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第14课


第 14 课
◇考纲解读

函数的单调性

理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义

◇知识梳理;
1.函数单调性的定义:如果函数 f ? x ? 对区间 D 内的任意 _________,则 f ? x ? 在 D 内是增函数;当 x 1 ? x 2 时都有_________,则 f ? x ?

在 D 内时减函 数. 2.设 x 1 , x 2 ? ?a , b ? ,那么
f ? x1 ? ? f ? x 2 x1 ? x 2

x 1 , x 2 ,当 x 1 ? x 2 时都有

?

? 0 ? f ? x ? 在 ? a , b ? 是_________;

f ? x1 ? ? f ? x 2 x1 ? x 2

?

? 0 ? f ? x ? 在 ? a , b ? 是_________.

3.关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①奇函数在其对称区间上的单调性_________; ②偶函数在其对称区间上的单调性_________; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x ) ? 增函数 g ( x ) 是_________;减函数 f ( x ) ? 减函数 g ( x ) 是_________; 增函数 f ( x ) ? 减函数 g ( x ) 是_________;减函数 f ( x ) ? 增函数 g ( x ) 是_________. ④函数 y ? ax ?
b x (a ? 0, b ? 0)

在______________________ 上单调递增;在____________________上是单调递减.

◇基础训练
1.函数 f ( x ) ? x ? A. (-3,3)
9 x

的单调递增区间是 (

) C. (-3,+∞) ) C. y ? x ? 1 D. y ? x 2 ? 2 x ? 1 D. (-3,0)(0,3) ,

B. ( ?? , ? 3 ), ( 3 , ?? )

2.下列函数中,在区间 ( 0 , 2 ) 上递增的是( A. y ?
1 x

B. y ? ? x

3. 如果奇函数 f ( x ) 在区间 [ 3, 7 ] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f ( x ) 在区间 ?? 7 , ? 3 ? 上是 ( ) A 增函数且最小值是 ? 5 B 增函数且最大值是 ? 5 C 减函数且最大值是 ? 5 D 减函数且最小值是 ? 5 4.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,它在 [ 0 , ?? ) 上递减,那么一定有 ( )
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A. C.

f (?

3 4

) ? f (a

2

? a ? 1)

B. D.

f (?

3 4

) ? f (a

2

? a ? 1)

f (?

3 4

) ? f (a

2

? a ? 1)

f (?

3 4

) ? f (a

2

? a ? 1)

◇典型例题
例 1.若函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 ( a ? 1) x ? 2 在区间 (?? , 4 ] 上是减函数,则实数 a 的取值范 围是_________.

变式:已知 y ? x 2 ? 2 ( a ? 2 ) x ? 5 在区间 ( 4, ? ? ) 上是增函数,则 a 的范围是( A
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a ? ?2

B

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a ? ?2

C

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a ? ?6

D

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a ? ?6

例 2.

已知函数 f ( x ) 的定义域是 x ? 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1 , x 2 都有

f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时 f ( x ) ? 0, f (2) ? 1 ,

(1)求证: f ( x ) 是偶函数; (2) f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是增函数;

◇能力提升
1. f ( x ) 为 ( ?? , ?? ) 上的减函数, a ? R ,则 ( )

A. f ( a ) ? f ( 2 a ) B. f ( a 2 ) ? f ( a ) C. f ( a 2 ? 1) ? f ( a ) D. f ( a 2 ? a ) ? f ( a ) 2. (2008 深圳二模)已知函数 y ? f ( x ) 是偶函数,当 x ? 0 时,有
x ? [ ? 3 , ? 1] , f ( x )
f (x) ? x ? 4 x

,且当

的值域是 [ n , m ] ,则 m ? n 的值是( B.
2 3

) D.
4 3

A.

1 3

C. 1

3.设 f ( x ) 是奇函数,且在 (0, ? ? ) 内是增函数,又 f ( ? 3) ? 0 ,则 x ? f ( x ) ? 0 的解集是( A C
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?x | ? 3 ? ?x |

x ? 0 x ? ?3 或

B

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?x |
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x? ?3 或 0 ? x ? ?3 x ?0 或 0 ?x ? 3 ?

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x? ?3 或 x?? 3

D

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?x | ? 3 ?

4. (2008 惠州调研)已知定义域为(-1, 1)的奇函数 y=f (x)又是减函数, f (a-3)+f (9-a2)<0, 且 则 a 的取值范围是( ) A.(2 2 ,3) B.(3, 10 ) C.(2 2 ,4) D.(-2,3)

5.若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 (?? , 0 ] 上是减函数,且 f ( x ) ? 0 ,则使得
f ( x ) ? 0的 x 的取值范围是(

) C. ( ?? , ? 2 ) ? ( 2 , ?? ) D. (-2,2)

A. (?? , 2 )

B. ( 2 , ?? )

6.已知函数 y ? f ( x ) 的定义域为 R ,且对任意 a , b ? R ,都有 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) ,且当
x ? 0 时, f ( x ) ? 0 恒成立,证明:

(1)函数 y ? f ( x ) 是 R 上的减函数; (2)函数 y ? f ( x ) 是奇函数
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函数的单调性

◇知识梳理
1.增函数;减函数 2.增函数;减函数。3.①相同;②相反;③增函数;减函数;增函数; 减函数。④ ? ? ? , ?
? ? ? ? b ? ?或 ? a ? ? b ? ? , ?? ? ; ?? ? a ? ? b ? ,0?或 ? a ? ? b ? ? 0, ? ? a ? ?

◇基础训练
1. B, 2. B ,3. A , 4. B.

◇典型例题
例 1.解:∵ f ( x ) ? x 2 ? 2 ( a ? 1) x ? 2 在区间 (?? , 4 ] 上是减函数, ∴ f ( x ) 的对称轴 x ? 1 ? a ? 4 ,∴ a ? ? 3 . 变式:B 例 2. (1) x1 ? x 2 ? 1 , f () ? ()f 解: 令 得 1 2 1 , f () ? ∴ 1 0 , x1 ? x 2 ? ? 1 , f ( ?1 ? 令 得 ) 0 ,

∴ f ( ? x ) ? f ( ? 1 ? x ) ? f ( ? 1) ? f ( x ) ? f ( x ) ,∴ f ( x ) 是偶函数. (2)设 x 2 ? x1 ? 0 ,则
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 x1

)

∵ x 2 ? x1 ? 0 , ∴

x2 x1

?1, f ( ∴

x2 x1

) ? 0 , f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 即 ∴

∴ f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是增函数.

◇能力提升
1.C , 2.C , 3. D , 4.A, 5. D

6. 证明:(1)设 x1 ? x 2 ,则 x1 ? x 2 ? 0 ,而 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) ∴ f ( x1 ) ? f ( x1 ? x 2 ? x 2 ) ? f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 2 ) ∴函数 y ? f ( x ) 是 R 上的减函数; (2)由 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) 得 f ( x ? x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) 即 f ( x ) ? f ( ? x ) ? f (0) ,而 f (0) ? 0 ∴ f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,即函数 y ? f ( x ) 是奇函数
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