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2005年高考数学试题分类汇编:导数

时间:2014-04-15


2005 年高考全国试题分类解析(导数部分)
1、(广东卷)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是减函数的区间为(D) (A) (2, ??) (B) (??, 2) (C) (??,0) (D) (0, 2)
3 2

2.(全国卷Ⅰ)函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x

? ?3 时取得极值,则 a =(B)
(A)2 (B)3
3

(C)4

3. (湖北卷)在函数 y ? x ? 8 x 的图象上,其切线的倾斜角小于

A.3 B.2 C.1 4.(江西)已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如右图所示(其中 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数),下面四 个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是(C )

? 的点中,坐标为整数的点的个数是( D ) 4 D.0 y
y
4 2

(D)5

y
2 2 1 1 2

y

y
4

1

x
1 2

-2

-1 -1

O

O
-2
-1

x
-2 -1

1

O
1

x
2

2 1 -2 -1 O 1

x

-2

-2

-2

-2

-1

O

2

x

A
2

B

C

D

5.(浙江)函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=( B (A)
1 8

)

1 1 (C) (D)1 4 2 6. (重庆卷)曲线 y?x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x?2 所围成的三角形的面积为______8/3 3 7.(江苏卷) (14)曲线 y ? x ? x ? 1 在点(1,3)处的切线方程是 y ? 4 x ? 1

(B)

8. ( 全国卷 III)曲线 y ? 2 x ?

x

3

在点(1,1)处的切线方程为 x+y-2=0 ,切线的斜率为 e .

9. (北京卷)过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点的坐标为 (1, e);

10.(全国卷Ⅱ)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? a. (Ⅰ)求 f ( x) 的极值. (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x)与x 轴仅有一个交点. 1 解:(I) f '( x) =3 x 2 -2 x -1 若 f '( x) =0,则 x ==- , x =1 3 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 变化情况如下表: 1 1 1 x (-∞,- ) - (- ,1) 1 (1,+∞) 3 3 3 f '( x) + 0 0 + - f ( x) 极大值 极小值 ? ? ? 1 5 ∴ f ( x) 的极大值是 f (? ) ? ? a ,极小值是 f (1) ? a ? 1 3 27
(II)函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? a ? (x ? 1) 2 ( x ? 1) ? a ? 1 由此可知,取足够大的正数时,有 f ( x) >0,取足够小的负数时有 f ( x) <0,所以曲线 y = f ( x) 与 x 轴至少有一个 交点 结合 f ( x) 的单调性可知: 当 f ( x) 的极大值

5 5 即 a ? (?? 它的极小值也小于 0, 因此曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点, ? a <0, , ? ) 时, 27 27

它在(1,+∞)上。 当 f ( x) 的极小值 a -1>0 即 a ? (1,+∞)时,它的极大值也大于 0,因此曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点,它在

(-∞,-

1 )上。 3

5 ) ∪(1,+∞)时,曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。 27 11. (全国卷Ⅱ)已知 a≥ 0 ,函数 f(x) = ( x 2 -2ax ) e x
∴当 a ? (??, ? (1) 当 X 为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论; (2)设 f(x)在[ -1,1]上是单调函数,求 a 的取值范围. 解: (I)对函数 f ( x) 求导数得 f ?( x) ? ( x ? 2 x ? 2ax ? 2a)e
2 x

令 f ?( x) ? 0, 得[ x 2 +2(1- a ) x -2 a ] e x =0 从而 x 2 +2(1- a ) x -2 a =0 解得 x1 ? a ? 1 ? a ? 1, x 2 ? a ? 1 ? a ? 1 当 x 变化时, f ( x) 、 f '( x) 的变化如下表
2 2

x
f ?( x) f ( x)

(??, x1 )
+ 递增

x1
0 极大值

( x1 , x 2 )
- 递减

x2
0 极小值
K]

