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2011新高一数学函数的单调性与最值教案[1] 2


高一数学——函数
第三讲 函数的单调性与最大(小)值 【教学目标】 : (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性; (4)理解函数的最大(小)值及其几何意义。 【重点难点】 : 1.重点:函数的单调性、最大(小)值及其几何意义, 2.难点: 利用函

数的单调性定义判断、证明函数的单调性,利用函数的单调性求函数的最大(小)值。 【教学过程】 :用具:
一、知识导向或者情景引入 1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 -1 -1 y 1 (2)f(x) = -2x+1 1 ○ 从左至右图象上升还是下降 ______? 2 ○ 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 大,f(x)的值随着 ________ . (3)f(x) = x2 1 ○在区间 ____________ 上,f(x)的值随 着 x 的增大而 ________ . 2 ○ 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 着 x 的增大而 ________ . -1 -1 1 x 1 x y 1 1 x

(1)随 x 的增大,y 的值有什么变化? (2)能否看出函数的最大、最小值? (3)函数图象是否具有某种对称性? 2、画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f(x) = x 1 ○ 从左至右图象上升还是下降 ______? 2 ○ 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 大,f(x)的值随着 ________ .

y 1 -1 -1 1 x

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二、新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数
一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, 2, x1<x2 时, x 当 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数(increasing function) . 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义. (学生活动) 注意:
1 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;单调性是与“区间”

紧密相关的概念,一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) .注意“任意”两字绝不能丢 掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换,两个任意的自变量是属于同一个单调区间。 2.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调 性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方) ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . 4、判定函数单调性的常见方法 (1)定义法:如上述步骤,这是证明或判定函数单调性的常用方法 (2)图象法:根据函数图象的升降情况进行判断。 (3)直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可 直接说出。直接判定函数的单调性,可用到以下结论:

(3.1)函数 y ? ? f ( x)与函数y ? f ( x) 的单调性相反 (3.2)函数 y (x) 恒为正或恒为负时,函数 y ?

1 与y ? f ( x) 的单调性相反。 f ( x)

(3.3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数 等

提醒:书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定,习惯上,若函数在区间端点处 有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间。
(二)典型例题 例 1. (教材 P29 例 1)根据函数图象说明函数的单调性. 解:见教材 例 2. (教材 P29 例 2)根据函数单调性定义证明函数的单调性. 解:见教材 巩固练习: 证明函数 y ? x ?

1 在(1,+∞)上为增函数。 x

例 3.借助计算机作出函数 y =-x2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间.

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解: 用几何画板画,用 A3 打印,由学生看图回答。 思考:画出反比例函数 y ?

1 的图象. x

1 ○ 这个函数的定义域是什么? 2 ○ 它在定义域 I 上的单调性怎样?证明你的结论. 说明:本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象.

归纳小结,强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的 单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 (三)函数的最大(小)值
画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题: 1 ○ 说出 y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; 2 ○ 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (3) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 (2) f ( x) ? ?2 x ? 3 x ?[?1,2] (4) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1

x ?[?2,2]

(3.1)函数最大(小)值定义 1.最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) . 思考:仿照函数最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值(Minimum Value)的定义. (学生活动)

注意:
1 ○ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; 2 ○ 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x) ≥M) . 2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最小值 f(b);
(3.2)典型例题

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例 1. (教材 P30 例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解: (略) 说明:对于具有实际背景的问题,首先要仔细审清题意,适当设出变量,建立适当的函数模型,然后利用二次 函数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值. 巩固练习:如图,把截面半径为 25 25cm 的圆形木头锯成矩形木料, 如果矩形一边长为 x,面积为 y 试将 y 表示成 x 的函数,并画出 函数的大致图象,并判断怎样锯 才能使得截面面积最大?

本题是在教材 23 页练习第一题的增加(正方形)
例 2. (新题讲解) 旅 馆 定 价 一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的数据如下: 房价(元) 160 140 120 100 住房率(%) 55 65 75 85

欲使每天的的营业额最高,应如何定价? 解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为 160 元,并假设在各价位之间,房价与住房率之间存在线性 关系. 设 y 为旅馆一天的客房总收入, x 为与房价 160 相比降低的房价,因此当房价为 (160 ? x) 元时,住房率 为 (55 ?

x ?10)% ,于是得 20 x ?10)% . 20

y =150· (160 ? x) · (55 ?
由于 (55 ?

x ?10)% ≤1,可知 0≤ x ≤90. 20 因此问题转化为:当 0≤ x ≤90 时,求 y 的最大值的问题. 将 y 的两边同除以一个常数 0.75,得 y 1=- x 2+50 x +17600. 由于二次函数 y 1 在 x =25 时取得最大值, 可知 y 也在 x =25 时取得最大值, 此时房价定位应是 160-25=135
(元) ,相应的住房率为 67.5%,最大住房总收入为 13668.75(元) . 所以该客房定价应为 135 元. (当然为了便于管理,定价 140 元也是比较合理的) 例 3. (教材 P31 例 4)求函数 y ?

