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【导与练】2015届高考数学一轮复习 第6篇 第2节 一元二次不等式及其解法课件 文 新人教版


第 2 节 一元二次不 等式及其解法

基础梳理

考点突破

基础梳理
知识整合

抓主干

固双基

1.一元二次不等式与相应的二次函数及一 元二次方程的关系

见附表

2.一元二次不等式 ax +b

x+c>0(a>0)的求解过程用 程序框图表示为

2

质疑探究:以上解法是按照 a>0 进行的,若 a<0 情 况应该如何处理? 提示:若 a<0,则可以先进行转化,使 x 的系数为 正,但是一定要注意在转化过程中不等号的变化. 3.分式不等式与一元二次不等式的关系
x?a (1) >0 等价于(x-a)(x-b)>0. x?b
2

x?a (2) <0 等价于(x-a)(x-b)<0. x?b
? x?a ?? x ? a ?? a ? b ? ? 0, (3) ≥0 等价于 ? x?b ? ? x ? b ? 0. ? x?a ?? x ? a ?? a ? b ? ? 0, (4) ≤0 等价于 ? x?b ? ? x ? b ? 0.

双基自测
1.(2013 年高考重庆卷)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0) 的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a=( A
5 (A) 2
2

)

7 (B) 2
2

15 (C) 4

15 (D) 2

解析:由 x -2ax-8a <0(a>0)可解得:-2a<x<4a,由题意知
5 x2=4a,x1=-2a,且 4a-(-2a)=15,?a= . 2

故选 A.

2.(2013 海南三亚模拟)已知 p:? x∈R,mx +2≤0,q:? x∈R, 2 x -2mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围是( A ) (A)m≥1 (B)m≤-1 (C)m≤-1 或 m≥1 (D)-1≤m≤1 解析:≧p∨q 为假命题,?p 和 q 都是假命题. 由 p:? x∈R,mx2+2≤0 为假, 得? x∈R,mx2+2>0,?m≥0. ① 由 q:? x∈R,x2-2mx+1>0 为假, 得? x∈R,x2-2mx+1≤0, ?Δ=(-2m)2-4≥0,即 m2≥1, 解得 m≤-1 或 m≥1, ② 由①和②得 m≥1,故选 A.
2

1 2 3.(2013 年高考江西卷)下列选项中,使不等式 x< <x 成 x

立的 x 的取值范围是( (C)(0,1)

A

)

(A)(-∞,-1) (B)(-1,0) (D)(1,+∞)

1 ? x ? , ? 1 2 ? x 解析:不等式 x< <x 等价于 ? x ? 1 ? x 2, ? ?x
1 x2 ? 1 由 x< 可得 <0?x(x+1)(x-1)<0, x x

如图由“穿针引线法”,可解得:0<x<1 或 x<-1. ①
3 1 2 x ?1 2 由 <x 可得 >0?x(x-1)(x +x+1)>0, x x

1 2 3 又 x +x+1=(x+ ) + >0, 2 4
2

?可解得 x>1 或 x<0 由①②求交集可得 x<-1.故选 A.



4.(2012 年高考湖南卷)不等式 x -5x+6≤0 的解集 为 .
2

2

解析:由于方程 x -5x+6=0 的两根为 x1=2,x2=3, 所以不等式 x -5x+6≤0 的解集为{x|2≤x≤3}. 答案:{x|2≤x≤3}
2

考点突破
【例 1】 解关于 x 的不等式:
x (1) <0; 2x ? 1

剖典例 知规律

考点一 一元二次不等式的解法

(2)ax -(a+1)x+1<0. 思维导引:(1)将分式不等式转化为整式不等式求解. (2)对参数 a 与 0,1 的关系分类讨论求解.

