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高三函数一轮复习(超全面的)

时间:2013-03-07


第二章 函数——第 8 课时:函数的概念

一.课题:函数的概念 二.教学目标:了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解;能根 据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数;理解分段函数的意义. 三.教学重点:函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应;函数的 三要素中对应法则是核心,定义域是灵魂. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.对应、映射、像和原

像、一一映射的定义; 2.函数的传统定义和近代定义; 3.函数的三要素及表示法. (二)主要方法: 1.对映射有两个关键点:一是有象,二是象惟一,缺一不可; 2.对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解,这是处理函数问题的关键; 3.理解函数和映射的关系,函数式和方程式的关系. (三)例题分析: 例 1. (1) A ? R , B { | y? } f :x? ?x|; ?y 0, y | (2) A {| ?,x N , B?| ?,y N f:x y x?x 2 ?xx 2 ?* } ?yy 0 ? , ? 2 2? ; ? ? (3) A { | x? } B { | y R, f : x? ?? x. ?x 0, ? y ?} y 上述三个对应(2)是 A 到 B 的映射.

? x | ?? ,映射 f :M? ,在 f 作用下点 ( x , y ) 例 2.已知集合 M (, ) x y 1 N ?y ?
的象是 ( 2 x , 2 y ) ,则集合 N ? (
D



( | x xy , ? 0 ,) ? x, ? y ( A ) ? y ? 2 0? ( ) y , 0? x | ?x , , ( C ) ? yx 2?y0 ?

( ) y , 0? x | ? , x , ( B ) ? yx 1?y0 ? ( ) y , 0? x | ?x , , (D) ? yx 2?y0 ?

x y ? 解法要点:因为 x ? y ? 2 ,所以 2 2?xy?. ? 2 2

1 ??0 2如 映 条 M 每 x 在 f 例集 ? ?,0 }, ? , 1, , }果 到 f 满: 中元 与的 ( x ) 的奇映 的( ) 3 合 { 1 , N{2 , 1 , M N的 足对 的素 它象 .M 设 从 射 件 个 N中 和数射 个 D 都, f 数 为则 是

第二章 函数——第 8 课时:函数的概念

件:对M 中的每个元素 x 与它在N中的象 f ( x ) 的和都为奇数,则映射 f 的个数是( D ) 数是( D
( A ) 8个


( B ) 12 个 ( C ) 16 个 (D)18 个

解 x ? f ( x) 为 x 为 1 、,象? 2 、或,原法2 ? 9 种 ? 0 时象 1 或共 种故 的 ?2? 8. 法 要 点 : ∵ 奇 奇 1 时的数 0 2 由理有 数 数 它只 , ? ∴ 当 们能 在为 分和3 步对 计应 数方 ; 而 当 ,为 1 , 对映 个 它奇 在数 有 应射 数 的 法 9 . 2 方f 是 N中偶 N中? x 1 偶? 2 、 或 , 步 原 对 法3 2 ? 9 种 当 ? 0 时 在 象数 1 或, 2 种方故 f 的是 ?2? 8. 数 0 2 由计理应有 分数和方 ;x 而 , N中 为 ? 1 共 对 法 映 个 9 它 的奇 有 应.射 数 1 在N中的象为奇数 ? 1 或 1 ,共有 2 种对应方法.故映射 f 的个数是 9?2?1 . 8 例 4.矩形 ABCD 的长 AB ? 8 ,宽 AD ? 5 ,动点 E 、 F 分别在 B C 、 C D 上, 且 C ? F x 1) ?AEF 的面积 S 表示为 x 的函数 f ( x ) , ( 求函数 S ? f ( x) E C? , 将 的解析式; (2)求 S 的最大值. 解: (1)
1 1 1 S) A S ? S42 ?x 5 ) ? S ? S ? 0?5 ?x f ?? B D ? 8 ) ? ( ? x B C EA ? ? ?x ? ( ?8 ? ( ? C E D FA F 2 2 2

1 1 3 1 1 1 3 6 9 ? x ? 2 ? x ?( ? )? . ? x 2 2 2 2 2 8 EC D 0? x ?5, ? ? ,∴ ∵ C BC 1 1 1 3 6 9 ? ) ( ? (? 2 0x ) ?; ∴函数 S ? f ( x) 的解析式: S fx ? x )? (? 5 2 2 8

5 2, (2) f ( x ) 在 x ? ? 0,5? 上单调递增, Sa ?f( )? 0 即 S 的最大值为 2 0 . ∵ ∴ m x

例 5.函数 f ( x ) 对一切实数 x , y 均有 f ? ( ? 21 ( yfy x y) x ) )( ? ? x ?成立,且
f (1) ? 0 ,

(1)求 f ( 0 ) 的值;
1 1 x 2 lg 2 ) (2)对任意的 x 1 ? ( 0 , ) , x 2 ? ( 0 , ) ,都有 f( 1 ? ?oax成立时,求 a 的 2 2 取值范围.
( yfy x y), x ) )( ? ? x ? 解 : 1 ) 由 已 知 等 式 f ? ( ? 21 令 x ? 1 , y ? 0 得 (

第二章 函数——第 8 课时:函数的概念

f()?f( )? , 1 0 2

又∵ f (1) ? 0 ,∴ f (0) ??2 . (2) f ? ( ? 2 ) , y ? 0 得 f x f 0 ( ?x由 由 ( yf )( x ) y xy x令 ? ?1 ? () () x1, (1) ? ? ) 知 f (0) ??2,∴ f(x ? ?x ?x. ) 2 2
1 1 1 1 2 ∵ x 1 ? ( 0 , ) ,∴ f(1 ?? ? ? 1 ) ? 在 x 1 ? ( 0 , ) 上单调递增, x 2x x ( ? 2 ) x 1 1 2 2 2 4 3 ∴ f (x1) ? 2?(0, ) . 4 1 1 要使任意 x 1 ? ( 0 , ) , x 2 ? ( 0 , ) 都有 f( 1 ? ?oax成立, x 2 lg 2 ) 2 2 1 当 a ? 1 时, loga x2 ? loga ,显然不成立. 2

?0 ? a ? 1 3 1 4 ? ? a ?1 当 0 ? a ?1时, loga x2 ? loga ,∴ ? ,解得 1 3 2 4 lo g a ? ? ? 2 4
3

∴ a 的取值范围是 [

4 4

,1 ) .

(四)巩固练习:
1 1 1 1 1 2 1.给定映射 f (, ) (xyy :x ? , ) y 2 x ,点 ( , ? ) 的原象是 ( , ? ) 或 ( ? , ) . ? 6 6 3 2 4 3

2.下列函数中,与函数 y ? x 相同的函数是
(A) y ?



C



x2 x

( B ) y ? ( x )2

( C ) y ? lg10 x

(D) y ? 2log2 x

x 3 x 1) ? ? ,( ? 0 x ? 3.设函数 f( )? ,则 f ( 5 ) = 8 . f x 5) x 1 ) ? (f( ? ),( ? 0
五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 7,智能训练 5,7,9,10,13,14.

第二章 函数——第 8 课时:函数的概念

第二章 函数——第 9 课时:函数的解析式及定义域

一.课题:函数的解析式及定义域 二.教学目标:掌握求函数解析式的三种常用方法:待定系数法、配凑法、 换元法,能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出 来;掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用. 三.教学重点:能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系,列出函 数关系式;含字母参数的函数,求其定义域要对字母参数分 类讨论;实际问题确定的函数,其定义域除满足函数有意义 外,还要符合实际问题的要求. 四.教学过程: (一)主要知识:1.函数解析式的求解;2.函数定义域的求解. (二)主要方法: 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x )] 或已知 f [ g ( x )] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个 等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 2.求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值 集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑 使实际问题有意义; (3)已知 f ( x ) 的定义域求 f [ g ( x )] 的定义域或已知 f [ g ( x )] 的定义域求 f ( x ) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数) 的定义域; ②若已知 f ( x ) 的定义域 ? a , b ? , 其复合函数 f ? g ( x ) ? 的定义域应由 a?g x ?b () 解出. (三)例题分析: 例 1.已知函数 f ( x ) ? 则

1? x 的定义域为 A ,函数 y ? f ? f ?x?? 的定义域为 B , ? ? 1? x

第二章 函数——第 9 课时:函数的解析式及定义域

?? (A ) ABB

(B ) A? B
?

( C ) A? B

?? ( (D ) A B B D



1 ? x 2 1 x 解法要点: A?? | x?1 , yffx f [(] ? ?? (? ?, ? ? ) ( ) f 1 )? 1 ? x 1 ? x x 2 ?| 1 x ?. ? 令 ?1 ? ? 1 且 x ? 1 ,故 Bx ? ?x0 ?x ? | ? 1? x
1 1 例 2. (1)已知 f (x? ) ? x3 ? 3 ,求 f ( x ) ; x x 2 (2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ; x

(3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 ? f ? x7 f ( x ) ; f 1 (1 ? ( )2 )2 ,求 x ?x ? 1
1 (4)已知 f ( x ) 满足 2f (x) ? f ( ) ?3x,求 f ( x ) . x 1 3 1 1 1 解: (1)∵ fx ) x 3 (? 3 3? , (? ? ? ? x )?x ) ( x x x x

x ∴ f (x) ?x3 ?3 ( x ? 2 或 x ? ?2 ) .
2 (2)令 ? 1 ? t (t?1) , x 2 2 2 则x ? ,∴ f (t ) ? lg ,∴ f(x ? g ) l (x? ). 1 t?1 t ?1 x? 1

(3)设 f x?x b ?) () a ( 0 ?a , 则 3 f) 3x ?? f) ?a ?x 2 ( 23b ??7 x( a ?2 5 , ?1 ? a b? 1 ? ? x 2b a x? 3 a a x 2? 1 ∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f(x ?2 ? . ) x 7
1 ( 4 ) 2f (x) ? f ( ) ?3x x ②,

① , 把 ① 中的 x 换 成

1

1 3 , 得 2f ( ) ? f (x) ? x x x

3 1 ① ? 2 ? ②得 3 f ( x) ? 6x ? ,∴ f ( x) ? 2 x ? . x x 注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数, 可用待定系数法;第(4)题用方程组法.

x ? 1 ( ?2 ) o lg ? o p ) o 1 2 x ( ? ( 例 3.设函数 fx lg ? 2x )lg ? , x ? 1

第二章 函数——第 9 课时:函数的解析式及定义域

(1)求函数的定义域; (2)问 f ( x ) 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不 存在,请说明理由.
? ? ? 解: (1)由 ? ? ? ? x ? 1 ? 0 x ? 1

?x ? 1 x ? 1 ? 0 ,解得 ? x ? p ? p ? x ? 0



x 当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? ;当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? |1?x? p , ?
∴ f ( x ) 的定义域为 ( , p p?1 . 1 )( )

p2 ( 1 ? p2 1 ? ) (2)原函数即 f )l 2x) ??2 ( , ( ? [? x o x xo 1 ) g ? ) g ( ( ]l [ p ? ? ] 2 4
p ?1 ? 1 ,即 1 ? p ? 3 时,函数 f ( x ) 既无最大值又无最小值; 2 p ?1 当1 ? ? p ,即 p ? 3 时,函数 f ( x ) 有最大值 2 g( ?) 2 l 2 p 1? ,但无最小 o 2 值.