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

解: (略) 注意:利用函数的单调性求函数的最大(小)值的方法与格式.

三、课堂练习 1、教材 32 页练习

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2、提高作业:快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出,如下图,各沿箭头方向航行,快艇和轮船的速度分别是 45 km/h 和 15 km/h,已知 AC=150km,经过多少时间后,快艇和轮船之间的距离最短? B A C

D

3、函数 y ? ? x 2 的单调增区间为( A A、 (??,0] B、 [0,??) C、 (0,??)

) (世纪) D、 (??,??) (世纪) (世纪)

4、若 f ( x)是R上的增函数,且 ( x1 ) ? f ( x2 ),则x1与x2 的大小关系是 f 5、设函数 f ( x)是(??,??)上的减函数,则 (a 2 ? 1)与f (a) 的大小是 f 6、函数 y ? ? x 2 ? 2x 在[1,2]上的最大值为( A、1 B、2 C、-1 D、不存在 (世纪) ) (世纪)

7、设 f ( x) ? x 2 ? px ? q, 若f ( x) 的最小值为 0,则 q 为
8、证明函数 f ( x) ? 3x ? 2是(? ?, ?) 上的增函数。 (世纪) ?

9、证明函数 f ( x) ? x ?

1 在(0,1) 上为减函数。 (世纪) x

10、作出函数 f ( x) ?

(世纪) x 2 ? 6 x ? 9 ? x 2 ? 6 x ? 9 的图象,并指出函数 f (x) 的单调区间。

11、已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2在区间 ??,4] 上是减函数,求实数 a 的取值范围。 (世纪) (

12、 (易错题)已知 f (x) 是定义在[-1,1]上的增函数,且 f ( x ? 2) ? f (1 ? x),求x 的取值范围。 (世纪)

13、求函数 f ( x ) ?

x 在区间[2,5]上的最大值与最小值。 (世纪) x ?1

14、求二次函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 7 在区间[-2,2]上的最大值和最小值。 (世纪)
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四、作业 1、设 (a, b), (c, d ) 都是函数 f (x) 的单调增区间,且 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ), x1 ? x2 , 则f ( x1 )与f ( x2 ) 的大 小关系是( D A、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) A、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) (世纪) B、 f ( x1 ) ? f ( x2 )
2

C、 f ( x1 ) ? f ( x2 )

D、不能确定

2、 (2006 年陕西卷)已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3), 若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1 ? a, 则 (A) B、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( C ) C、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) D、 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不能确定 3、在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 A.y=2x+1 B.y=3x2+1 C.y=

2 x

D.y=2x2+x+1

4、函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数, 则 f(1)等于( D ) A.-7 B.1 C.17 D.25 5、函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 ( B ) A.(3,8) B.(-7,-2) C.(-2,3) D.(0,5) 6、已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内( D ) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根 7、已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式|f(x+1)|<1 的解集的补集是 ( D ) A.(-1,2) B.(1,4) C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1)∪[2,+∞) 8、已知函数 f ?x ? ?x 2 ? 2 ? ? 1 ? ? 2 在区间?? ?,4? 上是减函数,则实数a 的取值范围是( A a x )

A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3 3 9、函数 f(x)=-x +1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数还是减函数?试证明你的结论. 解析: f(x)在 R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下: 设 x1、x2∈(-∞,+∞), x1<x2 ,则 f(x1)=-x13+1, f(x2)=-x23+1. f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+ ∵x1<x2,∴x2-x1>0 而(x1+

x2 2 3 2 ) + x2 ] . 4 2

x2 2 3 2 ) + x2 >0,∴f(x1)>f(x2). 4 2

∴函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,+∞)上是减函数. 10、已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取值范围. 解析: ∵f(x)在(-2,2)上是减函数 ∴由 f(m-1)-f(1-2m)>0,得 f(m-1)>f(1-2m)

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? ?? 1 ? m ? 3 ?? 2 ? m ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1 ∴ ?? 2 ? 1 ? 2m ? 2,即?? ? m ? 2 ?m ? 1 ? 1 ? 2 m ? 2 ? 2 ? ?m ? 3 ?

解得 ?

1 2 1 2 ? m ? ,∴m 的取值范围是(- , ) 2 3 2 3

11、求函数 y ? x 2 ? 2 x 在[2,4)上的最值、值域。 (世纪)

12、f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f ( (1)求 f(1)的值. (2)若 f (6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f( 解析:①在等式中 令x ? y ? 0 ,则 f(1)=0. ②在等式中令 x=36,y=6 则 f (

x ) = f(x)-f(y) y

1 ) <2 . x

36 ) ? f (36) ? f (6), ? f (36) ? 2 f (6) ? 2. 6

故原不等式为: f ( x ? 3) ? f ( ) ? f (36), 即 f[x(x+3)]<f(36), 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,

1 x

?x ? 3 ? 0 ?1 153 ? 3 ? 故不等式等价于: ? ? 0 ?0? x? . 2 ?x ?0 ? x( x ? 3) ? 36 ?