2

解:(1)原不等式等价于 x(2x-1)<0,
1 解得 0<x< , 2

? 1? 所以原不等式的解集为 ? x 0 ? x ? ? . 2? ?
(2)原不等式可化为(x-1)(ax-1)<0, ?①当 a=0 时,可解得 x>1,
1 ②当 a>0 时,不等式可化为(x-1)(x- )<0, a

?当 a=1 时,不等式可化为(x-1)2<0,解集为 ? ;
1 ? 当 0<a<1 时, >1,不等式的解集为 ? x 1 ? x ? a ?

1? ?; a?

1 ? 1 ? 当 a>1 时, <1,不等式的解集为 ? x ? x ? 1? ; a ? a ? 1 当 a<0 时,不等式可化为(x-1)(x- )>0, a

? 1? ?不等式的解集为 ? x x ? 1或x ? ? a? ?

综上,可知,当 a<0 时,

? 1? 不等式的解集为 ? x x ? 1或x ? ? ; a? ?
当 a=0 时,解集为{x|x>1};

? 1? 当 0<a<1 时,不等式的解集为 ? x 1 ? x ? ? ; a? ?
当 a=1 时,不等式的解集为 ? ;

? 1 ? 当 a>1 时,不等式的解集为 ? x ? x ? 1? . ? a ?

反思归纳
式求解.

(1)分式不等式可转化为整式不等

(2)在解含参数的不等式时,应注意分类讨论,其 分类标准一般有三种:①按二次项系数分为 a=0 和 a≠0(有时需分 a>0 与 a<0 两类讨论); ②a≠0 时,按判别式Δ分为Δ>0,Δ=0,Δ<0; ③当Δ>0 时,按两根的大小进行分类.

即时突破 1 解关于 x 的不等式:
(1)x +x-2<0; (2)(1-ax) <1. 解:(1)≧x +x-2<0, ?(x+2)(x-1)<0, ?-2<x<1. 所以不等式 x +x-2<0 的解集为(-2,1).
2 2 2 2

(2)由(1-ax) <1,得 a x -2ax<0, 即 ax(ax-2)<0, 当 a=0 时,x∈ ? ;
2 当 a>0 时,由 ax(ax-2)<0,得 a x(x- )<0, a
2

2

2

2

2 即 0<x< ; a 2 当 a<0 时, <x<0. a

综上所述:当 a=0 时,不等式解集为空集;

? 当 a>0 时,不等式解集为 ? x 0 ? x ? ?

2? ?; a?

? 2 ? 当 a<0 时,不等式解集为 ? x ? x ? 0? . ? a ?

考点二 与一元二次不等式有关的恒成 立问题
【例 2】 (1)若不等式 mx -2x-1<0 恒成立,则 m 的 取值范围是 .
2 2

(2)若关于 x 的不等式 ax -x+2a<0 的解集为 ? ,则 实数 a 的取值范围是 . 思维导引:(1)首先对不等式中二次项系数 m 讨论 确定不等式类型然后求解;(2)题中条件等价于 “关 于 x 的不等式 ax -x+2a≥0 恒成立”.
2

1 解析:(1)当 m=0 时,解得 x>- ,不恒成立; 2
? ? m ? 0, 当 m≠0 时,则需 ? ? ? ? ? 4 ? 4m ? ?1? ? 0,

?m ? 0, 即? ?m<-1. ?m ? ?1,
(2)依题意可知,问题等价于 ax -x+2a≥0 恒成立, 当 a=0 时,-x≥0 不恒成立; 2 当 a≠0 时,要使 ax -x+2a≥0 恒成立,
2

即 f(x)=ax -x+2a 的图象不在 x 轴的下方,

2

?a ? 0, ? ?a ? 0, ?? 即? 2 1 ? 8 a ? 0, ? ? 0 ? ? ?
? 2 ? 2 , ?? ? 解得 a≥ ,即 a 的取值范围是 ? . ? 4 4 ? ? ?

答案:(1)(-∞,-1)

? 2 ? , ?? ? (2) ? ? 4 ? ? ?

