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2015—2016学年海淀区高三年级第一学期期中考试【数学(理)】试卷及答案


海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(理科) 2015.11 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。
2 1.已知集合 P ? x x ? x ? 2 ? 0 , M ? ??1,0,3, 4? ,则集合 P ? M 中元素的个数为

?

?

/>A.1

B.2

C .3

D.4

2.下列函数中为偶函数的是 A. y ?

1 x

B. y ? lg x

C. y ? ( x ?1)2

D. y ? 2 x

3.在 ?ABC 中, ?A ? 60? , AB ? 2 , AC ? 1 ,则 AB ? AC 的值为 B. ? 1

??? ?

????

??? ? ????

A.1

C.

1 2

D. ?

1 2

4.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? Sn?1 ? 2n ?1(n ? 2) ,且 S2 ? 3 ,则 a1 ? a3 的值为 A.1 B.3
4 4

C .5

D.6

5.已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ,下列结论中错误 的是 .. A. f ( x) ? cos 2 x C. f ( x ) 的最小正周期为 ? 6. “ x ? 0 ”是“ x ? sin x ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x

B.函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 0 对称 D. f ( x ) 的值域为 [? 2, 2]

7. 如图, 点 O 为坐标原点, 点 A(1,1) . 若函数 y ? a (a ? 0 , 且 a ? 1) 及 y ? logb x(b ? 0 , 且 b ? 1) 的图象与线段 OA 分别交于点 M,N,且 M,N,恰好是线段 OA 的两个三等分点,则 a,b 满足 A. a ? b ? 1 B. b ? a ? 1 C. b ? a ? 1 D. a ? b ? 1

??1, x ? ?1, ? 8.已知函数 f ( x) ? ? x, ? 1 ? x ? 1, 函数 g ( x) ? ax2 ? x ? 1 .若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 恰 ?1, x ? 1, ?
好有 2 个不同零点,则实数 ? 的取值范围是 A. (0, ??) C. (??, ? ) ? (1, ??) B. (??,0) ? (2, ??) D. (??, 0) ? (0,1)

1 2

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.

?

2

1

2 xdx ? _______________。

sin C ? 2sin A , 10. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若c ? 4, sin B ?
则 a ? _____________, S?ABC ? _____________。

15 , 4

11.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a3 ? a9 ? a10 ? a8 .若 an ? 0 ,则 n ? ______. 12.已知向量 a ? (1,1) ,点 A(3, 0) ,点 B 为直线 y ? 2 x 上的一个动点.若 AB / / a ,则点 B 的坐标为____________. 13.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) .若 f ( x ) 的图象向左平移

??? ?

? 个单位所得的图象与 3

f ( x) 的图象向右平移

? 个单位所得的图象重合,则 ? 的最小值为___________. 6
?

14. 对于数列 ?an ? , 若 ?mn , ? N (m ?n) 具有性质 P(t ) . (i)

, 都有

am ? an ? t (t 为常数)成立, 则称数列 ?an ? m?n

若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n , 且具有性质 P(t ) , 则 t 的最大值为_________; 若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ?
2

(ii)

a ,且具有性质 P(10) ,则实数 a 的取值范围 n

是_________。

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. (本小题满分 13 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 ,其前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , 4a3 ? a2 a4 . (I) 求公比 q 和 a5 的值; 求证:

(II)

Sn ? 2. an

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?

) ? cos(2 x ? ) . 3 3

?

(I)

求 f ( ) 的值;

?

6

(II)

求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间.

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四边形 ABCD 中, AB ? 8 ,BC ? 3 ,CD ? 5 ,?A ? (I) (II) 求 BD 的长; 求证: ?ABC ? ?ADC ? ? .

? 1 ,cos ?ADB ? . 3 7

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0,1) 处的切线为 l. 3

(I) (II)

若直线 l 的斜率为 ?3 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; 若函数 f ( x ) 是区间 [?2, a] 上的单调函数,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知由整数组成的数列 ?an ? 各项均不为 0, 其前 n 项和为 Sn , 且 a1 ? a , 2Sn ? an an?1 . (I) (II) (III) 求 a2 的值; 求 ?an ? 的通项公式; 若 n ? 15 时, Sn 取得最小值,求 a 的值.

