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【原创精品资料】9.4《随机事件的概率及古典概型》错误解题分析


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9.4《随机事件的概率及古典概型》错误解题分析
一、知识导学 1、必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件。 不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件。 随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。 2、概率:实际生活中所遇到的事件包括必然事件、

不可能事件和随机事件。随机事件在现 实世界中是广泛存在的。在一次试验中,事件 A 是否发生虽然带有偶然性,但在大量重复试 验下,它的发生呈现出一定的规律性,即事件 A 发生的频率

m 总是接近于某个常数,在它 n

附近摆动,这个常数就叫做事件 A 的概率。记着 P(A)。0≤P(A)≤1 3、若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本 事件。 4、具有以下两个特点:(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件的发生都 是等可能的。我们将满足上述条件的 随 机 试 验 的 概 率 模 型 称 为 古 典 概 型 5、等可能事件的概率:如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结 果有m种,那么事件 A 的概率 P(A)= 二、疑难知识导析 1、必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系:必然事件是指在一定条件下必然发生 的事件; 不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件; 随机事件是指在一定的条件下 可能发生也可能不发生的事件。要辨析清事件的条件和结果,理解事件的结果是相应于“一 定条件”而言的,必须明确什么是事件发生的条件,什么是在此条件下产生的结果。上述三 种事件都是在一定条件下的结果。 2、频率与概率:随机事件 A 的频率指此事件发生的次数m与试验总次数n的比值,它是随 着试验次数的改变而变化的,它具有一定的稳定性,即总在某个常数p附近摆动,且随着试 验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小,于是,我们给这个常数取个名字,叫随机事件 的概率。因此,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小;而频率在大量重复试验 的前提下,可近似地作为这个事件的概率。即概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值。 3、必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0,随机事件的概率:0<P(A)<1,这里要 辩证地理解它们的概率: 必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端, 它们虽是两
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m 。 n

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类不同的事件,但在一定的情况下又可以统一起来,即任意事件 A 的概率满足:0≤P(A) ≤1 4、等可能事件的理解:一次试验中所有可能的n个基本结果出现的可能性都相等,这n个 结果对应着n个基本事件。对等可能事件的理解,其实质在于对等可能性的理解。 “等可能 性”指的是结果,而不是事件。例如抛掷两枚均匀的硬币,可能出现“两个正面”“两个反 面”“一正一反”“一反一正”这四种结果,每一种结果的可能性相等,都是 0。25;而出 现“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的。 5、注意用集合的观点来看概率,运用图式法来弄清各事件之间的关系。对古典概率来说, 一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合 I, 其中各基本事件均为集合 I 的含有一个 元素的子集,包括m个基本事件的子集 A,从而从集合的角度来看:事件 A 的概率是子集 A 的元素的个数与集合 I 的元素个数的比值,即 P(A)=

m 。因此,可以借助集合的表示法 n

来研究事件,运用图示法弄清各事件的关系,从而做到较深刻的理解。 三、经典例题导讲 [例 1] 某人有 5 把钥匙,但忘记了开房门的是哪一把,于是,他逐把不重复地试开,问恰 好第三次打开房门锁的概率是多少? 【错解】有 5 把钥匙,每次打开房门的概率都是 第三次打开房门的概率是

1 4 ,不能打开房门的概率是 ,因而恰好 5 5

4 4 1 16 × × = 。 5 5 5 125

【错因】上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”。 正解:我们知道最多开 5 次门,且其中有且仅有一次可以打开房门,故每一次打开门的概率 是相同的,都是

1 3 。开三次门的所有可能性有 A5 种。第三次打开房门,则房门钥匙放在第 5
2

3 号位置上,前两次没能打开门,则前 2 个位置是用另 4 把钥匙安排的,故有 A4 种可能。
2 A4 1 从而恰好第三次打开房门锁的概率是 P(A)= 3 ? 。 A5 5

[例 2] 某组有 16 名学生,其中男、女生各占一半,把全组学生分成人数相等的两小组,求 每小组里男、女生人数相同的概率。

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8 8 【错解】把全组学生分成人数相等的两小组,有 C16 C8 种分法,事件 A 为组里男、女生各

半的情形,它有 (C C )

