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高考数学填空题巧思妙填一点通


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高考数学填空题巧思妙填一点通
填空题是数学高考的三种基本题型之一,其求解方法分为:直接运算推理法、赋值计算 法、规律发现法、特值猜想法、数形互助法等等. 在解答问题时,要有合理的分析和判断, 要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化 思路、少算多思将是

快速、准确地解答填空题的基本要求,在草纸上少写一点,在头脑里多 思考一点,这可能会加快解的速度. 下面将按知识分类加以例说. 1. 函数、不等式与导数 例 1 ( 2006 年 上 海 春 季 高 考 题 )

函 数 f ( x) ? 3x ? 5,

x ?[ 0, 1 ] 的 反 函 数

f

?1

( x) ?



点 通 : 由 y ? 3x ? 5,

x ?[ 0, 1] , 得 y ??5 , ? . 解 出 x ? 8

1 5 y? , , 从 而 3 3

f ?1 ( x ) ?

1 5 1 x ? , x??5,8?. 从而应填 ( x ? 5), x ?? 5, 8 ? . 3 3 3

说明:原函数的值域是反函数的定义域.求反函数的程序为:先求原函数的值域,再反 解. 例2 (2006 年上海春季高考题)不等式

1 ? 2x ? 0 的解集是 x ?1



点通:不等式

1? 1 ? 2x ? ? 0 等价于 ?1? 2x ?? x ?1? ? 0 ,也就是 ? x ? ? ? x ? 1? ? 0 ,所以 x ?1 2? ?

?1 ? x ?

1 ? 1 ? ,从而应填 ? x ?1 ? x ? , x ? R ? . 2 2 ? ?

说明:快速解答此题需要记住小结论:应用小结论: 例3

a ? 0 ? ab ? 0 . b


(2006 年上海春季高考题)已知直线 l 过点 P( 2, 1) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴 分别交于 A、 B 两点, O 为坐标原点,则三角形 OAB 面积的最小值为

x y 2 1 点通:设直线 l 为 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,则有关系 ? ? 1 . a b a b


2 1 2 1 2 1 2 2 ? ? 1 应用2元均值不等式,得 1 ? ? ? 2 ? ? ,即 ab ? 8 . a b a b a b ab

于是,三角形 OAB 面积为 说明:也可由

S?

1 a ? 4 .从而应填4. b 2

2 1 ? ? 1 ,得 ab ? a ? 2b ? 2 2ab ? ab ? 8 .特别注意,不等式中的 a b
年 江 苏 高 考 试 题 ) 已 知 a,b . 为 常 数 , 若

等号是可以成立的. 例4 ( 2005

f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10x ? 24, 则 5a ? b ?

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点通:由 f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24, 得 (ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24, 即 a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24, 比较系数,得

?a 2 ? 1, ? ?2ab ? 4a ? 10, ?b 2 ? 4b ? 3 ? 24. ?

解得

a ? ?1 ,b ? ? 7 或 a ? 1, b ? 3 ,所以 5a ? b ? 2 . ,

说明:本题考查了复合函数解析式的运用,待定系数法及其相关的计算. 例5 若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 在区间 [0,3] 上的最大值和最小值之差为_______.

点通: 显然有 f ?( x) ? 3x2 ? 3 . 易知当 x ? 1 时, 函数 f ( x ) 取得最小值 ?2 ? a ; x ? 3 当 时,函数 f ( x ) 取最大值 18 ? a ,后者与前者的差为 20. 说明:三次函数是高考的一个热门话题.连续函数在闭区间上必有最大值和最小值. 2. 三角、向量与复数

4 ,且 sin ? ? cos ? ? 1 ,则 sin 2? ? ________. 5 4 3 点 通 : 由 sin ? ? 可 以 读 出 cos ? ? ? . 而 有 条 件 sin ? ? cos ? ? 1 , 所 以 知 道 5 5 3 24 cos ? ? ? , sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? . 5 25 5 说 明 : 记 住 一 些 常 用 的 结 论 , 有 时 可 以 快 速 解 答 问 题 , 如 : 当 sin ? ? 时, 13 12 cos ? ? ? .看看上面的"读出", “取舍”“用公式” , ,想想解题思维的流程,会有什么 13
例6 已知 sin ? ? 启发? 例 7 限. 点 通 : 显 然 有 l gx(2 ? 复数 z ? lg( x ? 2) ? (3 ? 3 ?1)i( x ? R) 在复平面内对应的点位于第______象
2 x ?x

3) ?

? l ? 3 而0由 2x ? 2 x? 2 ?x g , 2

?