反思归纳

(1)解决恒成立问题一定要分清哪个为变量

哪个为参数.一般地,知道范围的为变量,所求量为参数. (2)一元二次不等式恒成立的条件:
? ? a ? 0, ①ax +bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 ? 2 ? ?b ? 4 ac ? 0.
2

? ? a ? 0, ②ax +bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 ? 2 ? ?b ? 4 ac ? 0.
2

即时突破 2 (1)若关于 x 的不等式 x2-ax-a>0 的解集
为 R,则实数 a 的取值范围是
2

.

(2)若关于 x 的不等式 x -ax-a≤-3 的解集不是空集, 则实数 a 的取值范围是 解析:(1)由题意知Δ=a +4a<0, 解得-4<a<0, 因此实数 a 的取值范围为-4<a<0.
2

.

(2)由题意知关于 x 的一元二次方程 x2-ax-a+3=0 有解, 因此有Δ=(-a) -4(3-a)=a +4a-12≥0, 所以 a≤-6 或 a≥2. 因此实数 a 的取值范围为:a≤-6 或 a≥2. 答案:(1)(-4,0) (2)(-∞,-6]∪[2,+∞)
2 2

考点三 一元二次不等式的应用
【例 3】 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产
3 条件要求 1≤x≤10),每小时可获得利润是 100 (5x+1- ) 元. x

(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的 取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选 取何种生产速度?并求最大利润.

思维导引:(1)用 x 表示 2 小时获得的利润,列出不等 式求解;(2)建立利润的函数关系式,利用二次函数求 最值.
3 解:(1)根据题意,200(5x+1- )≥3000, x 3 整理得 5x-14- ≥0, x

即 5x2-14x-3≥0, 又 1≤x≤10,可解得 3≤x≤10.

(2)设利润为 y 元,则 y=
900 3 1 3 4 ·100(5x+1- )=9×10 (5+ - 2 ) x x x x

2 ? 1 1 ? ? 61 ? 4 =9×10 ? ?3 ? ? ? ? ? , ? ? ? x 6 ? 12 ? ?

故 x=6 时,ymax=457500 元. 即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品获得 的利润最大为 457500 元.

反思归纳
准不等关系;

解不等式应用题的步骤

(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找 (2)将文字语言转化为符号语言,用不等式表示不 等关系; (3)解不等式,得到数学结论,要注意数学模型中 元素的实际意义; (4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的 结果.

即时突破 3 某农贸公司按每担 200 元收购某农产品,并
每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点),计划可 收购 a 万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品, 决定将征税率降低 x(x≠0)个百分点,预测收购量可增 加 2x 个百分点. (1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的 83.2%,试确定 x 的取值范围.

解:(1)降低税率后的税率为(10-x)%, 农产品的收购量为 a(1+2x%)万担, 收购总金额为 200a(1+2x%)万元. 依题意得 y=200a(1+2x%)(10-x)%
1 = a(100+2x)(10-x)(0<x<10). 50

(2)原计划税收为 200a·10%=20a(万元).
1 依题意得 a(100+2x)(10-x) 50

≥20a×83.2%, 化简得 x +40x-84≤0, 解得-42≤x≤2. 又≧0<x<10, ?0<x≤2.
2

备选例题
【例 1】 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 解:(1)≧f(x)+2x>0 的解集为(1,3), ?f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0, 2 因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax -(2+4a)x+3a.① 由方程 f(x)+6a=0, 2 得 ax -(2+4a)x+9a=0. ②

因为方程②有两个相等的根, 所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0, 即 5a -4a-1=0,
1 解得 a=1 或 a=- . 5 由于 a<0,舍去 a=1, 1 1 2 6 3 将 a=- 代入①,得 f(x)=- x - x- . 5 5 5 5
2

2 1 ? 2 a a ? 4a ? 1 2 2 (2)由 f(x)=ax -2(1+2a)x+3a=a(x)及 a<0, a a

a 2 ? 4a ? 1 可得 f(x)的最大值为. a
? a 2 ? 4a ? 1 ? 0, ?? 由? a ? a ? 0, ?

