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肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014学年第一学期高二数学(理科)

时间:2014-01-06


肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014 学年第一学期统一检测题 高二数学(理科)
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写 在答题卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如 需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的

钢笔或签字笔作答, 答案必须写在另发的答题卷各题 目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:球的体积 V ?

4 3 ?R ,球的表面积 S ? 4?R 2 . 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体可以是 A.圆柱 C.棱柱 2.下列命题中假命题是 ... A.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; B.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面 相互平行. 3.直线 l 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? A. ? B.圆台 D.棱台

4.如果命题“ ?( p ? q) ”是真命题,则 A.命题 p、q 均为假命题

4 3

B.

3 4

3 ,则直线 l 的斜率是 5 3 3 C. 或 ? 4 4

D.

4 4 或? 3 3

B.命题 p、q 均为真命题 D.命题 p、q 中至多有一个是真命题

C.命题 p、q 中至少有一个是真命题

高二数学(理科)试题 第 1 页 共 11 页

5. “|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6.已知双曲线 C: A. y ? ? B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5 x2 y2 ,则 C 的渐近线方程为 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 2 a b
B. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ? x
2

D. y ? ?

1 x 2

7.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A,B 两点,

AB ? 4 3 ,则 C 的实轴长为
A. ? B. 2 2 C. 2 D. ?

8.如右图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 为对角线 BD1 的三等分点, 则 P 到各顶点距离的不同取值有 A.6 个 C.4 个 B.5 个 D.3 个
A A1 D D1 B1 P B C C1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.命题“ ? x0 ? R, e
x0

? 0 .”的否定是 ▲ .

10.与直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 平行且过点(1,2)的直线方程为 ▲ . 11.抛物线 y ? 12 x 上与其焦点的距离等于 9 的点的坐标是 ▲
2

.

12.如果点 P 在 z 轴上,且满足|PO|=1(O 是坐标原点) ,则点 P 到点 A(1,1,1)的距 离是 ▲ . 13.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积 S 的取值范围是 ▲ .
C

14.如右图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC, 已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3, 则圆心 O 到 AC 的距离为 ▲ .
A B O

D

高二数学(理科)试题 第 2 页 共 11 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知半径为 3 的球内有一个内接正方体(即正方体的顶点都在球面上). (1)求此球的体积; (2)求此球的内接正方体的体积; (3)求此球的表面积与其内接正方体的全面积之比.

16. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 经过 A(1,1) 、B(2, ? 2 )两点,且圆心 C 在直线 l: x ? y ? 1 ? 0 上,求 圆 C 的标准方程.

17.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5, AA1 ? 4 ,点 D 是 AB 的中 点. (1)求证: AC1 ∥平面 CDB1 ;
A1 C1 B1

(2)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.
C D A B

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18. (本小题满分 14 分) 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是 l1 : x ? y ? 1 ? 0 , l 2 : 3x ? y ? 4 ? 0 , 且它的对角线的交点是 M(3,3) ,求这个平行四边形其它两边所在直线的方程.

19. (本小题满分 14 分) 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点, P 且 AD ?

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC . 3

点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,PD=DB. (1)求证: PA ? CD ; (2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值. A D C
第 19 题图

O

B

20. (本小题满分 14 分)

设椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A(?2,0), B(2,0) , 离心率 e ? . 过 2 2 a b

该椭圆上任一点 P 作 PQ⊥x 轴,垂足为 Q,点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC(C 点不同于 A,B)与直线 x ? 2 交于点 R,D 为线段 RB 的中点,试 判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

高二数学(理科)试题 第 4 页 共 11 页

2013—2014 学年第一学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 D 7 A 8 C

二、填空题 9. ? x ? R, e x ? 0 12. 10. 3x ? 4 y ? 11 ? 0 11. (6,?6 2 ) (只答一个得 3 分) 14.

2 或 6 (只答一个得 3 分)

13.[1, 2 ]

5

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)球的体积 V ?

4 3 4 ?R ? ? ? ( 3 ) 3 ? 4 3? 3 3

(4 分) (5 分)

(2)设正方体的棱长为 a,所以对角线长为 3a .

因为球的半径为 3 ,且正方体内接于球,所以正方体的对角线就是球的直径, 故 3a = 2 3 ,解得 a ? 2 . 因此正方体的体积 V ? 2 ? 8 .
3

(7 分) (8 分)
2

(3)由(2)得 a ? 2 ,所以正方体的全面积为 S 正方体 ? 6a ? 24 , 球的表面积 S 球 ? 4?R ? 12? ,
2

(9 分) (10 分) (12 分)

所以

S球 S正方体

?

12? ? ? . 24 2

16. (本小题满分 12 分) 解:方法 1:

?(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? R 2 ? 2 2 2 设圆心 C 为(a,b) ,半径为 R,依题意得 ?(2 ? a ) ? (?2 ? b) ? R , (6 分) ?a ? b ? 1 ? 0 ?