( x2 ,??)
+ 递增
[来源:学。科。网 Z。X。X。

∴ f ( x) 在 x = x1 处取得极大值,在 x = x2 处取得极小值。
x

当 a ≥0 时, x1 <-1, x2 ? 0, f ( x) 在 ?x1 , x2 ? 上为减函数,在 ( x 2 ,??) 上为增函数 而当 x ? 0 时 f ( x) = x( x ? 2a)e ? 0 ,当 x=0 时, f ( x) ? 0

a 2 ? 1 时, f ( x) 取得最小值 (II)当 a ≥0 时, f ( x) 在 ?? 1,1? 上为单调函数的充要条件是 x 2 ? 1 3 2 即 a ? 1 ? a ? 1 ? 1 ,解得 a ? 4 3 3 于是 f ( x) 在[-1,1]上为单调函数的充要条件是 a ? 即 a 的取值范围是 [ , ?? ) 4 4 12. ( 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻
转 90°角,再焊接而成(如图), 问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 解:设容器的高为 x,容器的体积为 V,1 分 则 V=(90-2x) (48-2x)x,(0<V<24)5 分 =4x3-276x2+4320x ∵V′=12 x2-552x+4320……7 分 由 V′=12 x2-552x+4320=0 得 x1=10,x2=36 ∵x<10 时,V′>0, 10<x<36 时,V′<0, x>36 时,V′>0, 所以,当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960……………………………………………………10 分 又 V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………………………11 分 所以当 x=10,V 有最大值 V(10)=1960………………………………………………………12 分 13. ( 全国卷 III)已知函数 f ? x ? ?

所以当 x ? a ? 1 ?

4 x2 ? 7 1? , x ? ? 0, 2? x

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和值域;

1? , 1? , 1? , (Ⅱ) 设 a ? 1, 函数 g ? x ? ? x ? 3a x ? 2a,x ? ? 0, 若对于任意 x1 ? ? 0, 总存在 x0 ? ? 0, 使得 g ? x0 ? ? f ? x1 ?
2 2

成立,求 a 的取值范围

解:对函数 f ? x ? 求导,得 f ,? x ? ?


?4 x 2 ? 16 x ? 7

?2 ? x?

2

??

? 2 x ? 1?? 2 x ? 7 ? 2 ?2 ? x?
x 0

令f

? x ? ? 0 解得


x1 ?

1 7 或 x2 ? 2 2

当 x 变化时, f

? x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下表:
1? 2? ?1 ? ?2 ?

? 1? ? 0, ? ? 2?
?

1 2
0

?1 ? 1? ? , ?2 ?

1

所以,当 x ? ? 0, ? 时, f ? x ? 是减函数;当 x ? ? , 1? 时,

? ?

f ,? x ?

?

f ? x ? 是增函数; 1? 时, f ? x ? 的值域为 ? ?4, ? 3? 当 x ? ? 0,
(Ⅱ)对函数 g ? x ? 求导,得 g


f ? x?

?

7 2

?

?4

?

?3

[来源:学科网]

? x ? ? 3? x2 ? a2 ?

1? 时, g ,? x ? ? 3 1 ? a 2 ? 0 因此 a ? 1 ,当 x ? ? 0, 1? 时, g ? x ? 为减函数,从而当 x ? ? 0, 1? 时有 g ? x ? ? ? 因此当 x ? ? 0, ? g ?1?,g ? 0 ? ? ?
2 1? 时有 g ? x ? ? ? ? 2a ? 又 g ?1? ? 1 ? 2a ? 3a , g ? 0 ? ? ?2a ,即当 x ? ?0, ?1 ? 2a ? 3a , ?

?

?

2

2 1? , f ? x1 ? ? ? ?4, ? 3? ,存在 x0 ? ? 0, 1? 使得 g ? x0 ? ? f ? x1 ? ,则 ? ? 2a ? ? 3? 任给 x1 ? ?0, ?1 ? 2a ? 3a , ? ? ? ?4,

?1 ? 2a ? 3a 2 ? ?4 () 1 即? (2) ? ?2 a ? ? 3
解 () 1 式得 a ? 1 或 a ? ? 解 式得 a ? (2) 又 a ? 1,

5 3

3 2
故: a 的取值范围为 1 ? a ?

3 2

14. (北京卷)已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a, (I)求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 解: (I) f ’(x)=-3x2+6x+9.令 f ‘(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) , (3,+∞) . (II)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上 f ‘(x)>0,所以 f(x)在[-1, 2]上单调递增,又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递 减,因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有 22+a=20,解得 a=-2. 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7,

即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7. 15. (福建卷)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,f(-1) )处的切线方程为 6x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.
3 2

解: (Ⅰ)由 f ( x) 的图象经过 P(0,2) ,知 d=2,所以 f ( x) ? x ? bx ? cx ? 2,
3 2

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c. 由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,知 ? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6. ?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0,
故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2.
3 2

(Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3.
2

令3x 2 ? 6 x ? 3 ? 0,即x 2 ? 2 x ? 1 ? 0.