4 8

4 2 种,所以 8

(C84 C84 ) 2 P(A)= 。 8 C16

【错因】这里没注意到均匀分成两组与分成 A、B 两组的区别。 【正解】基本事件有

1 8 8 1 C16 C8 ,事件 A 为组里男、女生各半的情形,它有 (C 84 C 84 ) 2 种, 2 2

1 ( C84 C84 )(C84 C84 ) 490 所以 P(A)= 2 。 ? 1 8 1287 C16 2
[例 3] 把一枚硬币向上连抛 10 次,则正、反两面交替出现的概率是 。

【错解】抛掷一枚硬币出现正、反两面的可能性都相等,因而正、反两面交替出现的概率是

1 。 2
【错因】没审清题意。事实上,把一枚硬币向上连抛 10 次,出现正面 5 次的概率同样也不 等于

1 。 2
10

【正解】连抛 10 次得正、反面的所有可能的情况共有 2 种,而题设中的正、反两面交替 出现的情况只有 2 种,故所求的概率为

2 1 ? 。 10 512 2

[例 4](上海卷)某科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成,现从 中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 示)。 解:设“从 20 名成员中随机选出的 2 人来自不同国家”为事件 A,则 A 所包含的基本事件
1 1 1 1 1 1 2 数为 C11C4 ? C11C5 ? C4 C5 ? 119,又基本事件数为 C 20 。故 P(A)=

(结果用分数表

119 119 。 ? 2 C 20 190

[例 5] 将 4 个编号的球放入 3 个编号的盒中, 对于每一个盒来说, 所放的球数k满足 0≤k ≤4。在各种放法的可能性相等的条件下,求: (1)第一个盒没有球的概率; (2)第一个盒恰有 1 个球的概率; (3)第一个盒恰有 2 个球的概率; (4)第一个盒有 1 个球,第二个盒恰有 2 个球的概率。
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解:4 个不同的球放入 3 个不同的盒中的放法共有 3 种。
4

(1)第一个盒中没有球的放法有 2 种,所以第一个盒中没有球的概率为:P1=

2 4 16 ? 。 3 4 81

1 (2)第一个盒中恰有 1 个球的放法有 C4 ? 2 3 种,所以第一个盒中恰有 1 个球的概率为:
1 C 4 ? 2 3 32 ? P2= 。 81 34

2 (3)第一个盒中恰有 2 个球的放法有 C4 ? 2 2 种,所以第一个盒中恰有 2 个球的概率为:
2 C4 ? 2 2 8 ? 。 4 27 3

P3=

1 2 (4)第一个盒中恰有 1 个球,第二个盒中恰有 2 个球的放法有 C 4 C3 种,所以所求的概率
1 C 4 C32 4 ? 为:P4= 。 4 27 3

[例 6] 一个口袋内有 7 个白球和 3 个黑球,分别求下列事件的的概率: (1)事件 A:从中摸出一个放回后再摸一个,两回摸出的球是一白一黑; (2)事件 B:从袋中摸出一个黑球,放回后再摸出一个是白球; (3)事件 C:从袋中摸出两个球,一个黑球,一个白球; (4)事件 D:从从袋中摸出两个球,先摸出的是黑球,后摸出的是白球。 解:(1)基本事件总数是 10×10。事件 A 包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球 后摸出黑球”,摸出白球及黑球分别有 7 种和 3 种可能。所以 A 发生共有 2×7×3 种可能。 ∴P(A)=

2?7?3 =0。42。 10 ? 10 7?3 =0。21 10 ? 10

2)事件 B 与事件 A 不同,它确定了先摸黑球再摸白球的顺序。P(B)=

2 (3)事件 C 说明摸出两个球不放回,且不考虑次序,因此基本事件总数是 C10 ,事件 C 包
1 1 C 7 C3 7 ? ≈0。47。 2 15 C10 1 1 C 7 C3 7 ≈0。23 ? 1 1 C10 C9 30

1 1 含的基本事件个数是 C7 C3 。P(C)=

(4)与事件 A 相比,D 要考虑摸出两球的先后次序。P(D)=

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【评注】注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别。本例(1)(2)是放回抽样,(3) (4)是不放回抽样。

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