例 4. 《高考 A 计划》考点 8,智能训练 15:已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上 的周期函数, 周期 T ? 5 , 函数 y f x? x 1 又知 y ? f ( x) 在 ?() ?? 是奇函数. (1 ) 在 且在 x ? 2 时函数取得最小值 ? 5 . [ 0 , 1 ] 上是一次函数, [ 1 , 4 ] 上是二次函数, ①证明: f()?f( )? ;②求 y f()x [, ] 1 4 0 ? x ? 4的解析式;③求 y ? f ( x) 在 , 1
[ 4 , 9 ] 上的解析式.
( ? ??? ) ( 5 (1 解:∵ f ( x ) 是以 5 为周期的周期函数,∴ f4 f4 ) f ) , ?() ?? 是奇函数,∴ f1 ???f4 (1 ) ( ?f ) ? ) ) (1 (, 又∵ y f x? x 1

第二章 函数——第 9 课时:函数的解析式及定义域

∴ f()?f( )? . 1 4 0 ②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f x a ?2 5 ? , () ( 2?( 0 ?x ) a ) 由 f()?f( )? 得 a 2 5 (? ? 0 a ? 2 , 1 2 ? ?a ) ? 4 2 1 4 0 ( ) ? 2 5 ,∴ ∴ fx 2?2 5 x 4 () ( 2? ? ) ?x ) ( ? . 1 ③∵ y f x? x 1 ?() ?? 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , (1 ) 又 知 y ? f ( x) 在 [ 0 , 1 ] 上 是 一 次 函 数 , ∴ 可 设 f() k 0 x 1 而 x?x ? ? , ( ) , f() 2?)?? 3 1 ( 2 5? ? 12 ∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ?1时, f (x) ?? x, 3 从而当 ? ?x?0时, f x ??? x ? ?x?1 时, f (x) ?? x. 1 () f x ? ,故 1 ? ( ) 3 3 ∴当 4? x ?6时,有 ?? ? ? ,∴ f)f ? 3 ) 3 . 1 x 51 ( (5 (5 x x x ?? ? ? ) x? 1 ? ?5
x x? ? 2 2 ? ) x 2 (7 2 ? ?x ? 当 6? x ?9时, ? ? ? , f) (5(52 ? )5 1 x 5 4 ∴ ( f ? [ )]5 ?

?x 1, ?? ?3 ?5 4 x 6 x ? ∴ f( )? . 2x 72 5 ?? ?( ? ) ?, 6 x 9
例 5.我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采取价格调控等手段来达到 节约用水的目的,某地用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗 费.若每月用水量不超过最低限量 a m 3 时,只付基本费 8 元和每月每户的定 额损耗费 c 元; 若用水量超过 a m 3 时, 除了付同上的基本费和定额损耗费外, 超过部分每 m 3 付 b 元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过 5 元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示: 月份 1 用水量 ( m 3 ) 9 水费(元) 9

第二章 函数——第 9 课时:函数的解析式及定义域

2 15 3 22 根据上表中的数据,求 a 、 b 、 c .

19 33

解:设每月用水量为 x m 3 ,支付费用为 y 元,则有

8c x a 0 ??, ? ? y ? ? 8 b a?, ? x ??( ?) cx a

() 1 () 2

由表知第二、第三月份的水费均大于 13 元,故用水量 15 m 3 ,22 m 3 均大于

1 (5 ) ? 9?8?b 1 ?a ?c 最低限量 a m 3 ,于是就有 ? ,解之得 b ? 2 ,从而 3 (2 ) ? 3?8?b 2?a ?c
2 ? ?9 () a c1 3

再考虑一月份的用水量是否超过最低限量 a m 3 ,不妨设 9 ? a ,将 x ? 9 代入 (2)式,得 9 8 2 ?) c a c 1 ,这与(3)矛盾.∴ 9 ? a . ??( a ,即 2 ? ? 7 9 ? 从而可知一月份的付款方式应选(1)式,因此,就有 8?c ?9,得 c ? 1 . 故 a ? 10 , b ? 2 , c ? 1 . (四)巩固练习: 1.已知 f ( x 2 ) 的定义域为 [ ? 1 , 1 ] ,则 f ( 2 x ) 的定义域为 ( ?? , 0] .

1 ? s in x ? 2 xx k ?? k ) ?} 2.函数 y ? 的定义域为 {| ?? ( 1 ,k Z. 1 6 ? s in x 2 五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 8,智能训练 4,5,10,11,12,13.

第二章 函数——第 10 课时:函数的值域

一.课题:函数的值域 二.教学目标:理解函数值域的意义;掌握常见题型求值域的方法,了解函 数值域的一些应用. 三.教学重点:求函数的值域. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.函数的值域的定义;2.确定函数的值域的原则;3.求函数的值域的方 法. (二)主要方法(范例分析以后由学生归纳) : 求函数的值域的方法常用的有:直接法,配方法,判别式法,基本不等式法, 逆求法(反函数法) ,换元法,图像法,利用函数的单调性、奇偶性求函数 的值域等. (三)例题分析: 例 1.求下列函数的值域: 3x ? 1 (1) y?3 2 ?x?2; (2) y? ? 2 ?6 ?5; (3) y ? ; x x x x?2 (4) y ? x?4 1?x ; (7) y ?
2 x2 ? x ? 2 ; x2 ? x ? 1

(5) y ? x ? 1? x2 ; (8) y?

(6) y |x 1 |x 4 ? ?|? ? |;

2 2 ?x? x 1 1 1 ? sin x (x? ); (9) y ? 2 ? x 1 2 2 ? cos x

解: (一)公式法(略) (1)
1 2 3 32 y x x ?x )? ? , ?2 ? ( (二) (配方法)?3 ? 23? 2 6 1 2 21 23 x ∴ y?3 2 ?x?2的值域为 [ , ? ? ) . 12
x 改题:求函数 y?3 2 ?x?2, x ? [1,3] 的值域. x 解: (利用函数的单调性)函数 y?3 2 ?x?2在 x ? [1,3] 上单调增,

∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 2 6 .
x ∴函数 y?3 2 ?x?2, x ? [1,3] 的值域为 [ 4 , 2 6 ] . x 6 5 (2)求复合函数的值域:设 ??? 2 ? x? ( ? ? 0 ) ,则原函数可化为

y ?

? .

第二章 函数——第 10 课时:函数的值域

又∵

?x65 (?? 4 0 ? ? ? 4 ,故 ? ? ? 3 4 ,∴ ? x ? ) ? ? x
2 2

? ? [0, 2] ,

∴ y? ? 2 ?6 ?5的值域为 [ 0 , 2 ] . x x (3) 法一)反函数法: y ? (
{ ? | x?3 , x R }
3x ? 1 x?2

的反函数为 y ?

2x ?1 x?3

,其定义域为

∴原函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { ? | y? } y R 3. x?2
3? 3 ?) 7 x1 ( 2 x ? 7 , ? ?? 3 x2 ? x2 ? x2 ?

(法二)分离变量法: y ? ∵
7 ? 0 x? 2

,∴ 3 ? 7 ? 3 ,
x?2

∴函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { ? | y? } y R 3. x?2

(4)换元法(代数换元法) :设 t ? 1?x ?0,则 x ? 1? t 2 ,
2 ?t? ( ) ( ) 1 t t 2 t ,∴ ? ??? ∴原函数可化为 y ? 4? 2 5 0 y ? 5 ,

∴原函数值域为 ( ?? , 5] . 说 明 : 总 结 y? x b c ? 型 值 域 , 变 形 : y? x ? ? c 2? 或 a2 b x d a? ? x d
y a2? ? c ? ?x b x d
2 ?? ? 1 ?? ? s , [, ] o ?0 , (5)三角换元法:∵ 1x 0 ? x1 ,∴设 x c ? ? ?

? s ?n ? s ( o i i? 则 y c ?s ? 2n ? ) 4

?

? 2 ? ? 5? ( [ ] ∵ ? ?[0,? ] ,∴ ? ? ?[ , ] ,∴ sin ?? )? ? ,1 , 4 2 4 4 4
sn? [ , ] ? ∴ 2 i ( ? )? 1 2 , 4

?

∴原函数的值域为 [ ? 1, 2 ] .

第二章 函数——第 10 课时:函数的值域
?x 3 ( ? 4 x ?) ?2 ? ? (6)数形结合法: y?x 1? x 4? 5 | ?| | ? | ? ( 4 x?),∴ y ? 5 , ?? 1 ? x 3 ( ?) 2? x 1 ?

∴函数值域为 [5, ? ? ) .
2 (7)判别式法:∵ x ?x? ?0恒成立,∴函数的定义域为 R . 1

由y?

2 x2 ? x ? 2 得: (? 2 ( 1 ? y2 ?? ? 20 ) x y) xy ? 2 x ? x ?1



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 0?0,∴ x?0? x? R ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 (? 2 ( 1 ? 恒有实 y2 ?? ? 20 ) x y) xy ? 根, ∴ ? )4 )0 1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ?2? 2 , ∴ (1 (2 y ?? ? y? ∴原函数的值域为 [ 1 , 5 ] .
1 2 2 ?? x x 1 1 x x1 ( ?? 2 ) 1 1 2 1 ? ? ?? x ?? ? x ?, (8) y 2? x1 2? x1 2? x1 2x12 ? 2

1 1 1 1 ∵ x ? , ∴ x ? ? 0 , ∴ x? ? 2 ?2 (x? ) 2 2 x?1 2 (x?1) 2 2
2 2
1 1 x? ? 2 2 x? 1 2

1

1

? 2,当且仅当

时,即 x ?

1? 2

2

时等号成立.∴ y ?

2?

1 ,∴原函数的值域为 2

1 [ 2 ? , ?? ) . 2
i ?o 1 y n cx ? , (9) (法一)方程法:原函数可化为: s xy s ? 2

? 2 i ( ? 1 2 (其中 cs ? x o? ∴ 1 y sn ? )?? y

1 1y ?
2

,sn ? i?

y 1y ?2

) ,

第二章 函数——第 10 课时:函数的值域

∴ snx? )? i( ?
0? y? 4 , 3

1 2 ?y 1 y ?
2

??,1 , ∴ |1?2y|? 1?y2 , ∴ 3y2 ?4y ? 0 , ∴ [ 1]

4 ∴原函数的值域为 [ 0 , ] . 3

(法二)数形结合法:可看作求点 ( 2 , 1 ) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的点的连线的斜率 的范围,解略.
| 例 2.若关于 x 的方程 ( ? ? ?|) ? ? 有实数根,求实数 a 的取值范围. 2 2x 3 2 3 a | 解:原方程可化为 a ( ? ? ?|) ? , ?2 2x 3 2 3
2 令 t ? 2?|x?3| ,则 0 ? t ?1,a f() ( ?) ? ,又∵ a ? f (t ) 在区间 ( 0 , 1 ] 上是 ? t ?t 2 3

减函数, ∴ f() f() f( ) ,即 ? ? f ( )? , 1 ? t? 0 2 t 1
2 1 故实数 a 的取值范围为: ? ?a? .

