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高三数学指数对数提高练习


第一节
b
-b

指数函数

A组 - 1.若 a>1,b<0,且 a +a =2 2,则 ab-a b 的值等于________. x 2.已知 f(x)=a +b 的图象如图所示,则 f(3)=________. 1 -2 3.函数 y=( )2x x 的值域是________. 2 4. 若函数 f(

x)=ax-x-a(a>0, 且 a≠1)有两个零点, 则实数 a 的取值范围是________. x 5.(原创题)若函数 f(x)=a -1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a 等于________. B组 x 1.如果函数 f(x)=a +b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,那么一定有 ________. ①0<a<1 且 b>0 ②0<a<1 且 0<b<1 ③a>1 且 b<0 ④a>1 且 b>0 - 2.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是________. f(1) 3.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件①f (x)=ax· g(x)(a>0,a≠1);②g(x)≠0;若 g(1) f(-1) 5 + = ,则 a 等于________. g(-1) 2 - - 1 4.已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),其反函数为 f 1(x).若 f(2)=9,则 f 1( )+f(1)的值是________. 3 1x 5. 已知 f(x)=( ) , 若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函数为 g(x), 则 g(x)的表达式为________. 3 -x x e +e 6.(2009 年高考山东卷改编)函数 y= x -x的图象大致为________. e -e

1 7.已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=( )x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=________. 2 ? ?f(x),f(x)≤K, 8.设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 fK(x)=? 取函数 ?K, f(x)>K. ? 1 - f(x)=2 |x|,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间为________. 2 |x| 9.函数 y=2 的定义域为[a,b],值域为[1,16],当 a 变动时,函数 b=g(a)的图象可以是________.

10.已知函数 f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求实数 a 的值. -2 11.已知函数 f(x)= x-a .(1)求证:f(x)的图象关于点 M(a,-1)对称; 2 +1 (2)若 f(x)≥-2x 在 x≥a 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

第二节 对数函数
A组 1.若函数 y=f(x)是函数 y=a (a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a,a),则 f(x)=________. 2 设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则 a、b、c 的大小关系是________.
x

?? 1 ? x ?? ? , x ? [?1,0) 3.若函数 f(x)= ?? 4 ? ,则 f(log43)=________. ? x ?4 , x ? [0,1]
4.如图所示,若函数 f(x)=ax
-1

1 的图象经过点(4,2),则函数 g(x)=loga 的图象是________. x+1

1 5.(原创题)已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f( )=4,则 f(2010)的值为_. 2010 B组 x+3 1.为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lgx 的图象上所有的点________. 10 2.对于函数 f(x)=lgx 定义域中任意 x1,x2(x1≠x2)有如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);②f(x1· x2)=f(x1) f(x1)-f(x2) x1+x2 f(x1)+f(x2) +f(x2);③ >0;④f( )< .上述结论中正确结论的序号是________. 2 2 x1-x2
?a(a≤b) ? 3. 对任意实数 a、 b, 定义运算“*”如下: a*b=? , 则函数 f(x)=log1(3x-2)*log2x 的值域为________. ?b(a>b) ? 2 x 4.已知函数 y=f(x)与 y=e 互为反函数,函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称,若 g(a)=1, 则实数 a 的值为________. 2 5.已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|,则 f(x)的解析式是________. x+|x| 6.若 x1 满足 2x+2x=5,x2 满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=________. 7. 当 x∈[n, n+1), (n∈N)时, f(x)=n-2, 则方程 f(x)=log2x 根的个数是________. 8. 已知 lga+lgb=0, 则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是________.

9.已知曲线 C:x2+y2=9(x≥0,y≥0)与函数 y=log3x 及函数 y=3x 的图象分别交于点 A(x1,y1),B(x2, y2),则 x12+x22 的值为________. kx-1 10.已知函数 f(x)=lg (k∈R 且 k>0).(1)求函数 f(x)的定义域; x-1 (2)若函数 f(x)在[10,+∞)上是单调增函数,求 k 的取值范围. 1+x (a>0,a≠1).(1)求 f(x)的定义域; 1-x (2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明;(3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

11.已知 f(x)=loga

a - 12.已知函数 f(x)满足 f(logax)= 2 (x-x 1),其中 a>0 且 a≠1. a -1 (1)对于函数 f(x),当 x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数 m 的集合; (2)x∈(-∞,2)时,f(x)-4 的值恒为负数,求 a 的取值范围.