解得 x1 ? 1 ? 2 , x 2 ? 1 ? 当1 ? 2 ? x ? 1 ? 在 (1 ?

2. 当 x ? 1 ? 2 , 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0;

2时, f ?( x) ? 0.

故 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2在(??,1 ? 2 ) 内是增函数,在 (1 ? 2 ,1 ?

2 ) 内是减函数,

2 ,??) 内是增函数.

16. (福建卷)已知函数 f ( x) ?

ax ? 6 的图象在点 M(-1,f(x))处的切线方程为 x+2y+5=0. x2 ? b

(Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调区间. 解: (1)由函数 f(x)的图象在点 M(-1f(-1))处的 切线方程为 x+2y+5=0,知

1 ? 1 ? 2 f (?1) ? 5 ? 0, 即f (?1) ? ?2, f ?(?1) ? ? . 2 2 a ( x ? b) ? 2 x(ax ? 6) ? f ?( x) ? . ( x 2 ? b) 2
解得a ? 2, b ? 3(? b ? 1 ? 0, b ? ?1舍去). 所以所求的函数解析式是f ( x) ? ( II ) f ?( x) ? ? 2 x 2 ? 12 x ? 6 . ( x 2 ? 3) 2 2x ? 6 . x2 ? 3

令 ? 2 x 2 ? 12 x ? 6 ? 0, 解得x1 ? 3 ? 2 3 , x 2 ? 3 ? 2 3 , 当x ? 3 ? 2 3 , 或x ? 3 ? 2 3时, f ?( x) ? 0; 当3 ? 2 3 ? x ? 3 ? 2 3时, f ?( x) ? 0. 2x ? 6 在(??,3 ? 2 3 )内是减函数; 在(3 ? 2 3 ,3 ? 2 3 )内是增函数; x2 ? 3 在(3 ? 2 3 ,??)内是减函数. 所以f ( x) ?
17. (湖北卷) 已知向量 a ? ( x , x ? 1), b ? (1 ? x, t ), 若函数f ( x) ? a ? b 在区间(-1,1)上是增函数,求 t 的取值 范围.
2

解法 1:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t ,
2 3 2

则f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t. 若f ( x)在(?1,1)上是增函数, 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0.

? f ?( x) ? 0 ? t ? 3x 2 ? 2 x, 在区间(?1,1)上恒成立, 考虑函数g ( x) ? 3x 2 ? 2 x, 1 由于g ( x)的图象是对称轴为x ? , 开口向上的抛物线,故要使 t ? 3x 2 ? 2 x 在区间 3 (-1,1)上恒成立 ? t ? g (?1), 即t ? 5. 而当t ? 5时, f ?( x)在(?1,1)上满足f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数. 故t的取值范围是t ? 5 . 2 3 2 解法 2:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t , f ?( x) ? ?3 x 2 ? 2 x ? t. 若f ( x)在(?1,1)上是增函数, 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0. ? f ?( x) 的图象是开口向下的抛物线, ?当且仅当f ?(1) ? t ? 1 ? 0, 且f ?(?1) ? t ? 5 ? 0时 f ?( x)在(?1,1)上满足f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数.
故t的取值范围是t ? 5. 3 2 18. (湖南卷)设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x ? ax与g ( x) ? bx ? c 的图象的一个公共点,两函数的图象在
点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围. 解: (I)因为函数 f ( x) , g ( x) 的图象都过点( t ,0) ,所以 f (t ) ? 0 , 即 t 3 ? at ? 0 .因为 t ? 0, 所以 a ? ?t 2 .

g (t ) ? 0,即bt 2 ? c ? 0, 所以c ? ab. 又 因为 f ( x) , g ( x) 在 点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ?(t ) ? g ?(t ). 2 2 而 f ?( x) ? 3x ? a, g ?( x) ? 2bx, 所以3t ? a ? 2bt.
将 a ? ?t 2 代入上式得 b ? t.
3

因此 c ? ab ? ?t 3 . 故 a ? ?t 2 , b ? t , c ? ?t 3 .
2 2 3 2 2

(II)解法一 y ? f ( x) ? g ( x) ? x ? t x ? tx ? t , y ? ? 3x ? 2tx ? t ? (3x ? t )( x ? t ) . 当 y ? ? (3x ? t )( x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减.