例 3.《高考 A 计划》考点 9,智能训练 16)某化妆品生产企业为了占有更 ( 多的市场份额,拟在 2003 年度进行一系列的促销活动.经过市场调查和测 算,化妆品的年销量 x 万件与年促销费用 t 万元 ( t ? 0 ) 之间满足:3 ? x 与 t ? 1 成反比例;如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是 1 万件. 已知 2003 年,生产化妆品的固定投入为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再 投入 32 万元. 当将每件化妆品的售价定为 “年平均每件成本的 150%” “年 与 平均每件所占促销费的一半”之和,则当年产销量相等. (1)将 2003 年的年利润 y 万元表示为年促销费 t 万元的函数; (2)该企业 2003 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=收入-生产成本-促销费) k 2 解: (1)由题设知:3 ? x ? ,且 t ? 0 时, x ? 1 ,∴ k ? 2 ,即 x ? 3 ? , t ?1 t ?1 2 2 1 ) ? 3]万元,年收入为 10 [ 2 ? ) 3? t. 5% ( 33 ?] ∴年生产成本为 [32(3? t ?1 t? 1 2 2 1 2 ?% { [3 ? } ( 13 0( ? 3 ??? t ) ? 3 2 3? ? , t ∴年利润 y 5 2 ) ] t [3 ) ](0 t ? 2 1 t ? 1

第二章 函数——第 10 课时:函数的值域

∴ y?

? 2 ?9 t ?3 t 8 5 (t ?0 . ) 2t? ) ( 1

(2)由(1)得
?)1 ? 4 (1 0 ) t 2 0 ? ? ?t 6 (1 t12 ?3 t12 ? 3 , y ? ? ( ?) 0 5 0 ? ?2 ?? 5 ? 4 2 2) (1 t ? 2? t1 2? t1

t ? 1 32 ,即 t ? 7 时, y 有最大值 4 2 . ? 2 t ?1 ∴当促销费定为 7 万元时, 2 0 0 3 年该化妆品企业获得最大利润.

当且仅当

(四)巩固练习: 1.函数 y ?
2x 的值域为 ( 0 , 1 ) . 2x ?1

) g 2 . 若 函 数 f (x ?lo a x 在 [ 2 , 4 ] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 为 2 , 则

a?

2 2



2 .

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 1,智能训练 3,4,9,12,13,14.

第二章 函数——第 11 课时:函数的奇偶性

一.课题:函数的奇偶性 二.教学目标:掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数 的奇偶性,能利用函数的奇偶性解决问题. 三.教学重点:函数的奇偶性的定义及应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.函数的奇偶性的定义; 2.奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图 象关于原点对称; 3. f ( x ) 为偶函数 ?x? (x . f() f | | ) 4.若奇函数 f ( x ) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 . (二)主要方法: 1.判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简 整理,但必须注意使定义域不受影响; 2.牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性; 3.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f( ) f( x ? , x? ?) 0
f (x) ? ?1 . f (? x)

4.设 f ( x ) , g ( x ) 的定义域分别是 D 1 , D 2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇. 5.注意数形结合思想的应用. (三)例题分析: 例 1.判断下列各函数的奇偶性:
) (1) f (x) ? (x ?1 1? x lg(1? x2 ) ; (2) f (x) ? 2 ; 1? x | x ? 2| ?2

?x2 ?x (x?0 ) ? (3) f (x) ?? 2 . ? ) ? x ?x (x?0 ?

解: (1)由

1? x ? 0 ,得定义域为 [ ? 1, 1) ,关于原点不对称,∴ f ( x ) 为非奇 1? x

第二章 函数——第 11 课时:函数的奇偶性

非偶函数.
?1 ? x 2 ? 0 ? (2)由 ? 2 得定义域为 (1 ) (, ) ?0 0 , , ?1 ?| x ? 2 | ? 2 ? 0 ?

lg(1 ? x 2 ) lg(1? x2 ) ∴ f (x) ? , ?? x2 ?(x2 ?2) ?2

l [? x g ( )] l ( ?2 1 ?2 g x) 1 ∵ f( x? ?) ? ? ? 2 ? f (x) 2 (x ?) x

∴ f ( x ) 为偶函数

(3)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f x? 2 x ( ? ? , () () ?2 ) f ) ? ? ?x ?? ? x xx ( 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f x ? x ( 2 )? , ()() ?xx f ) ? x ?2 ?? ? ? ?x ( 综上所述,对任意的 x?? , ? ,都有 f( x ? f( ),∴ f ( x ) 为奇函数. ( ?? ) ?) ? x

例 2.已知函数 f ( x ) 对一切 x, y ? R ,都有 fxy fx f y (? ? ? , ) () () (1)求证: f ( x ) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (1 2 ) . 解: (1) 显然 f ( x ) 的定义域是 R , 它关于原点对称. fxy fx f y 在 (? ? ? ) () () 中, 令 y ??x ,得 f 0 f x f ? ,令 x ? y ? 0 ,得 f() f() f() , () () ( x ? ? ) 0? 0 ? 0 ∴ f (0) ? 0 ,∴ f( ) f( x ? ,即 f( x ? f( ), ∴ f ( x ) 是奇函数. x? ?) 0 ?) ? x (2)由 f (?3) ? a , fxy fx f y f ( x ) 是奇函数, (? ? ? 及 ) () () 得 f2f) f) 4) 4 ( ? ? ?? a 1 ( 4 ?3 . ) 6 ( 2 3 f ? ( ? 例 3. (1)已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x?(0, ? ) 时, f (x ?x 1?3 x), ) ( ?

?x(1? 3 x), x ? 0 ? 则 f ( x ) 的解析式为 f (x) ? ? . ?x(1? 3 x), x ? 0 ?
(2)( 《高考 A 计划》 考点 3 “智能训练第 4 题” 已知 f ( x ) 是偶函数,x ? R , )

第二章 函数——第 11 课时:函数的奇偶性

当 x ? 0 时,f ( x ) 为增函数, x ?0 x ?0, | x1 |?| x2 | , 若 1 , 2 且 则

( B



?1 ?2 A . f( x)?f( x) f x) ?2 C . ? ( 1 ?f( x)

?1 ?2 B . f( x)?f( x) f x) ?2 D . ? ( 1 ?f( x)

例 4.设 a 为实数,函数 f( )? 2 |x a?, x ? R . x x? ? | 1 (1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 的最小值.

解: (1)当 a ? 0 时, f??x ?? fx (x ( 2 ) ??x 1 ( ,此时 f ( x ) 为偶函数; )| | ? ) 当 a ? 0 时, f (a) ? a2 ?1, f( a? 2? |a?, ?) a 2 | 1 ∴ f af ) ? ?) ( ) (,( ) f , ? a a ( ? f ?a 此时函数 f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数.
1 3 () 2 ? ? ? ? ? x )? ? (2)①当 x ? a 时,函数 fx x xa1( ? 2 a , 2 4 1 若 a ? ,则函数 f ( x ) 在 ( ? ? , a ] 上单调递减,∴函数 f ( x ) 在 ( ? ? , a ] 上的最小 2

值为 f (a) ? a2 ?1;
1 1 3 1 ,函数 f ( x ) 在 ( ? ? , a ] 上的最小值为 f ( ) ? ? a ,且 f ( ) ? f ( a ) . 2 2 4 2 1 3 () 2 ? ? ? ? ? x )? ? ②当 x ? a 时,函数 fx x xa1( ? 2 a , 2 4 1 1 3 若 a ? ? , 则 函 数 f ( x ) 在 [ a , ? ? ) 上 的 最 小 值 为 f (? ) ? ? a , 且 2 2 4 1 f (? ) ? f (a ) ; 2 1 若 a ? ? ,则函数 f ( x ) 在 [ a , ? ? ) 上单调递增,∴函数 f ( x ) 在 [ a , ? ? ) 上的最 2

若a ?

小值 f (a) ? a2 ?1. 综上, a ? ? 当
1 3 1 1 时, 函数 f ( x ) 的最小值是 ? a , ? ? a ? 时, 当 函数 f ( x ) 2 4 2 2

第二章 函数——第 11 课时:函数的奇偶性

的最小值是 a 2 ? 1 , 当a ?
1 3 ,函数 f ( x ) 的最小值是 a ? . 2 4

例 5.《高考 A 计划》考点 3“智能训练第 15 题” ( ) 已知 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的函数, 满足 f( ?)? f( ) 且 x ? [0, 2] 时, x 2 ? x,
f (x ?2 ?x2, ) x

(1)求 x?[?2,0] 时, f ( x ) 的表达式; (2)证明 f ( x ) 是 R 上的奇函数. (参见《高考 A 计划》教师用书 P 5 7 ) (四)巩固练习: 《高考 A 计划》考点 10 智能训练 6. 五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 10,智能训练 2,3, 8,9,10,11, 13.