高二数学(理科)试题 第 5 页 共 11 页

? a ? ?3 ? 解得 ?b ? ?2 , ?R ? 5 ?
所以圆 C 的标准方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25 .
2 2

(9 分)

(12 分)

方法 2: 因为 A(1,1) ,B(2,-2) ,所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 ( ,? ) , (2 分) 直线 AB 的斜率 k AB ?

3 2

1 2

? 2 ?1 ? ?3 , 2 ?1
?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ,解之得 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ? y ? ?2

(4 分) (6 分) (9 分) (10 分)

因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0 . 圆心 C 的坐标满足方程组 ?

所以圆心 C 的坐标是(-3,-2) 半径 r ? AC ?

?1 ? 3?2 ? ?1 ? 2?2
2

?5
2

(11 分) (12 分)

所以圆 C 的标准方程为 ?x ? 3? ? ? y ? 2? ? 25. z
C1 A1

17. (本小题满分 14 分) 方法 1: (1)设 CB1 与 C1 B 的交点为 E,连结 DE, 因为 E 为正方形 CBB1C1 对角线的交点, 所以 E 为 C1B 的中点. 又 D 是 AB 的中点, 所以 DE 为?ABC1 的中位线, 故 DE//AC1. (4 分) (5 分)
A

B1

E

(2 分)
C B D

y

x

因为 AC1?平面 CDB1,DE?平面 CDB1, 所以 AC1//平面 CDB1. (7 分) (9 分)

(2)因为 DE//AC1,所以?CED 为异面直线 AC1 与 B1C 所成的角. 在 ?CED 中, ED ?

1 5 1 5 1 (11 分) AC1 ? , CD ? AB ? , CE ? CB1 ? 2 2 , 2 2 2 2 2

高二数学(理科)试题 第 6 页 共 11 页

所以 cos ?CED ?

CE ? ED ? CD ? 2 EC ? ED
2 2 2

(2 2 ) 2 ?

25 25 ? 4 4 ?2 2, 5 5 2? 2 2 ? 2

(13 分)

故异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 方法 2:

2 2 . 5

(14 分)

因为在?ABC 中,AC=3,BC=4,AB=5,即 AB ? AC ? BC ,
2 2 2

所以 AC⊥BC. 又三棱柱 ABC ? A1 B1C1 直棱柱,所以 AC,BC,C1C 两两垂直.

(3 分) (4 分)

如图,以 C 为坐标原点,直线 AC,BC, C1C 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 C (0,0,0) , A(3, 0, 0) , C1 (0, 0, 4) , B(0, 4, 0) , B1 (0, 4, 4) , D( ,2,0) (6 分) (1)设 CB1 与 C1 B 的交点为 E,则 E(0,2,2). 连结 DE. 因为 DE ? (?

3 2

3 1 ,0,2) , AC1 ? (?3,0,4) ,所以 DE ? AC1 ,即 DE // AC1 . (8 分) 2 2
(10 分) (11 分)

因为 AC1?平面 CDB1,DE?平面 CDB1,所以 AC1//平面 CDB1.

???? ? ???? (2)? AC1 ? (?3, 0, 4) , CB1 ? (0, 4, 4) ,
所以 cos ?

AC1 , CB1 ??

AC1 ? CB1 AC1 ? CB1

?

2 2 , 5

(13 分)

故异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为

2 2 . 5
D

(14 分)

18. (本小题满分 14 分) 解:联立两条直线的方程,得 ?

?x ? y ? 1 ? 0 , 分) (2 ?3 x ? y ? 4 ? 0

y C A O M

3 ? x?? ? ? 4 解得 ? . 7 ?y ? ? 4 ?

(4 分)

x

B
高二数学(理科)试题 第 7 页 共 11 页

如图平行四边形 ABCD 的一个顶点是 A(? , ) , 设顶点 C ( x0 , y 0 ) ,由题意,点 M(3,3)是线段 AC 的中点, 分) (5

3 7 4 4

3 ? ? x0 ? 4 27 ? ?3 ? ? x0 ? 4 ? ? 2 所以 ? , 解得 ? ? y ? 17 ?y ? 7 0 ? 0 4 ? ? 4 ?3 ? 2 ?
由已知,直线 AD 的斜率 k AD ? 3 ,因为直线 BC // AD , 所以 BC 的方程为 y ?

(7 分)

(8 分) (10 分) (11 分) (13 分) (14 分) P

17 27 ? ? ? 3? x ? ? ,即 3x ? y ? 16 ? 0 . 4 4 ? ?

由已知,直线 AB 的斜率 k AB ? ?1 ,因为直线 CD// AB , 所以 CD 的方程为 y ?

17 27 ? ? ? ?? x ? ? ,即 x ? y ? 11 ? 0 . 4 4 ? ?

故其余两边所在直线的方程是 3x ? y ? 16 ? 0 , x ? y ? 11 ? 0 .

19. (本小题满分 14 分) (1)证明:方法 1: 连接 CO. 由 3AD=DB 知,点 D 为 AO 的中点. 又∵AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB ,
? 由 3AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,

(1 分)

∴ ?ACO 为等边三角形. 故 CD ? AO .