20. (本小题满分 14 分) 已知 x 为实数, 用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 例如 [1.2] ? 1 , 对 [?1.2] ? ?2 , [1] ? 1 . 于函数 f ( x ) ,若存在 m ? R 且 m ? Z ,使得 f ( m) ? f ([m]) ,则称函数 f ( x ) 是 ? 函数. 判断函数 f ( x) ? x ?
2

(I)

1 x , g ( x) ? sin ? x 是否是 ? 函数; (只需写出结论) 3

(II)

设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期函数, 其最小正周期为 T. 若 f ( x ) 不是 ? 函数, 求 T 的最小值;

(III)

若函数 f ( x) ? x ?

a 是 ? 函数,求 a 的取值范围. x

海淀区高三年级第一学期期中练习 理数 2015.11 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B;2.B;3.A;4.C;5.D;6.C;7.A;8.D; 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.3;10. 2 ; 15 ;11.5;12. ( ?3, ?6) ;13. 4 ;14.2; [36, ??) ; 说明;第 10,14 题第一空 3 分,第二空 2 分 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解: (Ⅰ) 法一:因为 {an } 为等比数列,且 4a3 ? a2a4 , 所以 4a3 ? a32 ,所以 a3 ? 4 ,因为 q 2 ? 因为 an ? 0 ,所以 q ? 0 ,即 q ? 2 ---------------------------3 分 所以 a5 ? a1q4 ? 16 . --------------------------6 分 法二:因为 {an } 为等比数列,且 4a3 ? a2a4 , 所以 4a1q2 ? a1q4 ,所以 q2 ? 4 ,所以 q ? ?2 , 因为 an ? 0 ,所以 q ? 0 ,即 q ? 2 ---------------------------3 分 所以 a5 ? a1q4 ? 16 . --------------------------6 分 (Ⅱ)法一: 因为 q ? 2 ,所以 an ? a1qn?1 ? 2n?1 , --------------------------8分

a3 a3 ? ? 4 ,所以 q ? ?2 . a1 1

因为 Sn ?

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 , 1? q
--------------------------10 分

所以

Sn 2 n ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? n ?1 , an 2 2

因为

S 1 1 ? 0 ,所以 n ? 2 ? n ?1 ? 2 . n ?1 an 2 2
--------------------------13 分

法二:因为 q ? 2 ,所以 an ? a1qn?1 ? 2n?1 , --------------------------8分 所以 Sn ?

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 , 1? q
--------------------------10 分

所以

Sn 1 S ? 2 ? ? n ?1 ? 0 ,所以 n ? 2 . an 2 an
--------------------------13 分

法三:因为 q ? 2 ,所以 an ? a1qn?1 ? 2n?1 , --------------------------8分 所以 Sn ?

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 . 1? q
--------------------------10 分

要证

Sn ? 2 ,只需 Sn ? 2an ,只需 2n ? 1 ? 2n an

上式显然成立,得证. --------------------------13 分 16.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) , 所以 f ( ) ? 3sin(2 ?

π 3

π 3

π π π π ? ) ? cos(2 ? ? ) , 6 3 6 3 2π 2π 3 1 ? 3sin( ) ? cos( ) ? ? ? 1. 3 3 2 2
--------------------------4 分

π 6

(Ⅱ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) , 所以 f ( x ) ? 2[

π 3

π 3

3 π 1 π sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )] 2 3 2 3

π π π π π π ? 2[cos sin(2 x ? ) ? sin cos(2 x ? )] ? 2sin[(2 x ? ) ? ] 6 3 6 3 3 6 π ? 2sin(2 x ? ) 2
--------------------------7 分

? 2 cos 2 x ,
--------------------------9 分 所以周期 T ?

2π ?π . 2
--------------------------11 分

令 2 k π ? π ? 2 x ? 2k π , --------------------------12 分 解得 kπ ?

π ? x ? kπ , k ? Z , 2

π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (kπ ? , kπ), k ? Z . 2
--------------------------13 分 法二:因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) , 所以 f ( x) ? 3(sin2 x cos ? cos2 x sin ) ? (cos2 x cos

π 3

π 3

π 3

π 3

π π ? sin2 x sin ) 3 3
-------------------7 分

1 3 1 3 ? 3( sin 2 x ? cos2 x ) ? ( cos2 x ? sin 2 x ) 2 2 2 2
? 2 cos 2 x
--------------------------9 分 所以周期 T ?

2π ?π . 2
--------------------------11 分

令 2 k π ? π ? 2 x ? 2k π , --------------------------12 分 解得 kπ ?

π ? x ? kπ , k ? Z , 2

π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (kπ ? , kπ), k ? Z . 2
--------------------------13 分

17.解: (Ⅰ)法一: 在 ?ABD 中,因为 cos ?ADB ? 所以 sin ?ADB ?

1 , ?ADB ? (0, π) , 7

4 3 , 7
--------------------------3 分

根据正弦定理,有

BD AB , ? sin ?A sin ?ADB
--------------------------6 分

代入 AB ? 8, ?A ? 解得 BD ? 7 .