五、预习:函数的奇偶性
六、备用题 1、试讨论函数 f(x)= 1 ? x 2 在区间[-1,1]上的单调性. 设 x1、x2∈-1,1]且 x1<x2,即-1≤x1<x2≤1. f(x1)-f(x2)= 1 ? x1 - 1 ? x 2 =
2

2

(1 ? x1 ) ? (1 ? x2 )
2 2

1 ? x1 ? 1 ? x2
2

2

=

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) 1 ? x1 ? 1 ? x2
2 2

∵x2-x1>0, 1 ? x1 ? 1 ? x 2 >0,∴当 x1>0,x2>0 时,x1+x2>0,那么 f(x1)>f(x2).
2 2

当 x1<0,x2<0 时,x1+x2<0,那么 f(x1)<f(x2). 故 f(x)= 1 ? x 2 在区间[-1,0]上是增函数,f(x)= 1 ? x 2 在区间[0,1]上是减函数.

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2、设函数 f(x)= x 2 ? 1 -ax,(a>0),试确定:当 a 取什么值时,函数 f(x)在 0,+∞)上为单调函数. 解析:任取 x1、x2∈0,+ ? ? 且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= x1 ? 1 - x 2 ? 1 -a(x1-x2)=
2 2

x1 ? x2
2 2

2 2

x1 ? 1 ? x2 ? 1

-a(x1-x2)

=(x1-x2)(

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
2 2

-a)

(1)当 a≥1 时,∵

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
2 2

<1,

又∵x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ∴a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为减函数. (2)当 0<a<1 时,在区间[0,+∞]上存在 x1=0,x2= ∴0<a<1 时,f(x)在[0,+ ? ? 上不是单调函数 注: ①判断单调性常规思路为定义法; ②变形过程中

2a ,满足 f(x1)=f(x2)=1 1? a2

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
2 2

<1 利用了 x1 ? 1 >|x1|≥x1; x 2 ? 1 >x2;
2 2

③从 a 的范围看还须讨论 0<a<1 时 f(x)的单调性,这也是数学严谨性的体现. 3、已知函数 f(x)= (1)当 a=

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞] x

(此题可用于做单元考题)

1 时,求函数 f(x)的最小值; 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

解析: (1)当 a=

1 1 时,f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞) 2 2x
x ? x2 1 1 1 ? x1 ? =(x2-x1)+ 1 =(x2-x1)(1- ) 2 x1 x 2 2 x1 x 2 2 x2 2 x1 1 >0,则 f(x2)>f(x1) 2 x1 x 2

设 x2>x1≥1,则 f(x2)-f(x1)=x2+

∵x2>x1≥1,?∴x2-x1>0,1-

可知 f(x)在[1,+∞)上是增函数.∴f(x)在区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= (2)在区间[1,+∞ ) 上,f(x)=

7 . 2

x2 ? 2x ? a >0 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成立 x 设 y=x2+2x+a,x∈1,+∞),由 y=(x+1)2+a-1 可知其在[1,+∞)上是增函数, 当 x=1 时,ymin=3+a,于是当且仅当 ymin=3+a>0 时函数 f(x)>0 恒成立.故 a>-3.

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4、函数 f (x) 是定义在 (0,??) 上的减函数,对任意的 x, y ? (0,??),都有f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1

且 f (4) ? 5 。 (1)求 f (2) 的值; (2)解不等式 f (m ? 2) ? 3 。 (世纪)

5、已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,对 x∈R 有 f(x)>0,且 f(5)=1,设 F(x)= f(x)+
证明你的结论。 (此题可用于做单元考题) 解:这是抽象函数的单调性问题,应该用单调性定义解决。 在 R 上任取 x1、x2,设 x1<x2,∴f(x2)= f(x1),

1 ,讨论 F (x)的单调性,并 f ( x)

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? [ f ( x2 ) ? ? [ f ( x 2 ) ? f ( x1 )][1 ?

1 1 ] ? [ f ( x1 ) ? ] f ( x2 ) f ( x1 )

1 ], f ( x1 ) f ( x2 )

∵f(x)是 R 上的增函数,且 f(10)=1, ∴当 x<10 时 0< f(x)<1, 而当 x>10 时 f(x)>1; ① 若 x1<x2<5,则 0<f(x1)<f(x2)<1, ② ∴0< f(x1)f(x2)<1, ∴1 ?

1 <0, f ( x1 ) f ( x2 )

∴F (x2)< F(x1); ②若 x2 >x1>5,则 f(x2)>f(x1)>1 , ∴f(x1)f(x2)>1, 1 ∴1 ? >0, f ( x1 ) f ( x2 ) ∴ F(x2)> F (x1); 综上,F (x)在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数。 点评:该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题,其基本能力是变量代 换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点。

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