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方程的根与函数的零点(复习课)


方程的根与函数的零点 复习课
福州十八中 张晶

要点解析
函数的零点的定义什么?
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点.
零点的求法

代数法

图象法

等价关系

方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

数形结合
若f ( x) ? g ( x)有解x0

y ? f ( x)与y ? g ( x)有交点( x0 , y0 )

函数零点的判定(零点存在性定理)填空,口答
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 f(a)· f(b)<0 ,那么函数y=f(x)在区 一条曲线,并且有__________ (a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 间_________ c 也就是f(x)=0的根. f(c)=0 ,这个__ _______

*应用零点存在性定理应注意哪几个条件?

一题多变
题型一 求函数的零点 求根 定零点

x ? 2 ? ? 2, x ? 0 已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? 2 x ? 1, x ? 0

求函数

f ( x)

的零点

题型二 求函数零点的个数
x 2

数形结合

若 f ( x) ? 2 ? x ,则函数的零点能否求出? 有几个零点?
题型三 确定零点所在区间
x 2

异号定零位

f ( x) ? 2 ? x 在下列哪个区间存在零点?

A.(-1,-0.5) C.(0,1)

B.(-0.5,0) D.(1,2)

题型四 含参问题

函数化方程 数形结合

x ? 2 ? ? 2, x ? 0 已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? 2 x ? 1, x ? 0

若 g ( x) ? f ( x) ? a 有三个不同的零点, 求实数 a 的取值范围.
几何画板演示

: 解决方程的根与函数的零点问题常用的方法

① 求方程 f ( x) ? 0 的根
② 结合函数图象 ③ 零点存在性定理

练习
1、 y ? ( x ? 1)(x ? 2 x ? 3) 的零点为
2

1 x 2、函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点个数 2

1 2

3、方程 e ? x ? 2 的根所在的一个区间是(
x
ex ? x ? 2

) D. (1,2)

A.(-2,-1) B. (-1,0 ) C. (0,1)
x

4、若函数 f ( x) ? 2 ? 2 ? b 有两个零点,则实数 b 的 取值范围是

练习
1、 y ? ( x ? 1)(x ? 2 x ? 3) 的零点为 1,-1,3 1 1 x 2 2、函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点个数 1 2
2

3、方程 e x ? x ? 2 的根所在的一个区间是( C ) A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D. (1,2)
x f ( x ) ? 2 ? 2 ? b 有两个零点,则实数 b 的 4、若函数

取值范围是 (0,2)

课堂小结
一个关系: 函数零点与方程根的关系:
函数 方程


零点 个 数 存在性 根

两种思想: 函数方程思想;数形结合思想.

几种题型: 求函数零点、确定零点个数 求零点所在区间、含参数的问题.


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