2x ?

,2知 道

?(2x ? 2? x ?1) ? 0 .
说明: 在解答当中, 2 ? 2
x ?x

? 2 你能直接看出来吗?复数在高考中是一个淡化的

知识点,一般命制一道选择题或填空题. 例8 已知 ?

?
2

?? ?

?
2

,且 sin ? ? cos? ? a, 其中 a ? ? 0,1? ,则关于 tan ? 的值,在 ②

以下四个数值:

① ?3

1 3



?

1 3



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?

1 5
点通:由题意知 ?

其中, a 的值可以是________.

?

2

? ? ? 0 ,从而 tan ? ? 0 .此时有

cos? ? a ? sin ? ? ? sin ? ? 0 ? cos? ? ? sin ? ,
即有 ?1 ? tan ? ? 0, 于是,排除①和②,应该填③,④. 说明:应用范围估计,有时可以巧妙的解答一些选择或填空题.试问:你有这样的解题 经验吗?知识积累(量的增加)的过程也就是能力逐渐提升(质的变化)的过程. 例9 如图,设点 O 在 ?ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? OC ? 0 ,则

A

?ABC 的面积与 ?AOC 的面积的比为________. ??? ? ? 1 ??? ???? 点通:由条件得知 OB ? ? (OA ? OC ) ,所以点 O 是 AC 边上的中线的 2 中点,于是,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面积之比为 2.
说明:我们知道,等底等高的三角形,其面积相等;共底三角形的面积 之比,等于该底上对应高的比. 3. 数列、排列组合、二项式定理与概率统计

O B C

例 10 已 知 ?an ? 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , 如 果 S n 是 ?an ? 的 前 n 项 和 , 那 么

lim
n ??

nan ? _____. Sn
特别取 an ? n ,有 S n ?

点通:

n?n ? 1? ,于是有 2

lim
n ??

nan 2n 2 ? lim ? lim Sn n ?? n?n ? 1? n ??

2 1 1? n

? 2.

故应填 2.

说明:有时,选择特殊的数值、函数、数列、图形等,可快速解答某写填空题,这点应 引起读者的重视. 例 11 ( 2005 年 福 建 高 考 题 ) 若 常 数 b 满 足 |b|>1 , 则

1 ? b ? b 2 ? ? ? b n ?1 l i m ? n ?? bn

2

. 一 般 解 答 :


n ?1



lim

1? b ? b ??? b n ?? bn

1 ? bn 1 ? bn 1 bn ? 1 1 ? lim n = ? lim 1 ?nb ? lim n . n ?? n ?? b (1 ? b) b ?1 b b ? 1 n?? b

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n ? 1 ? 1 ?2 1 ? b ? b 2 ? ? ? b n ?1 ?1? ? ? lim ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 简便解答: lim n ?? n ?? b bn ?b? ?b? ? ? ? ?

1 1 . ? b ? 1 b ?1 1? b
说明:比较两个解答,你能想到什么?看来,活学活用是应时时提倡的. 例 12 (2005 年辽宁高考试题)用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数 字的八位数,要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,这样的八位数 . 共有___________个. (用数字作答)
3 点通:将1与2,3与4,5与6捆绑在一起排成一列有 A3 ? 2 3 ? 48 种,再将7、8 2 插入 4 个空位中的两个有 A4 ? 12 种,故有 48 ? 12 ? 576 种.

说明:相邻用捆绑法,不相邻用插空法.

1? ? 例 13 二项展开式 ? 2 x ? ? 的各项系数的绝对值之和为729,则展开式中的常数 x? ?
项是 .

n

点通:二项展开式 ? 2 x ?

? ?

1? 1? ? ? 的各项系数的绝对值之和就是 ? 2 x ? ? 展开式的各项系 x? x? ?
6
n

n

n

1? ? 数之和,取 x ? 1 ,得 ? 2 ? 1? ? 3 ,则有 3 ? 729 ? 3 ,所以 n ? 6 .于是 ? 2x ? ? 的通 x? ?
n

n

6

项为

1 r Tr ?1 ? C6r (2 x)6? r (? ) r ? C6 26? r (?1) r x 6?2 r . x
3 令 6 ? 2r ? 0 ,得 r ? 3 .所以常数项为 C6 23 (?1)3 ? ?160 .