第二章 函数——第 12 课时:函数的单调性

一.课题:函数的单调性 二.教学目标:理解函数单调性的定义,会用函数单调性解决一些问题. 三.教学重点:函数单调性的判断和函数单调性的应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.函数单调性的定义; 2.判断函数的单调性的方法;求函数的单调区间; 3.复合函数单调性的判断. (二)主要方法: 1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先 求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集; 2.判断函数的单调性的方法有: (1)用定义; (2)用已知函数的单调性; (3) 利用函数的导数. 3.注意函数的单调性的应用; 4.注意分类讨论与数形结合的应用. (三)例题分析: 例 1. (1)求函数 y l g ( 2?x 2的单调区间; ? 0 x 3?) o. 7 (2) 已知 f( )? ? x x,若 gx ?f( ? 2)试确定 g ( x ) 的单调区间和单调 x 8 2?2 () 2 x 性. 解: (1)单调增区间为: (2, ?? ), 单调减区间为 ( ? ? ,1) , (2) g ? 2 x?? 2 ?4? x ? , g( )? 4 3? x ( 8 (? 2 2 ? x 2 2 8 ? x ?x 4 , x ? ) 22 )( x )
1 令 g?(x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 0 ? x ?1,令 g?(x) ? 0 , x ? 1 或 ? ?x?0
? ,?) 0 ) 1 ? 1) ,( ∴单调增区间为 ( ? 1,( ,1 ;单调减区间为 ( ,? ) ?,0 .

ex a 例 2.设 a ? 0 , f ( x) ? ? x 是 R 上的偶函数. a e
(1)求 a 的值; (2)证明 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上为增函数.
?) ) 解: (1)依题意,对一切 x ? R ,有 f( x ?f(x ,即

1 ex a ?a x ? ? x e ax e a e

第二章 函数——第 12 课时:函数的单调性

1 1 1 ∴(a ? )(ex ? x ) ?0对一切 x ? R 成立,则a ? ? 0 ,∴a ? ?1 ,∵a ? 0 ,∴a ? 1 . a e a 1 1 (2)设 0 ? x1 ? x2 ,则 f x?(2 ?1?2?x ? 2 (1 f x e e ) ) x x x 1 e e
? 2 1 1xx ?1 e x 1 ?2 e(1 2? ee 1 1 xx , ( ? xx 1 x xx ) 2 1 e x ? ) 1 2 ? ? ) ?( ? e e

由 x 02 02 x 0 x x?, x? ??, 1?ex2?x1 ?0, ? e 1 ? x , ?? , ? x 1 ,得 1 2 0 2 x 10 1 ∴ f(1 ? ( 2 ? , x f x) 0 ) 即 f (x)? f (x ),∴ f ( x ) 在 (0, ?? ) 上为增函数. 1 2

例 3. (1)《高考 A 计划》考点 11“智能训练第 9 题” ( )若 f ( x ) 为奇函数, 且 在 ( ?? , 0) 上 是 减 函 数 , 又 f (?2) ? 0 , 则 x? f (x) ?0 的 解 集 为
( ,2 ( ?. ? ) 2 ) ?? ? ? ,

例 4.《高考 A 计划》考点 10 智能训练 14)已知函数 f ( x ) 的定义域是 x ? 0 (

( ? 2 fx? 2 且当 x ? 1 () 的一切实数, 对定义域内的任意 x 1 , x 2 都有 fxx ?( ) fx , 1 ) 1
时 f() 0f( ) 1 x?, 2?, (1)求证: f ( x ) 是偶函数; (2) f ( x ) 在 (0, ?? ) 上是增函数; (3)解不等式
f (2x2 ?1 ?2. )
1 1 解: (1)令 x1 ? x2 ? 1 ,得 f ( ) ?2f ( ),∴ f (1) ? 0 ,令 x ? x2 ??1,得∴ 1 f (?1) ? 0 , ( ?? ?) ( f) ? ? f1 x ( ) 1 ? ) x f ) f ∴ fx ( x ( ??,∴ f ( x ) 是偶函数.

(2)设 x2 ? x1 ? 0,则

第二章 函数——第 12 课时:函数的单调性

x x x f( 2 ? ( 1 ? ( 1? 2) f( 1 ? ( 1 ? ( 2) f( 1 ? ( 2) x) f x f x ) ? x fx f ) ) ? x f ) x x x 1 1 1

∵ x2 ? x1 ? 0,∴

x2 x ? 1 ,∴ f ( 2 ) ?0,即 f( 2 ? ( 1 ? ,∴ f (x ) ? f (x) x) f x) 0 2 1 x1 x1

∴ f ( x ) 在 (0, ?? ) 上是增函数. (3)? ( )? ,∴ f4 f2 f2 2 () () () , ? ? ? f2 1 ∵ f ( x ) 是偶函数∴不等式 f (2x2 ?1 ?2可化为 f( x ? | ?f( ), ) |2 2 1 ) 4 又∵函数在 (0, ?? ) 上是增函数,∴ | 2x2 ?1|? 4 ,解得: ?
10 10 , ). 2 2 10 10 , ?x? 2 2

即不等式的解集为 ( ?

a ) g 8 例 5.函数 f (x ?lo 9(x? ? )在 [1, ? ? ) 上是增函数,求 a 的取值范围. x a ) g 8 分析:由函数 f (x ?lo 9(x? ? )在 [1, ? ? ) 上是增函数可以得到两个信息: x a ①对任意的 1 ? x1 ? x2 , 总有 f (x)? f (x );②当 x ? 1 时, x ? 8 ? ? 0 恒成立. 1 2 x a ) g 8 解: ∵函数 f (x ?lo 9(x? ? )在 [1, ? ? ) 上是增函数, ∴对任意的 1 ? x1 ? x2 , x

a a o9 1 8 ( ? 9 2 8 o( 有 f (x)? f (x ),即 l g x?? ) l g x?? ) ,得 1 2 x x 1 2 a a a x ?8? ?x ?8? ,即 (x ?x )( ? ) ?0, 1 2 1 2 1 x x xx 1 2 1 2

∵ x1 ? x2 ? 0 ,∴ 1 ?

a ? 0, x1 x 2

a ? ? 1, x1 x 2

a ? ?x1x2 ,

∵ x2 ? x1 ? 1,∴要使 a ? ?x1x2 恒成立,只要 a ? 1 ;
a ) g 8 ?? ? , 又∵函数 f (x ?lo 9(x? ? )在 [1, ? ? ) 上是增函数,∴ 1 8 a 0 x

第二章 函数——第 12 课时:函数的单调性

即 a ? 9 ,综上 a 的取值范围为 [ ? 1, 9 ) .
a a 另解: (用导数求解)令 g(x) ? x ?8 ? ,函数 f (x ?lo 9(x? ? )在 [1, ? ? ) ) g 8 x x 上是增函数, a a ∴ g(x) ? x ?8 ? 在 [1, ? ? ) 上是增函数, g ?( x) ? 1 ? 2 , x x a ∴1 8 a 0 ? ? ? ,且 1 ? 2 ? 0 在 [1, ? ? ) 上恒成立,得 ? ?a?9. 1 x (四)巩固练习: 1. 《高考 A 计划》考点 11,智能训练 10;

2.已知 f (x ) 是 R上的奇函数,且在 (0,?? 上是增函数,则 f (x ) 在 (??0) 上 ) , 的单调性为 .

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 1,智能训练 4,5, 7,8,12,13,15.

第二章 函数——第 13 课时:反函数

一.课题:反函数 二.教学目标:理解反函数的意义,会求一些函数的反函数;掌握互为反函 数的函数图象间的关系,会利用 y? f (x)与 y ? f ?1(x) 的性 质解决一些问题. 三.教学重点:反函数的求法,反函数与原函数的关系. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函 数; 2.反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若 y ? f ( x) 与
y ? f ?1 ( x) 互为反函数,
1 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 A 、 值 域 为 B , 则 f[f?( ) ? ( ? ), x] xx B 1 ; f?[ ( ) ? ( ?) f x] xx A

3.互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于 y ? x 对称. (二)主要方法: 1.求反函数的一般方法: (1)由 y ? f ( x) 解出 x ? f ?1 ( y) , (2)将 x ? f ?1 ( y) 中的 x , y 互换位置,得 y ? f ?1 ( x) , (3)求 y ? f ( x) 的值域得 y ? f ?1 ( x) 的定 义域. (三)例题分析: 例 1.求下列函数的反函数:

x2 ?1 ? x ?1 (0 ) 2 (1) f( )? x ? ( ? 1; ; x xx ?) (2) f (x) ?{ 2 x (? ? x ?0 1 )
? 3 32 3 ?. (3) y x ? x ? x 1

1 1 2 2 (? 2 x ?) 1 解: (1)由 y? x ?x(x?? )得 y ? x ) ? ( ? 1, 2 4

1 1 ) ∴ x? ?? y2 ? (y?0 , 2 4

第二章 函数——第 13 课时:反函数

1 1 ) ∴所求函数的反函数为 y ?? ? x2 ? (x?0 . 2 4
(2)当 0 ? x ?1时,得 x y 1?? ? ),当 ? ?x?0时, ? ?( 1 y 0 1 得 x?? y 0?y? ), ( 1 ∴所求函数的反函数为 y ? ? ?
? x ?1(?1? x ? 0) ) ? ? x(0 ? x ?1 ?



(3)由 y x ? x ? x 1 y?(x? )3 ?2,∴ x? ? y 2 y R, ? 3 32 3 ?得 1 1 3 ? ( ?)
1 ∴所求反函数为 f?() 1 3x 2 ? . x?? ?( R x )

1a ?x 1 例 2.函数 y ? ( ? ,x R的图象关于 y ? x 对称,求 a 的值. x ? ?) 1a ?x a 1a ?x 1 1? y ? ( ? ,x R得 x ? x ? ?) 解:由 y (y ?? ), 1 1a ?x a a(y?1 )

1 x ? 1 ∴ f ? (x ? ) (x??), 1 ax? ) ( 1
由题知: f (x) ? f ?1(x),

1? x 1? ax ,∴ a ? 1 . ? a(x ?1) 1? ax

例 3.若 ( 2 , 1 ) 既在 f (x) ? m ?n的图象上,又在它反函数图象上,求 m , n 的 x 值. 解:∵ ( 2 , 1 ) 既在 f (x) ? m ?n的图象上,又在它反函数图象上, x

? m?n ?2 ? f (1 ) ? 2 ?m ? ?3 ? ∴? ,∴ ? ,∴ ? . ? f (2) ? 1 ?n ? 7 ? 2m ? n ? 1 ?
例 4.《高考 A 计划》考点 12“智能训练第 5 题” ( )设函数 f (x) ?
) 函数 g (x ) 与 y ? f ?1(x?1 的图象关于 y ? x 对称,求 g ( 2 ) 的值.
1?2x ,又 1? x

第二章 函数——第 13 课时:反函数

解法一:由 y ? ∴ g (x ) 与 y ?

1? 2x 1? x ?x 1? y 得x ? ,∴ f ?1 ( x) ? , f ?1(x?1 ? , ) 1? x x?2 x?3 y? 2

?x ?x 互为反函数,由 2 ? ,得 g(2) ??2. x?3 x?3

解法二:由 y ? f ?1(x?1 得 x? f (y)? ,∴ gx ?f( )? , ) 1 () x 1 ∴ g ) f 2 1? . ( ?() ?2 2 ?

例 5.已知函数 y ? f ( x) (定义域为 A 、值域为 B )有反函数 y ? f ?1 ( x) ,则 方 程 f ( x) ? 0 有解 x ? a ,且 f( )? ( ? )的充要条件是 y ? f ?1 ( x) 满足 x xx A
? f1x x? ?0 a ( ?xBf1 ) . ) ( ) (? 且

a x? 2 1 ) (a? ), R 例 6. ( 《高考 A 计划》 考点 12 智能训练第 15 题” 已知 f (x ? x “ ) 2? 1

是 R 上的奇函数. 1) a 的值,2) f ( x ) 的反函数,3) ( 求 ( 求 ( 对任意的 k?(0, ? ) ? 解不等式 f ?1(x) ?lo 2 g
1?x . k

解: (1)由题知 f (0) ? 0 ,得 a ? 1 ,此时
x x 21 ? 1 x ?2 ? 21 ? ?1x 2 fx f? x ? (? x ) () ? ? ? x 0 ? , ? x x 21 ? 21 ? ? 2 1 ?1 2

即 f ( x ) 为奇函数. (2)∵ y ?
2x ? 1 2 1?y x ?1? x ,得 2 ? (? ? y?1 , 1 ) x 2 ?1 2 ?1 1?y

1x ? 1 x? 2 o (1 x 1 ?? ? . ) ∴ f?() l g 1x ?