解得 a<-2- 3 或-2+ 3 <a<0. 故当 f(x)的最大值为正数时, 实数 a 的取值范围是(-≦,-2- 3 )∪(-2+ 3 ,0).

x2 ? 2 x ? 3 【例 2】 解不等式 2 <0. ?x ? x ? 6

解:法一 原不等式的解集是由下面两个不等式组的解 集的并集构成
2 ? x ? ? 2 x ? 3 ? 0, ①? 2 ? ? x ? x ? 6 ? 0, 2 ? ? x ? 2 x ? 3 ? 0, ②? 2 ? ? x ? x ? 6 ? 0,

解不等式组①,得 x<-3 或 x>3. 解不等式组②,得-2<x<1. 综上可得,原不等式的解集是{x|x<-3 或-2<x<1 或 x>3}.

法二

x ? 3?? x ? 1? ? 原不等式可化为 >0, ? x ? 2?? x ? 3?

又等价变形为(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)>0. 令 y=(x+3)(x+2)(x-1)(x-3). 各因式的根(从小到大排列)是-3,-2,1,3. 由数轴标根法(如图所示),

可得原不等式的解集为{x|x<-3 或-2<x<1 或 x>3}.

思想方法
数形结合思想在不等式问题中的应用
【典例】 若 x>0 时,均有[(a-1)x-1](x -ax-1)≥0,则 a= .
2 2

分析:当 a≤1 时,(a-1)x-1<0,可化为 x -ax-1≤0 对 x>0 恒成立,而当 a>1 时,f(x)=(a-1)x-1 与 g(x)=x2-ax-1 均 过点(0,-1),故可用数形结合思想解题.

解析:(1)当 a≤1 时,对 x>0, 恒有(a-1)x-1<0, ?原不等式化为对 x>0, 恒有 x -ax-1≤0,
2 2

(*)

由于二次函数 y=x -ax-1 的图象开口向上, ?(*)式不恒成立, 即 a≤1 时,原不等式不会恒成立.

(2)当 a>1 时,令 f(x)=(a-1)x-1,g(x)=x2-ax-1,两函数图象都过定点 P(0,-1).
1 ≧f(x)在 x∈(0,+≦)上单调递增,且与 x 轴的交点为 M( ,0). a ?1

?当 x∈(0,

1 )时,f(x)<0; a ?1

1 当 x> 时,f(x)>0, a ?1 a 又≧二次函数 g(x)=x -ax-1 的对称轴为 x= >0, 2
2

因此只需 g(x)=x -ax-1 与 x 轴的右交 点与点 M(
1 ,0)重合,如图所示, a ?1

2

则命题成立.
1 ?点 M( ,0)在 g(x)的图象上,则 a ?1 1 2 a 3 2 ( )-1=0.整理得 2a -3a=0(a>1),?a= . a ?1 a ?1 2 3 综合(1)(2)知,满足条件的实数 a= . 2 3 答案: 2

方法点睛

(1)对于常规方法不易解决的不等式

问题,可构造函数,利用数形结合的方法解决; (2)解决本题的关键点是:①找到参数 a 分类讨论 的标准;②将不等式恒成立问题转化为两函数图象 间的关系问题,借助函数图象特征,找到两函数零 点的关系.

即时突破 (2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)若存在正数
x 使 2 (x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( (A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞) (C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)
1 ?1? 解析:不等式可化为 x-a< x ,即 x-a< ? ? , 2 ? 2?
x
x

)

?1? 设 f(x)=x-a,g(x)= ? ? ,则 f(x)过点(0,-a),g(x) ? 2?
过点(0,1),作出 f(x),g(x)的图象如图所示.

x

要使存在正数 x 使 2 (x-a)<1 成立, 即存在 x>0,
x

x

?1? 使 x-a< ? ? 成立, ? 2?
即 f(x)<g(x), 故有-a<1, 即 a>-1. 故选 D.


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