指数函数练习答案
1.解析:∵a>1,b<0,∴0<ab<1,a b>1.又∵(ab+a b)2=a2b+a 2b+2=8,∴a2b+a 2b=6,∴(ab-a - - ) =a2b+a 2b-2=4,∴ab-a b=-2.答案:-2 2.解析:由图象知 f(0)=1+b=-2,∴b=-3.又 f(2)=a2-3=0,∴a= 3,则 f(3)=( 3)3-3=3 3- 3. 答案:3 3-3 1 -2 1 1 3.解析:∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,∴( )2x x ≥ .答案:[ ,+∞) 2 2 2 x 4.解析:函数 f(x)的零点的个数就是函数 y=a 与函数 y=x+a 交点的个数,由函数的图象可知 a>1 时 两函数图象有两个交点,0<a<1 时两函数图象有惟一交点,故 a>1. 答案:(1,+∞)
- - - - -

b 2

0<a<1 a>1 ? ? ? 2 ? 0 5.解析:由题意知?a -1=0 无解或?a -1=0 ?a= 3.答案: 3 ? ? ?a0-1=2 ?a2-1=2 1.解析:当 0<a<1 时,把指数函数 f(x)=ax 的图象向下平移,观察可知-1<b-1<0,即 0<b<1.答案: ② 2.解析:f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,所以 f(x)在[a,+∞)上为减函数,又 f(x),g(x)都在[1,2]上为 ? ?a≤1 减函数,所以需? ?0<a≤1.答案:(0,1] ?a+1>1 ? f(x) f(1) f(-1) 5 5 1 1 - 3.解析:由 f(x)=ax· g(x)得 =ax,所以 + = ?a+a 1= ,解得 a=2 或 .答案:2 或 g(x) g(1) g(-1) 2 2 2 2 1 1 - 4.解析:因为 f(2)=a2=9,且 a>0,∴a=3,则 f(x)=3x= ,∴x=-1,故 f 1( )=-1.又 f(1)=3,所 3 3 1 - 以 f 1( )+f(1)=2.答案:2 3 1 5.解析:设 y=g(x)上任意一点 P(x,y),P(x,y)关于 x=1 的对称点 P′(2-x,y)在 f(x)=( )x 上,∴y 3 1 2-x - - =( ) =3x 2.答案:y=3x 2(x∈R) 3 - - e x+ex ex+e x 6.解析:∵f(-x)= -x x=- x -x=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除④. e -e e -e -x x 2x 2x e +e e +1 e -1+2 2 又∵y= x -x= 2x = 2x =1+ 2x 在(-∞,0)、(0,+∞)上都是减函数,排除②、③.答 e -e e -1 e -1 e -1 案:① 1 7.解析:∵2<3<4=22,∴1<log23<2.∴3<2+log23<4,∴f(2+log23)=f(3+log23)=f(log224)=( )log224 2 1 1 1 - =2 log224=2log2 = .答案: 24 24 24

