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高中数学数列习题(含答案)

时间:2014-01-10


一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.下列四个数中,哪一个是数列{ n(n ? 1) }中的一项 ( ) (A)380 (B)39 (C)35 (D)23 2.在等差数列 {an} 中,公差 d ? 1 , a4 ? a17 ? 8 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 的值为(

) (A)40 (B)45 (C)50 (D)55 3. 一套共 7 册的书计划每 2 年出一册, 若各册书的出版年份数之和为 13979, 则出齐这套书的年份是 ( ) (A)1997 (B)1999 (C)2001 (D)2003 4.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的 2 倍,又它的首项为 1,且中间两项的和 为 24,则此等比数列的项数为( ) (A)12 ,ac=-9 5.在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于( )

A.40 B.42 C.43 D.45 6.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A.5 B.4 C. 3 D. 2 7.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = ( ) A. 81 B. 27 5 27 C.



3

D. 243

8. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 ?an ? 1? 也是等比数列,则 S n 等于( ) (A) 2
n ?1

?2

(B)

3n

(C) 2n

(D) 3n ? 1

9.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ? ( ) A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 ) D. 5 ) 1 (D) 9

10.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? ( C. 6 S3 1 S6 11.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = ( S6 3 S12 3 (A) 10 1 (B) 3
1 n ? n ?1

A. 8

B. 7

1 (C) 8

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 1.在数列 {an} 中, an ? ,且 Sn ? 9 ,则 n ? .

2.等比数列 {an} 的前三项为 x , 2x ? 2 , 3x ? 3 ,则 a4 ? 3. 若数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1, a n?1 ? 2a n .n ? 1 ,2,3….则 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 4.设 S n 为等差数列 ?a n ?的前 n 项和, S 4 =14,S10- S 7 =30,则 S9= 5.在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? 三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分) 1.已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? . 。

.

20 ,求 ?an ? 的通项式。 3
1

2.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S4 ? 1, S8 ? 17, 求通项公式an ? ? 3. 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an . 4.数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n , a1 ? 1, an ?1 ? 2S n ? 1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b 3 成等比数列, 求 Tn

答案
ABDCB CACBDA 4.解:由等比数列的性质可得 ac=(-1)×(-9)=9,b×b=9 且 b 与奇数项的符号相同,故 b=-3, 选B 8【解析】因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2q 则
n ?1

,因数列 ?an ? 1? 也是等比数列,

(an ?1 ? 1) 2 ? (an ? 1)(an ? 2 ? 1) ? an ?12 ? 2an ?1 ? an an ? 2 ? an ? an ? 2 ? an ? an ? 2 ? 2an ?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q ) ? 0 ? q ? 1

即 an ? 2 ,所以 S n ? 2n ,故选择答案 C。 9 【 解 析 】 ?an ? 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 , 则

a2 ? 5



a1a3 ? (5 ? d )(5 ? d ) ? 16 ,∴ d=3, a12 ? a2 ? 10d ? 35 , a11 ? a12 ? a13 ? 105 ,选 B.
11 解析:由等差数列的求和公式可得

S3 3a1 ? 3d 1 ? ? , 可得a1 ? 2d 且 d ? 0 S6 6a1 ? 15d 3

所以

S6 6a1 ? 15d 27 d 3 ? ? ? ,故选 A S12 12a1 ? 66d 90d 10

填空题
99

?

27 2

2n ? 1 ? 2n ? 1 2 ?1

54

2n-1

3 解 : 数 列 ?a n ? 满 足 : a1 ? 1, an?1 ? 2an , n ? 1 , 2 , 3… , 该 数 列 为 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , ∴
a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

2n ? 1 ? 2n ? 1 . 2 ?1

4 解:设等差数列 ?a n ?的首项为 a1,公差为 d,由题意得 4a1 ?

[10a1 ?

10(10 ? 1) 7(7 ? 1) 9(9 ? 1) d ] ? [7a1 ? d ] ? 30 ,联立解得 a1=2,d=1,所以 S9= 9 ? 2 ? ? 1 ? 54 2 2 2
2

4(4 ? 1) d ? 14, 2

5 解:由 an?1 ? an ? 2(n ? 1) 可得数列 {an } 为公差为 2 的等差数列,又 a1 ? 1 ,所以 an ? 2n-1

解答题
a3 2 1 解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q q q 所以 2 20 1 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, q 3 3

1 1 - 18 - 当 q1= , a1=18.所以 an=18× ( )n 1= n-1 = 2× 33 n. 3 3 3 当 q=3 时, a1= 2 2 - , 所以 an= × 3n-1=2× 3n 3. 9 9

2 解:设 {an } 的公比为 q,由 S4 ? 1, S8 ? 17知q ? 1 ,所以得

a1 (q 4 ? 1) ? 1 …① q ?1

a1 (q 8 ? 1) q8 ? 1 ? 17 ……②由①、②式得整理得 4 ? 17 解得 q 4 ? 16 q ?1 q ?1
所以 q=2 或 q=-2

1 2n ?1 ,所以 a ? 15 15 1 (?1)n ? 2n ?1 将 q=-2 代入①式得 a1 ? ? ,所以 an ? 5 5 3 解析:解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时,a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3.
将 q=2 代入①式得 a1 ? 4 解: (Ⅰ)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2 S n ?1 ? 1? n ? 2 ? ,两式相减得 an ?1 ? an ? 2an , an ?1 ? 3an ? n ? 2 ? 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n ?1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公差为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9
2

由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3?

解得 d1 ? 2, d 2 ? 10

∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴ d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?

n ? n ? 1? 2

? 2 ? n 2 ? 2n

3


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