说明: 只要细心计算, 就不难得出正确的答案. 当中的转化你能想的到吗?请多思考, 多体会. 例 14 如图是一个边长为 4 的正方形及其内切圆,若随机向正方形内丢一粒豆子,则 豆 子落入圆内的概率是________. 点通:因为正方形的面积是16,内切圆的面积是 4? ,所以豆子落入圆内 的概率是

4? ? ? . 16 4

说明: 概率是高中的新知识, 学习时应当紧扣课本的概念, 透彻地理解概念的本质,这样就能快速解答问题. 4. 立体几何 例 15 三棱柱 ABC ? A B C 的体积为1,P 为侧棱 B1B
' ' '

C' A' C A B'

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P B

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上的一点,则四棱锥 P ? ACC A 的体积为____________.
' '

点通:设点 P 到面 ABC,面 A B C 的距离分别为 h1 , h2 ,则棱柱的高为 h ? h1 ? h2 ,又
' ' '

记 S ? S? ABC ? S? A' B'C' , 则 三 棱 柱 的 体 积 为 V ? sh ? 1 . 而 从 三 棱 柱 中 取 去 四 棱 锥

P ? ACC ' A' 的剩余体积为
1 1 1 1 V ' ? VP ? ABC ? VP ? A' B'C ' ? sh1 ? sh2 ? s (h1 ? h2 ) ? , 3 3 3 3 1 2 VP ? ACC ' A' ? V ? V / ? 1 ? ? . 3 3

从而

说明: 立几试题的解答常用到几何体的割与补法, 这种分与合思想需要我们反复的琢磨 和体味. 例 16 正三棱锥 P-ABC 的底面边长为 1,E、F、G、H 分别是 PA、 AC、BC、 P PB 的中点,四边形 EFGH 的面积为 S,则 S 的取值范围是 . 点通:由题意可知 PC ? AB ,因而四边形 EFGH 为矩形.设正三棱锥的侧 E

H G

1 x x 棱 PA ? x, 则S ? ? ? , 设 P 在 平 面 上 的 射 影 为 O , 连 AO , 则 2 2 4
AO ?

C A F B

? 3 ? 3 3 3 PA , 在Rt?ABC中, ? AO , , 即S ? , ?? ? . 从而 x ? . 故应填 ? ? 12 ? 3 3 12 ? ?

说明:显然,点 P 到平面 ABC 的距离可以无限大,这时 S 也可以无限大.该问题可以在 课本上找到它的影子, 你知道吗?数学学习请别远离课本, 因为有些考题的生长点就在课本 上的. 5.解析几何 例 17 如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 FB ⊥ AB 时,

??? ?

??? ?

y B F x O A

其离心率为

5 ?1 ,此类椭圆被称为“黄金椭圆” .类比黄金椭圆, 2
5 ?1 .事实上 2
2 2 2

可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于_____________ . 点通:猜想出“黄金双曲线”的离心率 e 等于 对直角 ? ABF 应用勾股定理,得

AF ? BF ? AB ,即有

?a ? c?
注意到 b ? c ? a , e ?
2 2 2

2

? ?b2 ? c2 ? ? ? a 2 ? b2 ? ,

c ,变形得 a

e2 ? e ? 1 ? 0 ,从而 e ?

5 ?1 . 2

说明:类比推理、类比发现是今年高考的一个新的亮点.这种问题的情景比较清新,结 构比较巧妙,变化比较合理,是用"活题"考能力的典范. 例 18 ( 2005 年 重 庆 高 考 试 题 ) 连 接 抛 物 线 上 任 意 四 点 组 成 的 四 边 形 可 能 是
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(填写所有正确选项的序号) . ①菱形 ②有 3 条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 点通:①菱形不可能.如果这个四边形是菱形,那么菱形的一条对角线垂直抛物线的对 称轴,这时四边形的必有一个顶点在抛物线的对称轴上(非抛物线的顶点);④平行四边形也 不可能. 因为抛物上四个点组成的四边形最多有一组对边平行. 故连接抛物线上任意四点组 成的四边形可能是②③⑤. 说明:针对②③⑤,你能构造出具体的图形吗? 6.综合创新题 例 19 有些计算机对表达式的运算处理过程实行 “后缀表达式” 运算符号紧跟在运算 : 对 象 的 后 面 , 按 照 从 左 到 右 的 顺 序 运 算 , 如 表 达 式 3 ? ( x ? 2) ? 7 , 其 运 算 为 :

