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2.3幂函数 新人教A版必修1优秀教案

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2.3 幂函数

新人教 A 版必修 1 优秀教案

整体设计 教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又 一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函 数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成 .因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后, 尝试放手让学生

自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重
1

要的函数模型,通过研究 y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x 2 等函数的性质和图象,让学生认识到 幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性: 当幂指数 α>0 时,幂函数的图象都经过点 (0,0)和(1,1),且在第一象限内函数单调递增;当幂指数 α<0 时,幂函数的图象都经过点 (1,1) ,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到 一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学 习了 y=x,y=x2,y=x-1 等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现 在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概 念、性质和图象,研究了两个特殊函数:指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路 和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的, 另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两 类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标 1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化 情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能 力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣. 2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较, 使学生进一步体会数形结合的思想 ,利用计算机等工具 ,了解幂函数和指数函数的本质差别 , 使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研 究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去 分析和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 1.如果张红购买了每千克 1 元的水果 w 千克,那么她需要付的钱数 p (元) 和购买的水果量 w (千克)之间有何关系?根据函数的定义可知,这里 p 是 w 的函数. 2.如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 S=a2,这里 S 是 a 的函数. 3.如果正方体的边长为 a,那么正方体的体积 V=a3,这里 V 是 a 的函数.

4.如果正方形场地面积为 S,那么正方形的边长 a=S ,这里 a 是 S 的函数. 5.如果某人 t s 内骑车行进了 1 km,那么他骑车的速度 v=t-1km/s,这里 v 是 t 的函数. 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型 ,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点 吗?(右边指数式,且底数都是变量). (适当引导:从自变量所处的位置这个角度) (引入新课,书写课题:幂函数). 思路 2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们 再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数. 推进新课 新知探究 提出问题 问题①:给出下列函数:y=x,y=x ,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指 数函数? 问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话 ,你将会给他们起个什么名字呢?请给出一个一 般性的结论. 问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?
1 1 2

1 2

问题④:画出 y=x,y=x 2 ,y=x2,y=x-1,y=x3 五个函数图象,完成下列表格. 函数 性质 y=x y=x2 y=x3
1

y=x 2

y=x-1

定义域 值域 奇偶性 单调性 特殊点 图象分布 问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有 幂函数的图象?哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断? 问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗? 活动:考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和 基本方法,所以教学流程又分两条线 ,一条以内容为明线 ,另一条以研究函数的基本内容和方 法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发 学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示. 讨论结果: ①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位 置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数. ②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式 ,因此我们称这种类 型的函数为幂函数,如果我们用字母 α 来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定 义: 一般地,形如 y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 如 y=x ,y=x ,y=x3 等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. ③我们研究指对数函数时 ,根据图象研究函数的性质 ,由具体到一般;一般要考虑函数的定义
2
1 2

域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、 值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此. ④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同
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一坐标系中画出函数 y=x,y=x 2 ,y=x2,y=x3,y=x-1 的图象. 列表: x y=x
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… … … … … …

-3 -3

-2 -2

-1 -1

0 0 0

1 1 1 1 1 1

2 2 1.41 4 8

3 3 1.73 9 27

… … … … … …

y=x 2 y=x2 y=x
3

9 -27

4 -8 -

1 -1 -1

0 0

y=x-1

?

1 3

1 2

1 2

1 3

描点、连线.画出以上五个函数的图象如图 2-3-1.

图 2-3-1 让学生通过观察图象 ,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律 ,教师注意引导学生用 类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图象,完成表格. 函数 性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 特殊点 图象分布 y=x R R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1) 第Ⅰ、 Ⅲ象限 y=x2 R {y|y≥0} 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1) 第Ⅰ、 Ⅱ象限 y=x3 R R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1) 第Ⅰ、 Ⅲ象限 y=x
1 2

y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 在第Ⅰ象限 单调递减 (1,1) 第Ⅰ、 Ⅲ象限

{x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1) 第Ⅰ象限

⑤第一象限一定有幂函数的图象; 第四象限一定没有幂函数的图象; 而第二、 三象限可能有, 也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断. ⑥幂函数 y=xα 的性质. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) (原因:1x=1) ; (2)当 α>0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数(从左往右看,函数图象 逐渐上升).