(2 分) (3 分)

A

D O

B

C ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ,∴ PD ? 平面 ABC , (4 分) 又 CD ? 平面 ABC ,∴ PD ? CD , (5 分)

由 PD?平面 PAB,AO?平面 PAB,且 PD ? AO ? D ,得 CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD . 方法 2: ∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , (1 分) (6 分)

在 Rt?ABC 中设 AD ? 1 , 3A ? B , 3AC ? BC 得,DB ? 3 ,AB ? 4 ,BC ? 2 3 , 由 D D

高二数学(理科)试题 第 8 页 共 11 页



BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

∴ ?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO . ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ,∴ PD ? 平面 ABC , 又 CD ? 平面 ABC ,∴ PD ? CD ,

由 PD?平面 PAB,AO?平面 PAB,且 PD ? AO ? D ,得 CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD . 方法 3: ∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB ,
? 在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,

(6 分)

(1 分)

设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2 ?

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

∴ CD ? DB ? BC ,即 CD ? AO .
2 2 2

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ,∴ PD ? 平面 ABC , 又 CD ? 平面 ABC ,∴ PD ? CD ,

由 PD?平面 PAB,AO?平面 PAB,且 PD ? AO ? D ,得 CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD . (2)方法 1: 过点 D 作 DE ? PB ,垂足为 E ,连接 CE . 分) (7 由(1)知 CD ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴ CD ? PB , (8 分) E P (6 分)

又 DE ? CD ? D ,∴ PB ? 平面 CDE , 又 CE ? 平面 CDE ,∴ CE ? PB , (9 分) A D C O B

∴ ?DEC 为二面角 C ? PB ? A 的平面角. (10 分) 设 AD=1,由(1)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , (11 分) 又 PD⊥DB,∴ DE ?

3 2 , 2
CD 2 ? DE 2 ?

(12 分)

∴在 Rt?CDE 中, CE ?

30 , (13 分) 2

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∴ cos ?DEC ? 方法 2:

DE 15 15 ,即二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 . (14 分) ? CE 5 5
z P

???? ??? ??? ? ? 以 D 为原点, DC 、 DB 和 DP 的方向分别
为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向, 建立如图所示的空间直角坐标系. 设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB , 3AC ? BC , 得 PD ? DB ? 3 , CD ? 3 , (7 分) A C x

D O B y

∴ D(0,0,0) , C ( 3, 0, 0) , B(0,3,0) , P(0,0,3) ,

∴ PC ? ( 3, 0, ?3) , PB ? (0,3, ?3) , CD ? (? 3, 0, 0) ,

??? ?

??? ?

??? ?

(8 分) (10 分)

由 CD ? 平面 PAB ,知平面 PAB 的一个法向量为 CD ? (? 3, 0, 0) . 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

??? ?

??? ? ?n ? PC ? 0 ? 3x ? 3 y ? 0 ? ? ,即 ? , ? ? ??? ?3 y ? 3 z ? 0 ? ?n ? PB ? 0 ?
令 y ? 1,则 x ? 3 , z ? 1,∴ n ? ( 3,1,1) , 设二面角 C ? PB ? A 的平面角的大小为 ? ,

(11 分)

(12 分)

??? ? n ? CD ?3 15 ??? ? ? ?? 则 cos ? ? , 5 | n | ? | CD | 5? 3
∴二面角 C ? PB ? A 的余弦值为

(13 分)

15 . 5

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意可得 a ? 2 , e ? ∴ b ? a ? c ? 1,
2 2 2

c 3 ? ,∴ c ? 3 , a 2

(2 分) (3 分) (4 分)

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , y0 ? y ? y ? 2 y0 ? 2 ?
高二数学(理科)试题 第 10 页 共 11 页

(6 分)



2 x0 x2 1 2 ? y0 ? 1,代入得 ? ( y ) 2 ? 1 , 4 4 2
2 2 2 2

(7 分) (8 分)

即 x ? y ? 4 ,即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x ? y ? 4 . (3)设 C (m, n) (m≠?2) ,且 m ? n ? 4 ,点 R 的坐标为 (2, t ) ,
2 2

∵ A, C, R 三点共线,∴ AC // AR , 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) , ∴t ?

???? ??? ?

????

??? ?

4n 4n ,∴点 R 的坐标为 (2, ), m?2 m?2 2n ). m?2

(9 分)

∴点 D 的坐标为 (2,

(10 分)

∴直线 CD 的斜率为 k CD ?
2 2

n?

2n m ? 2 ? mn , m?2 m2 ? 4
2

(11 分)

∵ m ? n ? 4 ,∴ m ? 4 ? ?n ,∴ k ?
2

mn m ?? , 2 ?n n

(12 分)

又∵直线 OC 的斜率 k OC ? 所以直线 CD 与圆 O 相切.

n ,∴ k OC ? k CD ? ?1 ,即 OC⊥CD. m

(13 分) (14 分)

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