2 ,x≥1或x≤-1, ? ? 1 -|x| 8.解析: 由 f(x)=2 ≤ 得 x≥1 或 x≤-1, ∴fK(x)=?1 则单调 2 ?2,-1<x<1. ? 增区间为(-∞,-1].答案:(-∞,-1] 9.解析:函数 y=2|x|的图象如图.当 a=-4 时,0≤b≤4,当 b=4 时,-4≤a≤0, 答案:② 1 1 10.解:f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,∵x∈[-1,1],(1)当 0<a<1 时,a≤ax≤ ,∴当 ax= 时,f(x) a a 1 1 1 1 取得最大值. ∴( +1)2-2=14, ∴ =3, ∴a= .(2)当 a>1 时, ≤ax≤a, ∴当 ax=a 时, f(x)取得最大值. ∴(a a a 3 a 1 +1)2-2=14,∴a=3.综上可知,实数 a 的值为 或 3. 3 2 11.解:(1)证明:设 f(x)的图象 C 上任一点为 P(x,y),则 y=- x-a ,P(x,y)关于点 M(a,-1)的对 2 +1 - -2· 2x a -2 -2 2 称点为 P′(2a-x,-2-y).∴-2-y=-2+ x-a = x-a = ,说明点 P′(2a - - = - - 2 +1 2 +1 1+2 (x a) 2(2a x) a+1 -2 -x,-2-y)也在函数 y= x-a 的图象上,由点 P 的任意性知,f(x)的图象关于点 M(a,-1)对称. 2 +1 -2 2 - (2)由 f(x)≥-2x 得 x-a ≥-2x,则 x-a ≤2x,化为 2x a· 2x+2x-2≥0,则有(2x)2+2a· 2x-2· 2a≥0 2 +1 2 +1 在 x≥a 上恒成立.令 g(t)=t2+2a· t-2· 2a,则有 g(t)≥0 在 t≥2a 上恒成立.∵g(t)的对称轴在 t=0 的左侧, a a ∴g(t)在 t≥2 上为增函数.∴g(2 )≥0.∴(2a)2+(2a)2-2· 2a≥0,∴2a(2a-1)≥0,则 a≥0.即实数 a 的取值范 围为 a≥0.

-|x|

对数函数练习答案
1 1 1.解析:由题意 f(x)=logax,∴a=logaa2= ,∴f(x)=log1x.答案:log1x 2 2 2 1 1 1 1 2.解析:a=log3π>1, b=log2 3= log23∈( ,1),c=log3 2= log32∈(0, ),故有 a>b>c.答案:a>b>c 2 2 2 2 log43 3.解析:0<log43<1,∴f(log43)=4 =3.答案:3

4.解析:由已知将点(4,2)代入 y=ax 1,∴2=a4 1,即 a=23>1.
- -

1

1 是单调递减的,故 g(x)递减且过(0,0)点,∴④正确.答案:④ x+1 1 1 1 5.解析:设 F(x)=f(x)-2,即 F(x)=alog2x+blog3x,则 F( )=alog2 +blog3 =-(alog2x+blog3x)=- x x x 1 1 F(x),∴F(2010)=-F( )=-[f( )-2]=-2,即 f(2010)-2=-2,故 f(2010)=0.答案:0 2010 2010 x+3 1.解析:∵y=lg =lg(x+3)-1,∴将 y=lgx 的图象上的点向左平移 3 个单位长度得到 y=lg(x+3) 10 的图象,再将 y=lg(x+3)的图象上的点向下平移 1 个单位长度得到 y=lg(x+3)-1 的图象. 答案:向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 2.解析:由运算律 f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lgx1x2=f(x1x2),所以②对;因为 f(x)是定义域内的增函数, x1+x2 x1+x2 f(x1)+f(x2) lgx1+lgx2 x1+x2 所 以 ③ 正 确 ; f( ) = lg , = = lg x1x2 , ∵ ≥ x1x2 , 且 x1≠x2 , 2 2 2 2 2 x1+x2 ∴lg >lg x1x2,所以④错误.答案:②③ 2 1 3.解析:在同一直角坐标系中画出 y=log (3x-2)和 y=log2x 两个函数的图象, 2 又