特别地,当 α>1 时,x∈(0,1),y=x2 的图象都在 y=x 图象的下方,形状向下凸,α 越大,下凸的程 度越大. 当 0<α<1 时,x∈(0,1),y=x2 的图象都在 y=x 的图象上方,形状向上凸,α 越小,上凸的程度越 大. (3)当 α<0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 在第一象限内,当 x 向原点靠近时,图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴,当 x 慢慢地变大时, 图象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴. 应用示例 思路 1 例 1 判断下列函数哪些是幂函数. ①y=0.2 ;②y=x-3;③y=x ;④y=x . 活动:学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别, 形如 y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,变量 x 的系数为 1,指数 α 是一个常数,严格按这个标准 来判断. 解:①y=0.2x 的底数是 0.2,因此不是幂函数; ②y=x-3 的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数; ③y=x-2 的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数; ④y=x 的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数. 点评:判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断. 变式训练 判别下列函数中有几个幂函数?
1 1 5

x

-2

1 5

2

①y=x 3 ;②y=2x2;③y=x 3 ;④y=x2+x;⑤y=-x3. 解: ①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量 x2 的系数为 2,因此不是幂函 数; ④的变量是和的形式,因此也不是幂函数; ⑤的变量 x3 的系数为-1,因此不是幂函数. 例 2 求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. (1)y=x ,(2)y=x
2 3 ? 3 2

,(3)y=x-2.

活动:学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求 一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法, 一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时 ,可以从以下几个方面来考虑 :列出相应不等 式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.
2 2

解: (1) 要使函数 y=x 3 有意义,只需 y= 3 x 2 有意义,即 x∈R.所以函数 y=x 3 的定义域是 x∈R. 又 f(-x)=f(x),所以函数 y=x 是偶函数,它在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数. (2)要使函数 y=x
? 3 2 2 3

有意义,只需 y=

1
2

x

3

有意义,即 x∈R+,所以函数 y=x

?

3 2

的定义域是 R+,

由于函数 y=x 是减函数.

?

3 2

的定义域不关于原点对称,所以函数 y=x

?

3 2

是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上

(3)要使函数 y=x-2 有意义,只需 y=

1 有意义,即 x≠0,所以函数 y=x-2 的定义域是 x≠0,又 x2

f(-x)=f(x),所以函数 y=x-2 是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数. 点评:在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非 负”这一条件来求出对应函数的定义域;当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意 义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为 0 这一限制条件来求出对应函数的定义域,求 函数的定义域的本质是解不等式或不等式组. 例 3 证明幂函数 f(x)= x 在[0,+∞)上是增函数. 活动:学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导. 证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性. 证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= x1 - x 2 =

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

=

x1 ? x2 x1 ? x2

,

因为 x1-x2<0,x1+x2>0,所以

x1 ? x2 x1 ? x2

<0.

所以 f(x1)<f(x2),即 f(x)= x 在[0,+∞)上是增函数. 点评:证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与 f(x2)的 符号要一致. 思路 2 例 1 函数 y=(x2-2x) A.{x|x≠0 或 x≠2} C.(-∞,0]∪[2,+∞) 分析:函数 y=(x2-2x)
? 1 2 ? 1 2

的定义域是(

) B.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(0,2)

化为 y=

1 x ? 2x
2

,要使函数有意义需 x2-2x>0,即 x>2 或 x<0,

所以函数的定义域为{x|x>2 或 x<0}. 答案:B 变式训练
1

函数 y=(1-x2) 2 的值域是(

)

A.[0,+∞) B.(0,1] C.(0,1) D.[0,1] 活动:学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导. 函数的值域要根据函数的定义域来求. 函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域, 这是复合函数求值域问题,利用换元法. 分析:令 t=1-x2,则 y= t ,