t t ? x ? t ;若 t ? 0, 则t ? x ? ? . 3 3 由题意,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,则 t t (?1,3) ? (? , t )或(?1,3) ? (t ,? ). 3 3 t 所以 t ? 3或 ? ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3 又当 ? 9 ? t ? 3时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减. 所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??). 3 2 2 3 2 2 解法二: y ? f ( x) ? g ( x) ? x ? t x ? tx ? t , y ? ? 3x ? 2tx ? t ? (3x ? t )( x ? t ) 因为函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,且 y ? ? (3x ? t )( x ? t ) 是(-1,3)
由 y ? ? 0 ,若 t ? 0, 则 ? 上的抛物线,

?(?3 ? t )( ?1 ? t ) ? 0. 解得 t ? ?9或t ? 3. ?(9 ? t )(3 ? t ) ? 0. 所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??). 1 19.(湖南卷)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax2+bx,a≠0. 2
所以 ? 即? (Ⅰ)若 b=2,且 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1,C2 于点 M、

? y ? | x ? ?1 ? 0, ? y ? | x ? 3 ? 0.

N,证明 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 解: (I) b ? 2时, h( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x , 2 1 ax 2 ? 2 x ? 1 则 h ?( x) ? ? ax ? 2 ? ? . x x 因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h?( x) <0 有解.

又因为 x>0 时,则 ax2+2x-1>0 有 x>0 的解. ①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; ②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,而 ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; 则△=4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根.此时,-1<a<0. 综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). (II)证法一 设点 P、Q 的坐标分别是(x1, y1) , (x2, y2) ,0<x1<x2.

x1 ? x2 , 2 1 2 , C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ? | x1 ? x2 ? x x? 2 x1 ? x 2
则点 M、N 的横坐标为 x ? C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |
x ?x x? 1 2 2

?

a( x1 ? x 2 ) ? b. 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2. 即

a( x1 ? x 2 ) 2 ? ? b ,则 x1 ? x 2 2

2( x 2 ? x1 ) a 2 a 2 a ? ( x 2 ? x12 ) ? b( x 2 ? x1 ) ? ( x 2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x1 ? x 2 2 2 2 = y 2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 . x 2( 2 ? 1) x x x1 2(t ? 1) . 设 t ? 2 , 则 ln t ? 所以 ln 2 ? , t ? 1. ① x2 x1 x1 1? t 1? x1
1 4 (t ? 1) 2 2(t ? 1) ? ? . 令 r (t ) ? ln t ? , t ? 1. 则 r (t ) ? ? t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2 1? t 因为 t ? 1 时, r ?(t ) ? 0 ,所以 r (t ) 在 [1,?? )上单调递增. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 2(t ? 1) 则 ln t ? . 这与①矛盾,假设不成立. 1? t
故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 证法二:同证法一得 ( x2 ? x1 )(ln x2 ? ln x1 ) ? 2( x2 ? x1 ). 因为 x1 ? 0 ,所以 ( 令t ?

x2 x x ? 1) ln 2 ? 2( 2 ? 1). x1 x1 x1

x2 ,得 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1. ② x1
1 t

令 r (t ) ? (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1, 则r ?(t ) ? ln t ? ? 1.

1 1 t ?1 1 ? 2 ? 2 ,所以 t ? 1 时, (ln t ? )? ? 0. t t t t 1 1 故 ln t ? 在[1,+ ?) 上单调递增.从而 ln t ? ? 1 ? 0 ,即 r ?(t ) ? 0. t t
因为 (ln t ? )? ?

1 t

于是 r (t ) 在[1,+ ?) 上单调递增. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 即 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1). 这与② 矛盾,假设不成立. 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 20. (辽宁卷) 函数 y ? f ( x) 在区间 (0, +∞) 内可导, 导函数 f ?( x) 是减函数, 且 f ?( x) ? 0. 设 x0 ? (0,??), y ? kx ? m 是曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )得的切线方程,并设函数 g ( x) ? kx ? m. (Ⅰ)用 x 0 、 f ( x0 ) 、 f ?( x0 ) 表示 m; (Ⅱ)证明:当 x0 ? (0,??)时, g ( x) ? f ( x) ; (Ⅲ)若关于 x 的不等式 x 2 ? 1 ? ax ? b ?