? , 3
--------------------------7 分

法二:作 BE ? AD 于 E . 因为 AB ? 8, ?A ?

π π ,所以在 ?ABD 中, BE ? AB ? sin ? 4 3 . 3 3
--------------------------3 分

在 ?BDE 中,因为 cos ?ADB ? 所以 sin ?ADB ?

1 , ?ADB ? (0, π) , 7

4 3 , 7
--------------------------6 分

所以 BD ?

BE ?7. sin ?BDE
--------------------------7 分

(Ⅱ)法一: 在 ?BCD 中,根据余弦定理 cos ?C ?

BC 2 ? CD 2 ? BD 2 , 2 BC ? CD
--------------------------10 分

代入 BC ? 3, CD ? 5 ,得 cos ?C ? ?

1 , 2

?C ? (0, π) ,所以 ?C ?

2π . 3
--------------------------12 分

所以 ?A ? ?C ? π ,而在四边形 ABCD 中 ?A ? ?ABC ? ?C +?ADC ? 2 π 所以 ?ABC ? ?ADC ? π . --------------------------13 分

法二:在 ?ABD 中, cos ?ABD ?

5 3 11 , , 所以 sin ?ABD ? 14 14

cos ?ADB ?

4 3 1 ,所以 sin ?ADB ? . 7 7
--------------------------8 分

在 ?BCD 中, cos ?DBC ?

11 5 3 , , 所以 sin ?ABD ? 14 14

cos ?BDC ?

3 3 13 ,所以 sin ?ADB ? . 14 14
--------------------------9 分

所以 cos ?ABC ? cos(?ABD ? ?DBC ) ,

? cos ?ABD cos ?DBC ? sin ?ABD sin ?DBC ?

23 98
--------------------------11 分

cos ?ADC ? cos(?ADB ? ?BDC ) ,

? cos ?ADB cos ?BDC ? sin ?ADB sin ?BDC ? ?

23 98
--------------------------12 分

即 cos ?ABC ? ? cos ?ADC , 所以 ?ABC ? ?ADC ? π . --------------------------13 分 18.解 (Ⅰ)因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 y ? f ( x) 经过点 (0,1) , 又 f '( x) ? x ? 2 x ? a ,
2

--------------------------2 分 所以 f '(0) ? a ? ?3 , --------------------------3 分 所以 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 .
2

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x ) f ( x)

( ??, ?3)
?
?

?3
0 极大值

( ?3,1)
?
?

1
0 极小值

(1, +?)
?
?
--------------------------5 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?3) , (1, +?) , 单调递减区间为 ( ?3,1) . --------------------------7 分 (Ⅱ)因为函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调, 当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递减时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 即 f '( x) ? x 2 ? 2 x ? a ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 根据二次函数的性质,只需要 ? 又 ?2 ? a ,所以 ?2 ? a ? 0 . --------------------------9 分 当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 只要 f '( x) ? x ? 2 x ? a 在 [?2, a ] 上的最小值大于等于 0 即可,
2 2 因为函数 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 的对称轴为 x ? ?1 ,

? f '( ?2) ? 0 ,解得 ?3 ? a ? 0 . ? f '(a ) ? 0

当 ?2 ? a ? ?1 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '(a ) ,
2 解 f '(a)=a ? 3a ? 0 ,得 a ? 0 或 a ? ?3 ,所以此种情形不成立.

--------------------------11 分 当 ?1 ? a 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '( ?1) , 解 f '( ?1) ? 1 ? 2 ? a ? 0 得 a ? 1 ,所以 a ? 1 , 综上,实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 0 或 a ? 1 . --------------------------13 分 19.解: (Ⅰ)因为 2Sn ? an an ?1 ,所以 2S1 ? a1a2 ,即 2a1 ? a1a2 , 因为 a1 ? a ? 0 ,所以 a2 ? 2 , --------------------------2 分 (Ⅱ)因为 2Sn ? an an ?1 ,所以 2Sn ?1 ? an ?1an (n ? 2) ,两式相减, 得到 2an ? an (an ?1 ? an ?1 ) , --------------------------4 分

因为 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ?1 ? 2 , 所以 {a2 k ?1},{a2 k } 都是公差为 2 的等差数列, 当 n ? 2 k ? 1 时, an ? a1 ? 2(k ? 1) ? n ? a ? 1 , --------------------------6 分 当 n ? 2k 时, an ? 2 ? 2(k ? 1) ? 2k ? n ,