?1 ? x 1 ? x ? ? x ?1? k 1?x ? g (3)∵ f (x) ?lo 2 ,∴ ? 1 ? x , k ,∴ ? k ??1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ?
? 1

第二章 函数——第 13 课时:反函数

①当 0?k ?2时,原不等式的解集 { |1 k x 1, x ? ? ?} ②当 k ? 2 时,原不等式的解集 { |? ?x?} x 1 1. (四)巩固练习:

x2 ?1 ? x?1 (0 ) 1.设 f (x) ?{ x ,则 f 2 (? ? x?0 1 )

?1

5 ( )? 4



2.设 a ?0 a ?1,函数 y ? loga x 的反函数和 y ? log 1 x 的反函数的图象关于 ,
a

(

)
( B ) y 轴对称 ( C ) y ? x 轴对称 (D)原点对称

( A ) x 轴对称

对称
1 3.已知函数 f ( x) ? ( )x ?1 ,则 f ? 1 ( ? x ) 的图象只可能是 2 y y y
O
1


y



x

?1

O

x

?2

?1
O

x

?2 ?1 O

x

(A)

(B )

(C )

(D )

4.若 y ? ax ?6 与 y ?

1 x ? b 的图象关于直线 y ? x 对称,且点 ( b , a ) 在指数函 3

数 f ( x ) 的图象上,则 f ( x ) ?



五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 12,智能训练 1,2,3,6,10,12,14.

第二章 函数——第 14 课时:二次函数

一.课题:二次函数 二.教学目标:掌握二次函数的概念、图象及性质;能利用二次函数研究一 元二次方程的实根分布条件;能求二次函数的区间最值. 三. 教学重点: 二次函数、 一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.二次函数的解析式的三种形式:一般式,顶点式,两根式. 2.二次函数的图象及性质; 3.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系. (二)主要方法: 1.讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②函 数在此区间上的单调性; 2.讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;② 区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置. (三)例题分析:
2 例 1.函数 y x b (? ? ? ?? xcx[ ?) 0 )是单调函数的充要条件是 ,

( A
(D ) b ? 0



(A) b?0

(B ) b?0

(C ) b ? 0

分析:对称轴 x ? ? ∴对称轴 x ? ?

b 2 ? ? ? x [, ? xc 0 ) ,∵函数 y x b ( ?? 是单调函数, 2

b 在区间 2 b [0, ?? ) 的左边,即 ? ? 0 ,得 b ? 0 . 2

例 2. 已知二次函数的对称轴为 x ? ? 2 , x 轴上的弦长为 4 , 截 且过点 (0 , ? 1) , 求函数的解析式. 解:∵二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,设所求函数为 f( )? ( ? 22? , x ax ) b 又∵ f ( x ) 截 x 轴上的弦长为 4 , f ( x ) 过点 (? 2 ? 2,0) ,f ( x ) 又过点 (0 , ? 1) , ∴
1 ? ?4a ? b ? 0 ?a ? ∴? , ? 2 , ?2a ? b ? ?1 ?? b ? ? 2

第二章 函数——第 14 课时:二次函数

1 ∴ f (x ? (x? 2 2 ? . ) ) 2 2 a 1 例 3.已知函数 y ?i 2x ai x ? 的最大值为 2 ,求 a 的值 . ? sn ? sn ? 4 2 分析:令 t ? sin x ,问题就转二次函数的区间最值问题.

解:令 t ? sin x , t ?[?1,1] ,
a2 1 a ∴ y ? ? ) ? ( 2? ? ),对称轴为 t ? , ?( t a a2 2 4 2 a 1 2 (1) ? 1 ? ? 1 , ? ?a?2 当 即 2 时,y a ? ( ? ? )? , a ? ?2 或 a ? 3 a a 2 2 得 m x 2 4 (舍去) . a a2 1 (2) 当 ? 1 , a ? 2 时, 即 函数 y ? ? ) ? ( 2? ? )在 [ ? 1 , 1 ] 单调递增, ?( t a a2 2 2 4 1 1 10 由 ya ? 1 a a ? ,得 a ? . ? 2 m x ?? ? 4 2 3 a a2 1 ?( t a a2 (3)当 ? ? 1 ,即 a ? ?2 时,函数 y ? ? ) ? ( 2? ? )在 [ ? 1 , 1 ] 单调递 2 2 4 减, 1 1 ? 2 由 ya ? 1 a a ? ,得 a ? ?2 (舍去) . m x ?? ? 4 2 10 综上可得: a 的值为 a ? ?2 或 a ? . 3

() 2 2 1 2 2 ?? ? xa 与非负 x 轴至少有一个交点, a 例 4. 已知函数 fx x (a )? ? 求

的取值范围.
2 ( ?x a 20 2 ) 2 解法一:由题知关于 x 的方程 x? a1 ? ??至少有一个非负实根,

设根为 x 1 , x 2
?? ? 0 9 ? 则 x1 x2 ? 0 或 ? x 1 x 2 ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 ?x ? x ? 0 ? 1 2

第二章 函数——第 14 课时:二次函数

? f (0 ) ? 0 ? ? (2 a ? 1) 9 ? 解法二:由题知 f (0) ? 0 或 ? ? ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 2 ? ?? ? 0 ?

例 5.对于函数 f ( x ) ,若存在 x 0 ? R ,使 f (x0 ) ? x0 ,则称 x 0 是 f ( x ) 的一个 不动点,已知函数
2 fxa ( 1 ( 1? (? ? ) ? 0 ) x b xb ( ) ?? ) a ,

(1)当 a? ,b?? 时,求函数 f ( x ) 的不动点; 1 2 (2)对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 的图象上 A , B 两点的横坐标是 f ( x ) 的不 动点,且 A , B 两点关于直线 y ? kx ?
1 对称,求 b 的最小值. 2a2 ?1
2

) 2 3 解: (1) f(x ?x ?x? , x 0 是 f ( x ) 的不动点,则 f( ) x ?0??0 x?0 x 3 x,

得 x 0 ? ? 1 或 x 0 ? 3 ,函数 f ( x ) 的不动点为 ? 1 和 3 .
) ?2 x b ) ? (2) ∵函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点, fx xa??? 0 ∴ ( ? x b( 1 恒
2 ? 4? b a ? b b a 1 2 ba 对 ( ) ?? 有两个不等的实根, ? ?b ? 4 40 ? R 恒成立,

a 1a ∴ (4 )2 ? 6 ?0,得 a 的取值范围为 ( 0 , 1 ) . b (3) a2?x ( ?) 0 由 x b ? 1? 得
1 x1 ? x2 b ?? , 由题知 k ? ?1 ,y ? ?x ? 2 , 2a ?1 2 2a b b 1 , 则 E 的 横 坐 标 为 (? , ? 2 ) , ∴ 2 2 2 ? a a a 1

设 A,B 中 点 为 E
b b 1 ? ? ? 2 , 2 2 2 ?1 a a a

1 a 1 2 2 ) ?? ,当且仅当 2a ? (0 ? a ?1 ,即 a ? ∴ b?? 2 ?? 时等 1 a 2 ? a 1 4 2 2 ? a a

第二章 函数——第 14 课时:二次函数

号成立, ∴ b 的最小值为 ? (四)巩固练习:
2 1.若函数 yx ( 2? ? 的图象关于 x ? 1 对称则 b ? ? ??x3 [ b a) ( a x ,]

2 4



6



2.二次函数 f ( x ) 的二次项系数为负值,且 fx ) f2 ) ? ,问 (?? ?xR 2 ( x ( )
f (1 ? 2 x 2 ) 与 f ( ?2x?x2)满足什么关系时,有 ? ?x?0. 1 2

2 3. m 取何值时,方程 7?? x 2 m 0 x ( 1 ? ? 2 的一根大于 1 ,一根小于 m) m ? 3 ?

1 .

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 13,智能训练 3,5,6,9,10,12,13.

第二章 函数——第 15 课时:指数式与对数式

一.课题:指数式与对数式 二.教学目标:1.理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质; 2.理解对数的概念,掌握对数的运算性质. 三.教学重点:运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.指数、对数的运算法则;
b 2.指数式与对数式的互化: a? ? aN b N lg ?. o

(二)主要方法: 1.重视指数式与对数式的互化; 2.不同底的对数运算问题,应化为同底对数式进行运算; 3.运用指数、对数的运算公式解题时,要注意公式成立的前提. (三)例题分析: 例 1.计算: (1) ( 42 3? 6 1 ?8 ? 1 ? ) 2 ?4 2 3 1 2 2 2 7 6 ( ); (2) ( 2? 2g ? 2 l ) l ? 5 g; g 2 g l 0l 5 (3) ( 3? 2o ? 3 l 2 g? g l 8 . o l 9) 4 o) g o ( 3g l 解: (1)原式 ? ? ) ? ? ? 8 ( 1 3 3 2 2 1 ?
1 2 3 2 3 ? 3

1

1

3

2 ?

1 2 ? 2

1 3 ? 6

3 4 ? 4

2 ?(1 ?) ? 3

? 3 ?2 1 ?2?? 3 ?? 1 3 ? ? 21 ? 8 1 1 ? 3 8. ?1
2 ( 2 ? 2 ?l? 2 l ( 5 l l ggg g1l gg52 2 l g5 2 1 l ) g l 5 (2)原式 ?? )? (?)?

?) ? ? ?? ( l 2 2 l) . 1 2 5g 5 ? 1 l ( g2 ggl 2

l l gg l l 2 2g g l 33 gl 2g l 2 g g 3l 3 (3)原式 ? ?) ?)( ? ) ( ? ( ? ? ( ? ) l l ggl l 3 9g g l 2 2 3 48 g l 3g l 3 g l 2g 2 ? 3lg2 5lg3 5 ? ? . 2lg3 6lg2 4

例 2.已知 x 2 ? x

1

?

1 2

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ? x
3 2 ? 3 2

的值.

?3

第二章 函数——第 15 课时:指数式与对数式

解:∵ x 2 ? x

1

?

1 2

? 3 ,∴ (x 2 ? x 2 )2 ? 9 ,∴ x 2 x1 ? ,∴ x?x?1 ?7, ? ?? 9

1

?