log x (0<x≤1) ? ? 2 由图象可得 f(x)=? 1 ,值域为(-∞,0].答案:(-∞,0] ?log2(3x-2) (x>1) ? 4.解析:由 y=f(x)与 y=ex 互为反函数,得 f(x)=lnx,因为 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对 1 1 称,故有 g(x)=-lnx,g(a)=1?lna=-1,所以 a= .答案: e e 2 1 1 5.解析:由 log2 x|x|有意义可得 x>0,所以,f( )=f( ),log2 x|x|=log2x,即有 f( )=log2x,故 f(x) x x x+|x| 1 =log2 =-log2x.答案:f(x)=-log2x,(x>0) x 6.解析:由题意 2x1+2x1=5,①2x2+2log2(x2-1)=5,②所以 2x1=5-2x1,x1=log2(5-2x1),即 2x1 =2log2(5-2x1).令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1),∴5-2t=2log2(t-1)与 T 7 ②式比较得 t=x2,于是 2x1=7-2x2.∴x1+x2= .答案: 2 2 7.解析:当 n=0 时,x∈[0,1),f(x)=-2;当 n=1 时,x∈[1,2),f(x)=-1;当 n=2 时,x∈[2,3),f(x) =0; 当 n=3 时,x∈[3,4),f(x)=1;当 n=4 时,x∈[4,5),f(x)=2;当 n=5 时,x∈[5,6),f(x)=3.答案:2 1 1 - 8.解析:由题知,a= ,则 f(x)=( )x=b x,g(x)=-logbx,当 0<b<1 时,f(x)单调递增,g(x)单调递增, b b ②正确;当 b>1 时,f(x)单调递减,g(x)单调递减.答案:② 9.解析:∵y=log3x 与 y=3x 互为反函数,所以 A 与 B 两点关于 y=x 对称,所以 x1=y2,y1=x2,∴x12 2 +x2 =x12+y12=9.答案:9 1 x- k kx-1 1 10.解:(1)由 >0 及 k>0 得 >0,即(x- )(x-1)>0. k x-1 x-1 1 1 ①当 0<k<1 时,x<1 或 x> ;②当 k=1 时,x∈R 且 x≠1;③当 k>1 时,x< 或 x>1.综上可得当 0<k<1 k k 1 1 时,函数的定义域为(-∞,1)∪( ,+∞);当 k≥1 时,函数的定义域为(-∞, )∪(1,+∞). k k 10k-1 1 (2)∵f(x)在[10,+∞)上是增函数,∴ >0,∴k> . 10 10-1 kx-1 k-1 k-1 又 f(x)=lg =lg(k+ ), 故对任意的 x1, x2, 当 10≤x1<x2 时, 恒有 f(x1)<f(x2), 即 lg(k+ )<lg(k x-1 x-1 x1-1 k-1 k-1 k-1 1 1 1 1 1 + ), ∴ < , ∴(k-1)· ( - )<0, 又∵ > , ∴k-1<0, ∴k<1.综上可知 k∈( , 10 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 1). 1+x 11.解:(1)由 >0 ,解得 x∈(-1,1). 1-x 1-x (2)f(-x)=loga =-f(x),且 x∈(-1,1),∴函数 y=f(x)是奇函数. 1+x 1+x 1+x (3)若 a>1,f(x)>0,则 >1,解得 0<x<1;若 0<a<1,f(x)>0,则 0< <1,解得-1<x<0. 1-x 1-x a a a - - 12.解:令 logax=t(t∈R),则 x=at,∴f(t)= 2 (at-a t),∴f(x)= 2 (ax-a x).∵f(-x)= 2 (a a -1 a -1 a -1 a -x - -ax)=-f(x),∴f(x)是 R 上的奇函数.当 a>1 时, 2 >0,ax 是增函数,-a x 是增函数,∴f(x)是 R a -1 上的增函数; a - 当 0<a<1, 2 <0,ax 是减函数,-a x 是减函数,∴f(x)是 R 上的增函数.综上所述,a>0 且 a≠1 a -1 时,f(x)是 R 上的增函数.(1)由 f(1-m)+f(1-m2)<0 有 f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),

1-m<m -1, ? ? ∴?-1<1-m<1, ? ?-1<m2-1<1.

2

解得 m∈(1, 2).

(2)∵f(x)是 R 上的增函数,∴f(x)-4 也是 R 上的增函数,由 x<2,得 f(x)<f(2), ∴f(x)-4<f(2)-4,要使 f(x)-4 的值恒为负数,只需 f(2)-4≤0, a - 即 2 (a2-a 2)-4≤0,解得 2- 3≤a≤2+ 3,∴a 的取值范围是 2- 3≤a≤2+ 3且 a≠1. a -1


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