3 3 x 在[0,??) 上恒成立,其中 a、b 为实数, 2

2

求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系. 解: (Ⅰ) m ? f ( x0 ) ? x0 f ?( x0 ). …………………………………………2 分 (Ⅱ)证明:令 h( x) ? g ( x) ? f ( x), 则h?( x) ? f ?( x0 ) ? f ?( x), h?( x0 ) ? 0. 因为 f ?( x) 递减,所以 h?( x) 递增,因此,当 x ? x0时, h?( x) ? 0 ; 当 x ? x0时, h?( x) ? 0 .所以 x 0 是 h( x ) 唯一的极值点,且是极小值点,可知 h( x ) 的 最小值为 0,因此 h( x) ? 0, 即 g ( x) ? f ( x). …………………………6 分 (Ⅲ)解法一: 0 ? b ? 1 , a ? 0 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.

x 2 ? 1 ? ax ? b,即x 2 ? ax ? (1 ? b) ? 0 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是
1

a ? 2(1 ? b) 2 .

另一方面,由于 f ( x) ? 3 x 3 满足前述题设中关于函数 y ? f ( x) 的条件,利用(II)的结果可知, ax ? b ? 3 x 3 的充 2 2
2 ? 要条件是:过点(0, b )与曲线 y ? 3 x 3 相切的直线的斜率大于 a ,该切线的方程为 y ? (2b) 2 x ? b.

2

2

1

2

于是 ax ? b ? 3 x 的充要条件是 a ? (2b) 2 . …………………………10 分
2

2 3

1

3 综上,不等式 x ? 1 ? ax ? b ? x 3 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 2
2

2

[来源:Z.xx.k.Com]

(2b)

?

1 2

1

? a ? 2(1 ? b) 2 .
1 ? 2 1 2



显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不等式 (2b) 有解、解不等式②得

? 2(1 ? b) . ②

2? 2 2? 2 ③ ?b? . 4 4 因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.…………12 分 (Ⅲ)解法二: 0 ? b ? 1, a ? 0 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.

x 2 ? 1 ? ax ? b,即x 2 ? ax ? (1 ? b) ? 0 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是
1

a ? 2(1 ? b) 2 . ………………………………………………………………8 分

令 ? ( x) ? ax ? b ?

2 3 3 x ,于是 ax ? b ? 3 x 3 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 2 2

2

? ( x) ? 0. 由 ? ?( x) ? a ? x ? 0得x ? a ?3 . 当 0 ? x ? a ?3 时 ? ?( x) ? 0; 当 x ? a ?3 时, ? ?( x) ? 0 ,所以,当 x ? a ?3 时, ? ( x ) 取最小值.因此 ? ( x) ? 0 成立的
充要条件是 ? ( a ) ? 0 ,即 a ? (2b)
?3

?

1 3

?

1 2

. ………………10 分

综上,不等式 x 2 ? 1 ? ax ? b ? 3 x 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是
2

2 3

(2b)

?

1 2

1

? a ? 2(1 ? b) 2 .


? 1 2

显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不 等式 (2b) 有解、解不等式②得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 .
4 4

? 2(1 ? b)

1 2



因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.…………12 分 21. (山东卷)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x) 的单调区间;
3 2

(III)当 x ? ? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围. 解(I) f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以
2

n ? 3m ? 6
(II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ? 1 ?
2

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

x
f ?( x) f ( x)

2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x) 的变化如下表: m 2? 2 ? 2 ? ? 1 1? ? ??,1 ? ? ?1 ? ,1? m? m ? ? m ? 0 0 ?0 ?0
调调递减 极小值 单调递增 极大值

?1, ?? ?
?0
单调递减

2? 2 ? ? 单调递减,在 (1 ? ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m? m ? 2 (III)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0 2 2 2 2 又 m ? 0 所以 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m 2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 所以 ? 解之得 ? ? m 又 m ? 0 所以 ? ? m ? 0 ?? m m 3 3 ? g (1) ? 0 ? ? ?1 ? 0
故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ?

? 4 ? ? 3 ? 22.(重庆卷)设函数 f(x)?2x3?3(a?1)x2?6ax?8,其中 a?R。 (1) 若 f(x)在 x?3 处取得极值,求常数 a 的值; (2) 若 f(x)在(??,0)上为增函数,求 a 的取值范围。 2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6( x ? a)( x ? 1). 因 f ( x)在x ? 3 取得极值, 所以 f ?(3) ? 6(3 ? a)(3 ? 1) ? 0. 解得 a ? 3. 经检验知当 a ? 3时, x ? 3为f ( x) 为极值点. (Ⅱ)令 f ?( x) ? 6( x ? a)( x ? 1) ? 0得x1 ? a, x2 ? 1. 时, 若x ? (??, a) ? (1,??), 则f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(??, a) 和 (1,??) 上 为 增 函 数 , 故 当 当 a ?1 0 ? a ? 1时, f ( x)在(??,0) 上为增函数. 时, 若x ? (??,1) ? (a,??), 则f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(??,1)和(a,??) 上为增函数,从而 f ( x)在(??,0] 上 当a ?1
即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ? 也为增函数.