1

2 ? ∴ (x?x?1)2 ?4 ,∴ x ?x2 ?4 , 9 7

又∵ x x ( x? ? ??7 ? ? ??)x? x ( 11 ? ? 8 x )3 1 , ( )1 ∴

3 2

3 ? 2

1 2

1 ? 2

x2 ?x?2 ?2 x ?x ?3
3 2 3 ? 2

?

4 ?2 7 ?3. 1 ?3 8

1 1 例 3.已知 3a ?5b ?c,且 ? ? 2 ,求 c 的值. a b

解:由 3 a ? c 得: logc 3a ? 1 ,即 a logc 3 ?1,∴ lo g c 3 ? 同理可得

1 ; a

1 1 1 ? lo g c 5 ,∴由 ? ? 2 得 l g3 l g5 2 oc ?oc ? , b a b

∴ logc 15 ? 2 ,∴ c 2 ? 15 ,∵ c ? 0 ,∴ c ? 1 5 .

l xy 2g ??,求 o l y 例 4.设 x ? 1 , y ? 1 ,且 2g ? o x 30 T ? x2 ?4y2 的最小值.
解:令 t ? log x y ,∵ x ? 1 , y ? 1 ,∴ t ? 0 .
l xy 2g ??得 o l y 由 2g ? o x 30 2t ?
2 t 3 2 0 ? 3 ? 0 ,∴ 22? t? ? , t

1 1 1 ∴ ( t? ( ?)? ,∵ t ? 0 ,∴ t ? ,即 lo g x y ? ,∴ y ? x 2 , 2 1t 2 0 ) 2 2

? y 2 xx) , x 2 ?? 2 ?? ?? ∴ T 2 4 x4( 2 4

∵ x ? 1 ,∴当 x ? 2 时, Tmin ? ?4 .

2 2 2 例 5.设 a 、 b 、 c 为正数,且满足 a ?b ?c .

bc ? ac ? o (? ) lg1 ? 2 ? )1 o( ? (1)求证: lg1 2 a b 2 b?c g 1 ) ?1, lo 8(a?b?c) ? ,求 a 、 b 、 c 的值. (2)若 log4( ? 3 a

第二章 函数——第 15 课时:指数式与对数式

ac ac ? b ? ? b ? acb ? ac b ?? ? 证明: (1)左边 ? l2 o g ? l2 o g ?( l2 o g ? ) a b a b
2 2 (b2 a? a b c 2 2 2 ? ) c ?b 222 a? ? a? bc ? c ? l o g ? l o g ? l o g ?? l2 o1 g; 2 2 2 2 a b a b a b

解: (2)由 log4( ? 1

b?c b?c ) ?1得 1 ? ? 4 ,∴ ? ????????① 3 abc 0 a a

2 2 3 由 lo 8(a?b?c) ? 得 a?b?c?8 ?4???? ?????② g 3

由① ? ②得 b?a ?2?????????????????③
2 2 2 由①得 c?3 ?b,代入 a ?b ?c 得 2( a 3)? ,∵ a ? 0 , a4 ?b 0 a

∴ 4 ?b 0 a 3 ? ????????????????????④ 由③、④解得 a ? 6 , b ? 8 ,从而 c ? 10 . (四)巩固练习:
2 3 1. 若 ( ?) ? ( ?) ?b 则 a 与 b 的大小关系为 a b 3 a b 2,



x x?y 2.若 2g 的值. l ?l x? gy,求 g l y 2

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 14,智能训练 4,6,10,13,14,15.

第二章 函数——第 16 课时:指数函数与对数函数

一.课题:指数函数与对数函数 二.教学目标:1.掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质; 2.能利用指数函数与对数函数的性质解题. 三.教学重点:运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.指数函数、对数函数的概念、图象和性质; 2.同底的指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x 互为反函数; (二)主要方法: 1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域; 2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1,要注意对底 数的讨论; 3.比较几个数的大小的常用方法有:①以 0 和 1 为桥梁;②利用函数的单调 性;③作差. (三)例题分析: b 2 b 1 例 1. (1)若 a ? ?a? ,则 l o g b , l o g b a , lo g a b 从小到大依次为 ; a
x y z (2)若 2 ?3 ?5 ,且 x , y , z 都是正数,则 2 x , 3 y , 5 z 从小到大

依次为

; )

(3) x ? 0 , ax ?bx ?1 a ? 0 , ? 0 ) 则 a 与 b 的大小关系是 设 且 ( , ( b ( A ) b ? a ?1 ( B ) a ?b ?1 ( C ) 1?b ? a ( D ) 1? a ?b b b 2 b 1 解: (1)由 a ? ?a? 得 ? a ,故 l o g b ? l o g b a ? 1 ? lo g a b . a a
x 3 5 t (2)令 2 ? y ? z ? ,则t?1, x ?

lg t lg t lg t ,y ? ,z ? , lg 2 lg 3 lg 5

2t 3t lt l9g l g l g g( ? ) ? g l8 x y ?? ? ? ? 0 2x ? 3y ; ∴2 3 ,∴ l2 l3 g g l2 3 gl ?g
x 5 0 ∴ 同理可得:2 ? z? , 2x ? 5z , 3 ?2 ?5 . ∴ y x z (3) x ? 1 , 取 知选 B ) ( .

例 2.已知函数 f (x) ?ax ?

x?2 ( a ? 1) , x?1

求证: (1)函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根.

第二章 函数——第 16 课时:指数函数与对数函数

证明: (1)设 ? ? x ? x2 , 1 1
x2 x x 2 ? ? 则 fx? 2 ?1? ( ) fx a 1 ?2? () x a 2 1 x1 ? x1 ? 1 2 ? x2 x x 3 ) 22 ? 1 2 (? xx x x x 1 2 ??? ? ??? 1 2 , aa 1 aa x x1 ? ? (?21 x) ? ( ) x 11 2 11

1 1 ∵ ? ? x ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 ,

3(x1 ? x2 ) ?0; (x1 ?1 x2 ?1 )( )

x x ∵ ? ? x ? x2 ,且 a ? 1 ,∴ ax1 ? ax2 ,∴ a1 ?a 2 ?0, 1 1

x) f x) 0 ∴ f( 1 ? ( 2 ? ,即 f (x)? f (x ),∴函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数; 1 2
(2)假设 x 0 是方程 f ( x) ? 0 的负数根,且 x 0 ? ? 1 ,则 a x0 ?
2 x 3(0 1 3 ? ? ? x ) x 0 即 a ? 0? , ? ? 1 x? x? x? 0 1 0 1 0 1 x0 ? 2 ?0, x0 ? 1



当 ?1? x0 ? 0 时 , 0? x ?1?1 , ∴ 0
a x0 ? 1 .

3 3 ? 3 ,∴ ?1 ? 2 ,而由 a ? 1 知 x0 ? 1 x0 ? 1

∴①式不成立;
3 3 ? 0 ,∴ ? 1 ? ? 1 ,而 a x0 ? 0 . x0 ? 1 x0 ? 1

当 x 0 ? ? 1 时, x0 ? 1 ? 0 ,∴ ∴①式不成立.

综上所述,方程 f ( x) ? 0 没有负数根.
x l g( x 1( 例 3.已知函数 f( )?o a a ?) a ? 0 且 a ? 1 )( .《高考 A 计划》考点 15,

例 4) . 求证: (1)函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的一侧;

第二章 函数——第 16 课时:指数函数与对数函数

(2)函数 f ( x ) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 . 证明: (1)由 ax ?1 ? 0 得: a x ? 1 , ∴当 a ? 1 时, x ? 0 ,即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) ,此时函数 f ( x ) 的图象 在 y 轴的右侧; 当 0 ? a ?1时, x ? 0 ,即函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?? , 0) ,此时函数 f ( x ) 的图 象在 y 轴的左侧. ∴函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的一侧; (2)设 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x ) 图象上任意两点,且 x 1 ? x 2 , 则直线 A B 的斜率 k ?
x y1 ? y 2 a1 ? ? ? aa 1 o( 1 lg o( ) aa ) o ? , y y lg x? lg x?? a x , 1 2 x1 ? x 2 a1 ?
1 1 2 2

x x 1 2 ?x 1 a 1 当 a ? 1 时,由(1)知 0 ? x1 ? x2 ,∴ 1?a1 ?a2 ,∴ 0 a ??x ?,

∴0 ?

a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 ; a x2 ? 1

x 1 2 1a 10 当 0 ? a ?1时,由(1)知 x1 ? x2 ? 0 ,∴ ax1 ?ax2 ?1,∴ a ??x ?? ,

a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 . ∴ x2 a ?1

∴函数 f ( x ) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 . (四)巩固练习:
1 1.已知函数 f (x) ? x| ,若 ? a ? b ? 1 ,则 f ( a ) 、 f ( b ) 、 f ( c ) 从小到大 |lg c 1 依次为 f b f a? () (注: f ( ) ? f ( c ) ) () () f c; ? c x 2.若 a 为方程 2 ? x ? 0 的解,b 为不等式 log2 x ? 1 的解,c 为方程 log 1 x ? x
2

第二章 函数——第 16 课时:指数函数与对数函数

的解,则 a 、 b 、 c 从小到大依次为 a?c ?b; 3.若函数 f(x ? ?x?| ? 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是 ) 2| 1 m
0?m?1.

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 15,智能训练 3,5,7,10,12,15.

第二章 函数——第 17 课时:函数的图象

一.课题:函数的图象 二.教学目标:1.熟练掌握基本函数的图象; 2.能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质; 3.能够正确运用数形结合的思想方法解题. 三.教学重点:熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图; 2.三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; 3.识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面. (二)主要方法: 1.平移变换: (1)水平平移:函数 y? f (x?a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的 ) 图像沿 x 轴方向向左 ( a ? 0 ) 或向右 ( a ? 0 ) 平移 | a | 个单位即可得到; (2)竖直平移:函数 y? f (x ?a的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴 ) 方向向上 ( a ? 0 ) 或向下 ( a ? 0 ) 平移 | a | 个单位即可得到. 2. 对称变换: 函数 y ? f (?x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴 (1) 对称即可得到; (2)函数 y ?? f (x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得 到; (3) 函数 y??f (? ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得 x 到; (4) 函数 y ? f ?1 ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得 到. 3.翻折变换: (1)函数 y ?| f (x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴 下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; (2)函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y

第二章 函数——第 17 课时:函数的图象

轴左边替代原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到. 4.伸缩变换: (1)函数 y ? af (x) ( a ? 0 ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像 中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 ( a ? 1) 或压缩( 0 ? a ?1) 为原来的 a 倍得 到; (2)函数 y ? f (ax) ( a ? 0 ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵 坐标不变横坐标伸长 ( a ? 1) 或压缩( 0 ? a ?1)为原来的 (三)例题分析: 例 1.《高考 A 计划》考点 16“智能训练第 5 题” ( )函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如下图: 则函数 y?f( )?gx 的图像可能是( A x ()
y
O

1 倍得到. a



y

x

O

x
y y

y
O

y

x
A B

O

x
C

O

x

O

x
D

例 2.说明由函数 y ? 2 x 的图像经过怎样的图像变换得到函数 y ? 2?x?3 ?1的 图像. 解:方法一: (1)将函数 y ? 2 x 的图像向右平移 3 个单位,得到函数 y ? 2 x ? 3 的图像; (2)作出函数 y ? 2 x ? 3 的图像关于 y 轴对称的图像,得到函数 y ? 2? x ?3 的图 像;

第二章 函数——第 17 课时:函数的图象

(3) 把函数 y ? 2? x ?3 的图像向上平移 1 个单位, 得到函数 y ? 2?x?3 ?1的图像. 方法二: (1)作出函数 y ? 2 x 的图像关于 y 轴的对称图像,得到 y ? 2 ? x 的图像; (2)把函数 y ? 2 ? x 的图像向左平移 3 个单位,得到 y ? 2? x ?3 的图像; (3) 把函数 y ? 2? x ?3 的图像向上平移 1 个单位, 得到函数 y ? 2?x?3 ?1的图像.