3, x,2,?,*,7,? ,若计算机进行运算: x, x,2,?,*,lg ,那么使此表达式有意义的 x 的范围
为 _____________ . 点通:计算机进行运算: x, x,2,?,*,lg 时,它表示的表达式是 lg x ? x ? 2? ,当其有意 义时,得 x ? x ? 2? ? 0 ,解得 x ? 0或x ? 2 . 说明:解答问题的关键是:仔细地阅读问题,深刻的理解题意,在此基础上,准确的写 出所叙运算的表示式. - 例 20 某种汽车安全行驶的稳定性系数μ 随使用年数 t 的变化规律是 μ=μ0e λt,其中 μ0、λ 是正常数.经检测,当 t=2 时,μ=0.09μ0,则当稳定系数降为 0.50μ0 时,该种汽车 的使用年数为 (结果精确到 1,参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771). 点通:由 0.90μ0=μ0(e λ)2,得 e λ= 0.90,于是 1 - 0.50μ0=μ0(e λ)t ? 2=( 0.90)t, 1 t 两边取常用对数,lg2=2lg0.90, 解出 -2lg2 2×0.602 t= = =13.1. 2lg3-1 1-2×0.4771
- -

说明: 对一个等式的两边取对数,平方,取倒数,移项,等等细小的技巧我们可要熟 滥于心呀. 这种细节有时可能是解题思维受阻的关节所在. 难怪说: 成在细节, 败也在细节. 例 21 在某电视歌曲大奖赛中,最有六位选手争夺一个特别奖,观众 A,B,C,D 猜测 如下:A 说:获奖的不是 1 号就是 2 号;A 说:获奖的不可能是 3 号;C 说:4 号、5 号、6 号都不可能获奖;D 说:获奖的是 4 号、5 号、6 号中的一个.比赛结果表明,四个人中恰 好有一个人猜对,则猜对者一定是观众 获特别奖的是 号选手. 点通:推理如下:因为只有一人猜对,而 C 与 D 互相否定,故 C、D 中一人猜对。假设 D 对,则推出 B 也对,与题设矛盾,故 D 猜错,所以猜对者一定是 C;于是 B 一定猜错,故 获奖者是 3 号选手(此时 A 错) . 说明:逻辑推理问题是很有趣的,它以能力立意,着力考查思维的灵活性、方向性、选 择性和目的性.
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填空题的类型一般可分为:完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说 明了填空题是数学高考命题改革的试验田, 创新型的填空题将会不断出现. 因此, 我们在备 考时,既要把关注这一新动向,又要做好应试的技能准备. 练习题 1.在下列函数中,满足函数方程 f ? f ( x)? ? x ? 2 的一个函数是________. 2.已知正数 a , b 满足 ab ? 1 ,则

如 图, 数据线 之一 要 D B 4.有两个同心圆,在外圆周上有不重合的 4 个点,在内圆周 用 上有不重合的 2 个点,由这 6 个点确定的直线的条数最少为_____. 三 5.对于函数 y ? f (x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f (x) 的零点.如果函数 根 y ? f (x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,我们就 数 x 说 函 数 y ? f (x) 在 区 间 (a, b) 内 有 零 点. 则 函 数 f ( x) ? e ? log? x ? 2x ?据的 零 点有 7 线 个. 将 6.把一张长方形纸片按如图所示的方式连续对折,使每一次得到的折痕保持平行,这 四 样对折 7 次后展开,问:长方形纸片中有_______条折痕. 台 电 脑 第一次对折后 第二次对折后 A、 B、 AC AE ? 7. 在平面几何中: ABC 的∠C 内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 Δ 把这 C、 . 3.如图,要用三根数据线将四台电脑 A、B、C、D 连接 起来以实现资源共享,则不同的连接方案共有 种(用数字作答). D 个结论类比到空间: 在三棱锥 A—BCD 中 (如图) 平分二面角 A—CD—B 且与 AB 相交于 E, DEC 连 则得到类比的结论是 . 接 起 来 以 实 现 8. (2006 年上海春季高考题)同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高 资 分,那么班级的平均分将降低;反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高. 源 ? 这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列 a1 , a 2 , ? , a n 满足 a1 ? a 2 ? ?共 a n ,则 (结论用数学式子表示) . 享, 则 不 答案 1. f ( x) ? x ? 1 . 2.1. 3.16. 4.8. 5.1. 6.127. 同 的 AE S ?ACD a1 ? a2 ? ? ? am a1 ? a2 ? ? ? an 连 ? 7. .8. ? (1 ? m ? n ) ,与 m n EB S?BCD 接 方 案 共 京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com 有 种 (用 数

a b ? 2 的最大值是_________. A a ?1 b ?1
2

C

BC

BE

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am?1 ? am?2 ? ? ? an a1 ? a2 ? ? ? an ? n?m n

(1 ? m ? n ) .

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