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2010年广州市高二数学竞赛试题问卷


2010 年广州市高二
数学竞赛试题
2010.5 考生注意: 1.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; 2.不准使用计算器; 3.考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分. 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线 x ? ay ? 1 ? 0(a ? R )

与圆 x ? y ? 4 x ? 0 的交点个数是(
2 2

2 4. 若点 ? a, b ? 是圆 x ? ? y ? 1? ? 1 内的动点,则函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? b 的 2

一个零点在

? ?1, 0 内, ?
A.

另一个零点在 ? 0,1? 内的概率为( B.



1 4

1

?

C.

1 2

D.

2

?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 5.已知大于 1 的实数 x, y 满足 lg ? 2x ? y ? ? lg x ? lg y , 则 lg x ? lg y 的最小值为 .



A.0 B.1 C.2 D. 无数个 2.今年春,我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾,苍天无情人有情,某中 学组织学生在社区开展募捐活动,第一天只有 10 人捐款,人均捐款 10 元,之后通过积极宣传,从第二天起,每天的捐款人数是前一天的 2 倍,且人均捐款数比前一天多 5 元.则截止第 5 天(包括第 5 天) 捐款总数是( ) A.4800 元 B.8000 元 C.9600 元 D.11200 元 3.函数 f ? x ? ? cos2x ? sin x( x ? R ) 的最大值和最小值分别为 A. , 0

6. 将一边长为 4 的正方形纸片按照图 1 中的虚线所示的方法剪开后拼接为 一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 . 7.设 a 、 b 、 c 都是单位向量,且 a ? b =0, 则 ? a ? b? ? ? b ? c ? 的最大值 为 .

图1

8.对于两个正整数 m, n ,定义某种运算“ ? ”如下,当 m, n 都为正偶数 或正奇数时, m ? n ? m ? n ; m, n 中一个为正偶数, 当 另一个为正奇数时,

m ? n ? mn

,






*




*









M ? ?? p, q ? p ? q ? 10, p ? N ( )

,q? N

?

中 元 素 的 个 数

7 8

B.

7 , ?2 8

C. , 0

9 8

D. , ? 2

9 8





?1? 9.设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 3, an an?1 ? ? ? (n ? N * ) ,则 ?2?
S2010 ? ____________.
10.在 Rt△ ABC 中, AB ? AC ? 1 ,如果椭圆经过 A, B 两点,它的一个焦点 为 C ,另一个焦 点在 AB 上,则这个椭圆的离心率为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过 程和演算步骤. 11. (本小题满分 15 分) 在△ ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,已知

n

12. (本小题满分 15 分) 如图,已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 45 , 在半平面 ? 内有一
?

个半圆 O , 其直径 AB 在 l 上, M 是这个半圆 O 上任一点(除 A 、 B 外), 直线 AM 、BM 与另一个半平面 ? 所成的角分别为 ?1 、?2 .试 证明 cos2 ?1 ? cos2 ?2 为定值.
?
M

l A B

? ? 3 ??? ??? 27 C ? 2 A, cos A ? , BA?BC ? . 4 2 (1)求 cos B 的值; (2)求 b 的值.

?

13. (本小题满分 20 分) 如图, 矩形 ABCD 中,

14. (本小题满分 20 分)

AB ? 10 , BC ? 6 , 现以矩形 ABCD

设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x 2 ? a | ln x ? 1 | . (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 x ? [1,??) 时,求函数 f (x) 的最小值.

的 AB 边为 x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系, P 是 x 轴上方 一 点 , 使 得 PC 、 PD 与 线 段 AB 分 别 交 于 点 C1 、 D1 , 且

?

?

AD1 , D1C1 , C1B 成等比数列.
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)求动点 P 到直线 l : x ? y ? 6 ? 0 距离的最大值及取得最大值时点 15. (本小题满分 20 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (1) ?

5 ,且对于任意实数 2

P 的坐标.

y

x、 y ,总有 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y) 成立.
(1)求 f (0) 的值,并证明 f ( x ) 为偶函数;
P

C1 B O

D1 A x

(2)若数列 {an } 满足 an ? 2 f ( n ? 1) ? f (n )(n ? 1, 2, ? ,求数列 3, )

{an } 的通项公式;
C D

(3)若对于任意非零实数 y ,总有 f ( y ) ? 2 .设有理数 x1 , x2 满足 并证明你的结论. | x1 |?| x2 | ,判断 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小关系,


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