例3《 考A 计 》 点1 智 训 第1 ” 下 所 , 高 H的 瓶A, B,C, D 同 以 速 水 注 为 ; .高 ( 划 考 6 能 练 1题 如 图 示 向 为 水 “ ) 时等注,满止 水瓶 A, B, C, D 同时以等速注水,注满为止;

(A)

(B )

(C )

(D )
; ; ; .

(1) 若水深 h 与注水时间 t 的函数图象是下图中的 a , 则水瓶的形状是 C (2) 若水量 v 与水深 h 的函数图像是下图中的 b , 则水瓶的形状是 A (3) 若水深 h 与注水时间 t 的函数图象是下图中的 c , 则水瓶的形状是 D (4)若注水时间 t 与水深 h 的函数图象是下图中的 d ,则水瓶的形状是 B
h

v

h

t

(a )

t
(b )

h

t
(c )

(d )

h

例 4.设曲线 C 的方程是 y ? x 3 ? x ,将 C 沿 x 轴、 y 轴正方向分别平移 t 、

s ( t ? 0 ) 个单位长度后得到曲线C1,
(1)写出曲线C的方程; 1
t s (2)证明曲线 C 与C1关于点 A ( , ) 对称; 2 2

第二章 函数——第 17 课时:函数的图象

(3)如果曲线 C 与C1有且仅有一个公共点,证明: s ? 解: (1)曲线C的方程为 y ( ? 3? ? ?; ?x t ( t s ) x ) 1

t2 ?t. 4

(2)证明:在曲线 C 上任意取一点 B1 ( x1 , y1 ) ,设 B2 (x2 , y2 ) 是 B 1 关于点 A 的 对称点,则有
x? 2 t y ? 2 s y 1 x ? , 1 ? ,∴ x t xy s y ? 2 1 ? 代入曲线 C 的方 ?, ? 2 1 2 2 2 2

3 程,得 x 2 , y 2 的方程: s y ( x ??) ? ??) ( x t 2 2 t 2

即 y (2 t3 (2 t s ? ? ? ?? x ) x ) 可知点 B2 (x2 , y2 ) 在曲线C1上. 2 反过来,同样证明,在曲线C1上的点 A 的对称点在曲线 C 上. 因此,曲线 C 与C1关于点 A 对称. (3)证明:因为曲线 C 与C1有且仅有一个公共点,
?y ? x3 ?x ? ∴方程组 ? 有且仅有一组解, 3 ?y ?(x?t) ?(x?t) ?s ?
3 t2 3 ( t ) 0 x tx t ? 消去 y ,整理得 3 ?2 ? ? s?,这个关于 x 的一元二次方程有且

仅有一个根,
?4 1( t ) 0 t 23 ? t 4 4) 0 ∴ ?9?tt ? s?,即得 t( 3? t? s ? ,

因为 t ? 0 ,所以 s ?

t3 ?t. 4

例 5.《高考 A 计划》考点 16,智能训练 12) ( 1 (1)试作出函数 y ? x ? 的图像; x (2) 对每一个实数 x , 三个数 ?x, x,1? x2 中最大者记为 y , 试判断 y 是否是 x 的函数?若是,作出其图像,讨论其性质(包括定义域、值域、单调性、最 值) ;若不是,说明为什么?

第二章 函数——第 17 课时:函数的图象

解: (1)∵ f ( x ) ? x ?

1 ,∴ f ( x ) 为奇函数,从而可以作出 x ? 0 时 f ( x ) 的图 x

像,又∵ x ? 0 时, f ( x) ? 2 , ∴ x ? 1 时, f ( x ) 的最小值为 2,图像最低点为 (1 , 2 ) , 又∵ f ( x ) 在 ( 0 , 1 ) 上为减函数,在 (1, ? ? ) 上是增函数,
1 同时 f (x ?x? ?x x?0 即以 y ? x 为渐近线, ) ( ) x

于是 x ? 0 时,函数的图像应为下图①, f ( x ) 图象为图②:
y y

y

O


x

O


x

O


x

(2) y 是 x 的函数,作出 g ?2 )? ( ? 2 ( xx x x x ? g ,3 )1 的图像可知, f ( x ) x 1 ) , ( ?g 的图像是图③中实线部分.定义域为 R ;值域为 [1, ? ? ) ;单调增区间为
[ 1 ) 1? );单调减区间为 ( ??) 0 );当 x ? ?1 时,函数有最小值 1; ?,0,[ , ? ? , 1,[ ,1

函数无最大值. (四)巩固练习:
3 () a b ? d x x 1.已知函数 f x?x? 2 c?的图像如右图所示,则( A )

? ( A ) b?(? ,0)

( B ) b ? (0,1)
? (D) b?(2, ? )

y

( C ) b ? (1, 2)

O

2 1

x

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 16,智能训练 3, 7,9,15,16.

第二章 函数——第 17 课时:函数的图象

第二章 函数——第 18 课时:函数的最值

一.课题:函数的最值 二.教学目标:掌握函数最值的一般求法,并能利用函数的最值解决一些实 际问题,提高分析和解决问题的能力. 三.教学重点:函数最值的一般求法以及应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.函数最值的意义; 2.求函数最值的常用方法: (1)配方法:主要适用于可化为二次函数或可 化为二次函数的函数,要特别注意自变量的范围; (2)判别式法:主要适用 于可化为关于 x 的二次方程 a x b xc ?的函数 y ? f ( x) .在由 ()2 () ? y 0 y ? y ()
? ? 0 且 a( y) ? 0 ,求出 y 的值后,要检验这个最值在定义域内是否有相应的

x 的值; (3)不等式法:利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件; (4)换元法:用换元法时一定要注意新变元的取值范围; (5)数形结合法: 对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出; (6)利用函数 的单调性:要注意函数的单调性对函数最值的影响,特别是闭区间上函数的 最值. (二)主要方法: 1.函数的最值问题实质上是函数的值域问题,因此求函数值域的方法,也 是求函数的值域的方法,只是答题的方式有所差异; 2.无论用什么方法求最值,都要考查“等号”是否成立,不等式法及判别 式法尤其如此. (三)例题分析: 例 1.求下列函数的最大值或最小值:
(1) y? ? 3 2 ? 2 ; (3) y ? 4 ? x x (2) y ? x? 1?2x ;
2x2 ? 2 x ? 5 x2 ? x ? 1



( 1 4 ?x x 解: (1)y? ? 3 2 ? 2 ?4? ? x? )2 ?4, 3 2 ? 2 ? 得 ? ?x?3 由 ?x x 0 1 ,
? rx 3 1 ∴当 x ? 1 时,函数取最小值 2 ,当 x ?o ?时函数取最大值 4 .
?x t , (2)令 1 2 ?t ( ?0 x? ),则 x ? 2 1

1 ? t2 2

,∴ y?
1

1 t2 ?

1 ? ?? ( ? ) ? , t t 12 1 2 2

当 t ? 0 ,即 x ?

1 2

时取等号,∴函数取最大值 ,无最小值.
2

(3)解法(一)用判别式法:

第二章 函数——第 18 课时:函数的最值

由y?

2x2 ? 2 x ? 5 x ? x ?1
2

得 ( 2? 2 y ? ? y ) ( ) ?0 R ?2 y x 5, x ?? x ,

①若 y ? 2 ,则 2 ? 5 矛盾, ∴ y ? 2 ,
y 2 ?? ②由 y ? 2 ,这时, ? ,解得: 2 ? y ? 6 , ? ( 22 4 2( 5 0 ? ? y? ) ? (y? ) y? )?

1 , ∴函数的最大值是 6 ,无最小值. 2 解法(二)分离常数法:

且当 y ? 6 时, x ? ?

由y?

2x2 ? 2x ? 5 3 3 ? 2? 2 ? 2? 2 1 3 x ? x ?1 x ? x ?1 ( x ? )2 ? 2 4

1 3 3 ∵ (x? )2 ? ? ,∴ 2 ? y ? 6 ,∴函数的最大值是 6 ,无最小值. 2 4 4

例 2. (1)函数 y ? a x 在 [ 0 , 1 ] 上的最大值与最小值的和为 3 ,则 a ?

2



2 px4 ? ? 恒成立,则 (2)对于满足 0?p?4的一切实数,不等式 x ? ? x p 3

x 的取值范围为 ( ,1 ( ?. ? ) 3 ) ?? ? ? ,

(3)已知函数 f (x) ? 2x ?1, g(x) ?1?x2 ,构造函数 F ( x ) ,定义如下:当
| f (x ?g x 时,Fx ? f (x , | f (x ?g x 时,Fx ? f(x , )| ( ) () | )| 当 )| ( ) ( ) ? ) 那么 F ( x )



B


( B ) 有最小值 ? 1 ,无最大值 (D)无最小值,也无最大值

( A ) 有最小值 0 ,无最大值 ( C ) 有最大值 1 ,无最小值

1 例 3. 《高考 A 计划》考点 17“智能训练第 14 题” ( )已知 ? a ? 1 ,若 3

f( )? x ? x 1在 [ 1 , 3 ] 上 的 最 大 值 为 M ( a ) , 最 小 值 为 N ( a ) , 令 x a2 2 ?
g ? () N , () M ? () a a a

第二章 函数——第 18 课时:函数的最值

(1)求 g ( a ) 的函数表达式; (2)判断函数 g ( a ) 的单调性,并求出 g ( a ) 的 最小值. 答案参看教师用书 P 9 3 . (四)巩固练习: 1.函数 y x ? ) x [, ] ? 622 ?3 ( x, 0 的最大值为 16 6 ; ;

? 2.若 xy R3?y 1,则 x y 的最大值是 , ? , x 2 ?2

3.若 x2 ? y2 ? 1, 则 3 x ? 4 y 的最小值是 ? 5 ;
3 4. f() a ???b 在 [ ? 2, ? 1] 和 [ 1 , 2 ] 上是单调递减函数,则 a 的最 x?x x a 3,

