有在 n=3 时给出解 b ? 14n ? 1 ? 在 f10 ? ? a, b, c ? ? ?17,41,97 ? ; n=6 时给出解 f11 ? ? a, b, c ? ? ? 71,83,97 ? ; (vi) m ? 8 时, c ? 64k ? 1 ? 97 ,具有性质 p 的 k 值不存在。 因此,满足条件的解共有 11 组,即为上述的 f1, f2 ,?, f11 。

(v)

ak 1 1 1 1 ak k k ? (a ? b) ? ? ? ? ? ? k ? k ? a ,所以 八、 因为 a?b 4 2 2 2 2 ????? 2
k ?2 个 1 2

ak k 1 k ?2 ? a ? ( a ? b) ? a?b 2 4 2 k k b k 1 k ?2 c k 1 k ?2 同理可得 , 。 ? b ? (b ? c) ? ? c ? (c ? a ) ? b?c 2 4 2 c?a 2 4 2 三式相加可得 ak bk ck k 1 3 ? ? ? (a ? b ? c) ? (a ? b ? c ) ? (k ? 2) a?b b?c c?a 2 2 2 (k ? 1) 3 ? (a ? b ? c) ? (k ? 2) 2 2 3 3 ? (k ? 1) ? (k ? 2) 2 2 3 ? 2


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