因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以 0≤t≤1.所以 0≤y≤1. 答案:D 点评:注意换元法在解题中的应用. 例 2 比较下列各组数的大小: (1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 活动:学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨. 比较数的大小,常借助于函数的单调性. 对(1) (2)可直接利用幂函数的单调性. 对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里 0.30.3 可作为 中间量. 解: (1)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数 y=x0.1 的单调性,在 第一象限内函数单调递增,又因为 1.1<1.2,所以 1.10.1<1.20.1. (2)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数 y=x-0.2 的单调性,在第 一象限内函数单调递减,又因为 0.24<0.25,所以 0.24-0.2>0.25-0.2. (3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数 y=x0.3 的单调性,在第一象限内函数单调递增, 又因为 0.2<0.3,所以 0.20.3<0.30.3. 再比较同底数的两个数的大小,考察函数 y=0.3x 的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因 为 0.2<0.3,所以 0.30.3<0.30.2. 所以 0.20.3<0.30.3<0.30.2. 另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成. 点评: 指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性; 底数相同的幂的大小比较可以利 用指数函数的单调性. 知能训练 1.下列函数中,是幂函数的是( ) A.y=2x B.y=2x3 C.y=

1 x

D.y=2x

2.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过原点 C.当 α>0 时,幂函数 y=xα 是增函数 3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( A.y=x
3

B.当 α<0 时,幂函数 y=xα 是减函数 D.函数 y=x2 既是二次函数,也是幂函数 )

B.y=x

2

1 C.y= x

D.y=x

3 2

4.已知某幂函数的图象经过点(2, 2 ),则这个函数的解析式为.
1

答案:1.C 2.D 3.A 4.y=x 2 拓展提升 分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系. ①y=x ,y=x ,y=x-3;②y=x
2 3
1 2

-1

-2

?

1 2
1 3

,y=x

?

1 3

;

③y=x,y=x ,y=x ;④y=x ,y=x . 活动:学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.

解:利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图 2-3-2、图 2-3-3,图 2-3-4、 图 2-3-5.

图 2-3-2

图 2-3-3

图 2-3-4

图 2-3-5

①观察图 2-3-2 得到: 函数 y=x-1、y=x-2、y=x-3 的图象都过点(1,1),且在第一象限随 x 的增大而下降,函数在区间 (0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近 x 轴,向上无限接近 y 轴,指数越小,向右无限接近 x 轴 的图象在下方,向上离 y 轴越远. ②观察图 2-3-3 得到: 函数 y=x
? 1 2

、y=x

?

1 3

的图象都过点(1,1),且在第一象限随 x 的增大而下降,函数在区间(0,+∞)

上是单调减函数,且向右无限接近 x 轴,向上无限接近 y 轴,指数越小,向右无限接近 x 轴的图象 在下方,向上离 y 轴越远. ③观察图 2-3-4 得到: 函数 y=x、y=x2、y=x3 的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随 x 的增大而上升,函数在区间 [0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离 y 轴近,向下离 y 轴近. ④观察图 2-3-5 得到:
1
1

函数 y=x 2 、 y=x 3 的图象过点(1,1)、 (0,0),且在第一象限随 x 的增大而上升,函数在区间 [0,+∞) 上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离 y 轴近,在 点(1,1)的右边离 x 轴近. 根据上述规律可以判断函数图象的分布情况. 课堂小结 1.幂函数的概念. 2.幂函数的性质. 3.幂函数的性质的应用. 作业 课本 P87 习题 2.3 1、2、3.

设计感想 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又 一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没 有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟 练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解. 习题详解 (课本第 79 页习题 2.3) 1.函数 y=

1 是幂函数. x2

2.解析:设幂函数的解析式为 f(x)=xα, 因为点(2, 2 )在图象上,所以 2 =2α. 所以 α=

1 ,即幂函数的解析式为 f(x)=x 2 ,x≥0. 2

1

3.(1)因为流量速率 v 与管道半径 r 的四次方成正比,所以 v=k· r4; (2)把 r=3,v=400 代入 v=k· r4 中,得 k= (3)把 r=5 代入 v= 3 086 cm3/s.

400 400 400 4 = ,即 v= r; 4 81 81 3

400 4 400 4 r ,得 v= × 5 ≈3 086(cm3/s),即 r=5 cm 时,该气体的流量速率为 81 81


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