综上所述,当 a ? [0,??)时, f ( x)在(??,0) 上为增函数.

23. (重庆卷)已知 a?R,讨论函数 f(x)?ex(x2?ax?a?1)的极值点的个数。
19. (本小题 13 分)
x 2
[来源:学科网]

解: f ?( x) ? e ( x ? ax ? a ? 1) ? e (2 x ? a) ? e [ x ? (a ? 2) x ? (2a ? 1)],
2 x x 2

令 f '( x) =0 得 x ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0. (1)当 ? ? (a ? 2) ? 4(2a ? 1) ? a ? 4a ? a(a ? 4) ? 0.
2 2

即 a <0 或 a >4 时 x ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0 有两个不同的实根 x1 , x2 ,不妨设 x1 < x2
2

于是 f ?( x) ? e x ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,从而有下表 x
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

f ?( x) + 0 f ( x) f ( x1 ) 为极大值 ↑ 即此时 f ( x) 有两个极值点.
2

(??, x1 )

x1

( x1 , x 2 )
- ↓

x2
0

( x2 ,??)
+ ↑

f ( x2 ) 为极小值

(2)当△=0 即 a =0 或 a =4 时,方程 x ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0 有两个相同的实根 x1 ? x2 于是 f ?( x) ? e x ( x ? x1 ) 2 故当 x < x1 时 f '( x) >0,当 x > x2 时 f '( x) >0,因此 f ( x) 无极值 (3)当△<0 即 0< a <4 时 x ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0
2

f ?( x) ? e x [ x 2 ? (a ? 2) x ? (2a ? 1)] ? 0 , 故 f ( x) 为 增 函 数 , 此 时 f ( x) 无 极 值 . 因 此 当 a ? 4或a ? 0时, f ( x)有2个极值点,当0 ? a ? 4时, f ( x) 无极值点.
24.(江苏卷)已知 a ? R, 函数 f ( x) ? x x ? a .
2

(Ⅰ)当 a=2 时,求使 f(x)=x 成立的 x 的集合; (Ⅱ)求函数 y=f ( x)在区间[1,2]上的最小值.
2

解: (1)当 a=2 时, f ? x ? ? x x ? 2 ,则方程 f(x)=x 即为 x x ? 2 ? x
2

解方程得: x1 ? 0, x2 ?

2 ? 1, x3 ? 1
2

3 2 ? ? x ? ax , x ? a (2) (I)当 a>0 时, f ? x ? ? x x ? a ? ? 2 , 3 ? ? ax ? x , x ? a 2a 作出其草图见右, 易知 f ? x ? 有两个极值点 x1 ? 0, x2 ? 借助于图像可 3

Y



O

a

X

当 0 ? a ? 1时,函数 f ? x ? 在区间[1,2]上为增函数,此时 当 1 ? a ? 2 时,显然此时函数的最小值为 f ? a ? ? 0 当 2 ? a ? 3 时,

f ? x ?min ? f ?1? ? 1 ? a

∴ f ? 2 ? ? f ?1? ? 3a ? 7 则当

f ? x ?min

4 2a ? 2a ? ? 2a ? ? ? 2 ,此时 f ? x ? 在区间 ?1, ? 为增函数,在区间 ? , 2 ? 上为减函数,∴ 3 3 ? 3? ? 3 ? ? min ? f (1), f (2)? ,又可得 f ?1? ? a ? 1, f ? 2 ? ? 4a ? 8

7 ? a ? 3 时, f ? 2 ? ? f ?1? ? 0 ,此时 f ? x ?min ? f (1) ? a ? 1 3

7 时, f ? 2 ? ? f ?1? ? 0 ,此时 f ? x ?min ? f (2) ? 4a ? 8 3 2a 当 a ? 3 时, ? 2 ,此时 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 为增函数,故 3 f ? x ?min ? f (1) ? a ? 1
当2? a ?
2

Y

(II)当 a ? 0 时, f ? x ? ? x x ,此时 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 也为增函数,故

f ? x ?min ? f (1) ? 1
(III)当 a ? 0 时,其草图见右 显然函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 为增函数,故 f ? x ?min ? f (1) ? 1 ? a
O a X


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