?n ? a ? 1, n为奇数, 所以 an ? ? n为偶数. ?n ,
--------------------------8 分

?n ? a ? 1, n为奇数, (Ⅲ)法一:因为 2Sn ? an an ?1 ,由(Ⅱ)知道 an ? ? n为偶数, ?n ,

?1 (n ? a ? 1)(n ? 1), n为奇数, ? ?2 所以 Sn ? ? ? 1 n( n ? a ) , n为偶数, ? ?2
--------------------------10 分 注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的, 所有偶数项构成的数列是一个单调递增的, 当 n 为偶数时, an ? 0 ,所以此时 Sn ? Sn ?1 , 所以 S15 为最小值等价于 S13 ? S15 , S15 ? S17 , --------------------------12 分 所以 a14 ? a15 ? 0, a16 ? a17 ? 0 , 所以 14 ? 15 ? a ? 1 ? 0, 16 ? 17 ? a ? 1 ? 0 , 解得 ?32 ? a ? ?28 . --------------------------13 分 因为数列 {an } 是由整数组成的,所以 a ?{?32, ?31, ?30, ?29, ?28} . 又因为 an ? 0 ,所以对所有的奇数 n , an ? n ? a ? 1 ? 0 , 所以 a 不能取偶数,所以 a ? ?31, a ? ?29 . --------------------------14 分 法二:

?n ? a ? 1, n为奇数, 因为 2Sn ? an an ?1 ,由(Ⅱ)知道 an ? ? n为偶数, ?n ,

?1 (n ? a ? 1)(n ? 1), n为奇数, ? ?2 所以 Sn ? ? ? 1 n( n ? a ) , n为偶数, ? ?2
--------------------------10 分 因为 S15 为最小值,此时 n 为奇数,

1 (n ? a ? 1)(n ? 1) , 2 a 根据二次函数的性质知道,有 14 ? ? ? 16 ,解得 ?32 ? a ? ?28 , 2 --------------------------12 分
当 n为奇数 时, Sn ? 因为数列 {an } 是由整数组成的,所以 a ?{?32, ?31, ?30, ?29, ?28} . 又因为 an ? 0 ,所以对所有的奇数 n , an ? n ? a ? 1 ? 0 , 所以 a 不能取偶数,所以 a ? ?31, a ? ?29 . --------------------------13 分 经检验,此时 Sn 为最小值,所以 a ? ?31, a ? ?29 . --------------------------14 分 20.解: (Ⅰ) f ( x ) ? x 2 ? x 是 ? 函数, --------------------------2 分

1 3

g ( x ) ? sin πx 不是 ? 函数.
--------------------------4 分 (Ⅱ) T 的最小值为 1. --------------------------6 分 因为 f ( x ) 是以 T 为最小正周期的周期函数,所以 f (T ) ? f (0) . 假设 T ? 1 ,则 [T ] ? 0 ,所以 f ([T ]) ? f (0) ,矛盾. --------------------------8 分 所以必有 T ? 1 , 而函数 l ( x ) ? x ? [ x ] 的周期为 1,且显然不是是 ? 函数, 综上, T 的最小值为 1. --------------------------9 分 (Ⅲ)当函数 f ( x) ? x ?

a 是 ? 函数时, x

若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? x 显然不是 ? 函数,矛盾. --------------------------10 分 若 a ? 0 ,则 f '( x) ? 1 ?

a ?0, x2

所以 f ( x ) 在 ( ??,0),(0, ??) 上单调递增, 此时不存在 m ? ( ??,0) ,使得 f (m) ? f ([m]) , 同理不存在 m ? (0, ?) ,使得 f (m) ? f ([m]) , 又注意到 m[m] ? 0 ,即不会出现 [m] ? 0 ? m 的情形, 所以此时 f ( x) ? x ?

a 不是 ? 函数. x
--------------------------11 分

当 a ? 0 时,设 f (m) ? f ([m]) ,所以 m ? 当 m ? 0 时,

a a ? [m ] ? ,所以有 a ? m[m ] ,其中 [m ] ? 0 , m [m ]

2 因为 [m] ? m ? [m] ? 1 ,所以 [m] ? m[m] ? [m]([m] ? 1) ,

2 所以 [m] ? a ? [m]([m] ? 1) .

--------------------------12 分 当 m ? 0 时, [m ] ? 0 ,
2 因为 [m] ? m ? [m] ? 1 ,所以 [m] ? m[m] ? [m]([m] ? 1) ,

2 所以 [m] ? a ? [m]([m] ? 1) .

--------------------------13 分 记 k ? [m ] , 综上,我们可以得到 “ a ? 0 且 ?k ? N* , a ? k 2 且 a ? k ( k ? 1) ”. --------------------------14 分


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