1 大值为 . 6

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 17,智能训练 1,3,4, 8, 10,12, 13,15

第二章 函数——第 19 课时:函数的应用

一.课题:函数的应用 二.教学目标:1.能够应用函数的性质解决有关数学问题,能够应用函数 知识解决一些简单的实际问题; 2.培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力. 三.教学重点:建立恰当的函数关系. 四.教学过程: (一)主要知识:函数的综合问题主要有如下几个方面: 1.函数的概念、性质和方法的综合问题; 2.函数与其它知识,如方程、不等式、数列的综合问题; 3.函数与解析几何的综合问题; 4.联系生活实际和生产实际的应用问题. (二)主要方法:解数学应用题的一般步骤为: (1)审题; (2)建模; (3) 求解; (4)作答. (三)例题分析: 例 1.从盛满 2 0 升纯酒精的容器里倒出 1 升,然后用水填满,再倒出 1 升混合 溶液又用水填满,这样继续下去,如果倒第 n ( n ? 1) 次时
y

共倒出纯酒精 x 升,倒第 n ? 1 次时共倒出纯酒精 f ( x ) 升,
19 x ?1 . 则 f ( x ) 的表达式是 f ( x) ? 20
O
3 8

x

例 2.《高考 A 计划》考点 18“智能训练第 7 题” 某工厂八年来某种产品 ( ) 总产量 y 与时间 x (年)的函数关系如右图,下列四种说法①前三年中,产 量的增长的速度越来越快,②前三年中,产量的增长的速度越来越慢,③第 三年后,这种产品停止生产,④第三年后,年产量保持不变,其中说法正确 的是
( A ) ②与③ ( B ) ②与④ ( C ) ①与③ (D)①与④

x 范 例国农是2 元 ,准8 元为个8 % )m k g .民税 个计2 x 个写y ( 的2此率于7 8 % , 的 3设种格. / g 其为 (8 百 , .购的 k 中每 叫 分 计 假某价 家产1 收品 征10元 做 点 划 税征 税 , 可 标 率 即 收 为负率 百收 百出 元 函要在不的 确 取 购 了担降 分购 分税 ) 数使税低 减,低 点可 点收 与 关项调原 轻决 x ,增 . 农定 预加 ( 1 ) x 系税节计 ;收后划 ( ) 定值 围 .

第二章 函数——第 19 课时:函数的应用

,计划可收购 m k g .为了减轻农民负 8 元(叫做税率为 8 个百分点,即 8 % ) 担,决定税率降低 x 个百分点,预计收购可增加 2 x 个百分点. (1)写出税收 (2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的 y (元)与 x 的函数关系;
7 8 % ,确定 x 的取值范围.

解: (1)由题知,调节后税率为 (8 ? x)% ,预计可收购 m ? x ) g,总金 ( 2% 1 k 额为 12 ( ? x )元 . m 2% 1
3 m ∴ y2 28 ?( x ?? ( ? x ?) 1 ?) x . 1% m ( ) % 44 2 x . 02 ) ? 0x ( ? 0 8 1 2 5 0 0 (2)∵元计划税收 1 m8 元, .2 ? %

∴ 1 ?) x 188 . (28 2 x ??? ? % m ( ) . % 1% % 2 7 m ,
2 得 x ?2 ?8 0 ?4 x 2 4x 8 ? , 4 ? ? ,又∵ 0? x ?8,

∴ x 的取值范围为 0? x ?2. 例 4.某航天有限公司试制一种仅由金属 A 和金属 B 合成的合金,现已试制 出这种合金 4 0 0 克,它的体积 5 0 立方厘米,已知金属 A 的比重 d 小于每立方 厘米 9 克,大于每立方厘米 8 . 8 克;金属 B 的比重约为每立方厘米 7 . 2 克. (1)试用 d 分别表示出此合金中金属 A 、金属 B 克数的函数关系式; (2)求已试制的合金中金属 A 、金属 B 克数的取值范围.
? x ? y ? 400 ? 解: (1)此合金中含 A 金属 x 克、 B 金属 y 克, 则 ? x , y ? ? 50 ? d 7 .2 ?
4d 0 30 ?) 6( 8 d ( . ? ? ), y 88 d 9 ? ( . ? ?) 8 d 9. 8 解得 x? d? . 72 d7 ?. 2 4d 0 7 . 2 ? ?0 ? 4( 1 ) (8 .8 , 9 ) 上是减函数,∴ 2 ? ?2. 0 x2 0 0 (2)∵ x 在 d7 ?. 2 d7 ?. 2 3( ? 6d 8 0 ) 0 . 8 y ? ? 0? 3( 61 ) (8 .8 , 9 ) 上是增函数, 1 0 y? 0 . 在 8 ? 20 d7 ?2 . d7 ?2 .

例 5.《高考 A 计划》考点 18 例 3)用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用 ( 一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用一个单位的水可清除蔬菜上残留 1 的农药量的 ,用水越多洗掉的农药量越多,但总还有农药残留在蔬菜上, 2 设用 x 单位量的水清洗一次后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农

第二章 函数——第 19 课时:函数的应用

药量之比为函数 f ( x ) . (1)试规定 f ( 0 ) 的值,并解释其实际意义; (2)根 据假定写出函数 f ( x ) 应满足的条件和具有的性质; (3)设 f ( x) ?
1 ,现 1 ? x2

有 a(a ? 0) 单位量的水,可清洗一次,也可以把水平均分成两份后清洗两次, 哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由. 解答见《高考 A 计划》第 95 页. (四)巩固练习: 1.《高考 A 计划》考点 18“智能训练第 5 题” ( )甲、乙两人沿同一方向去 B 地,途中都使用两种不同的速度 v,v ( 1 ?v ).甲一半路程使用速度 v 1 ,另一 1 2 v 2 半路程使用速度 v 2 ,乙一半时间使用速度 v 1 ,另一半时间使用速度 v 2 ,甲、 乙两人从 A 地到 B 地的路程与时间的函数图象及关系,有下面图中 4 个不同 的图示分析(其中横轴 t 表示时间,纵轴 S 表示路程) ,其中正确的图示分析 为( D ) .
( A ) (1) S C
B A t1 t2 t

( B ) (3) S C
B A t1

( C ) (1)或(4) S
C B

(D)(1)或(2) S
C B

t2 t

A

t1

t2 t

A

t1

t2 t

(1)

(2)

(3)

(4)

2. 投寄本埠平信, 每封信不超过 2 0 g 时付邮费 0 . 6 元, 超过 2 0 g 不超过 4 0 g 时 付邮费 1 . 2 元,依此类推,每增加 2 0 g 需增加邮费 0 . 6 元(重量在 1 0 0 g 以内) , 如果某人投一封重量为 7 2 .5 g 的信,他应付邮费
( A ) 2 .1 元 (B ) 2 元 ( C ) 2 .3 元 (D ) 2 . 4 元



D



五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 18,智能训练 3,4,10,13,14.

第二章 函数——第 19 课时:函数的应用

第二章 函数——第 19 课时:函数的应用

高三(上)数学巩固练习(2) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将你 认为正确的答案填在后面的表格中) 1.已知全集 I,M、N 是 I 的非空子集,若 M ? N ,则必有

? (A) M N?N(B) M N? (C) M ? N (D) M ? N ? N
2. 若定义在区间 ( ? 1, 0 ) 内的函数 f( ) log? 满足 f (x) ?0,则 a 的取值范 x? 2 ( 1 ax )
1 围是 (A) ( 0 , ) 2 1 (C) ( , ?? ) (D) (0,?? ) 2 x? x 1 3.任取 x,x ? ,b 且 x ? x2, 若 f( 1 2) [ (1 ? ( 2 ,称 f ( x ) 是[a , a ], 1 ? f x f x)] ) 1 2 [ 2 2 b]上的凸函数,则下列图象中,是凸函数图象的是
y y y y

1 (B) ( 0 , ] 2

a

O b x (A)

a

O b x (B)

a

O b x (C)

a

O b x (D)

4.函数 y x? ? x ? 的反函数是 ?2 x 3 ?1 ( )

1 13 13 1 13 13 ? x ? ? x ? (A) y? ? x? ( ? ) (B) y? ? x? ( ? ) 2 4 4 2 4 4
1 13 1 13 ? x ?) ? x ?) (C) y? ? x? ( ? 3 (D) y? ? x? ( ? 3 2 4 2 4
5.若 f (x ) 、 g ( x ) 都是 R 上的单调函数,有如下命题: ①若 f (x ) 、 g ( x ) 都单调递增,则 f( )? ( )单调递增 x gx ②若 f (x ) 、 g ( x ) 都单调递减,则 f( )? ( )单调递减 x gx ③若 f (x ) 、 g ( x ) 都单调递增,则 f (x ?g x 单调递增 ) () ④若 f (x ) 单调递增, g ( x ) 单调递减,则 f( )? ( )单调递增 x gx ⑤若 f (x ) 单调递减, g ( x ) 单调递增, f( )? ( )单调递减 x gx 其中正确的是 (A)①② (B)②③④ (C)③④⑤ (D)④⑤ 6.要把函数 y ? a ? x 和函数 y? a( x 的图象画在同一坐标系中,只可能是 log ) ?
y y y y

O (A)

x

O (B)

x

O (C)

x

O (D)

x

第二章 函数——第 19 课时:函数的应用

7.函数 y axbx cx 的图象如图所示,则 ? 3? 2? ? d (A)a>0,b>0,c>0 (B)a>0,b>0,c<0 (C)a<0,b<0,c>0 (D)a<0,b<0,c<0
?2 0

y 1 x

8. 奇函数 y f( )( R ? xx ) ? 有反函数 y ? f ?1(x),则必在 y ? f ?1(x) 的图象上的点是 (A) ( f ( ), ) (B) ( f( ), a (C) ( a?f ( )) (D) (a f ?1(? )) , a ? aa ? a ?) ?, a 9.如果一个函数 f (x ) 满足: (1)定义域为 R; (2)任意 x1、x2∈R,若 x1 ? x2 ? 0 , 则 f( 1 ? ( 2 ? ; x) f x) 0 (3)任意 x∈R,若 t>0。则 f( ? ? ( ) x t f x,则 f (x ) 可以 ) 是 A、 y ? x 3 B、 y ? 3 x C、 y ?3 ?1 D、 y ? x 2 x

3 10.已知 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数,并且满足 f (x?2) ?? 1 ,当 2?x? 时
f (x)

f ( x) ? x ,则 f ( 105.5 ? )

A、-2.5 B、2.5 C、5.5 D、-5.5 选择题题 1 2 3 4 号 答案 二、填空题:

5

6

7

8

9

10

11.设函数 f (x ?lo a x ( a ? 0 且 a ? 1 ) 满足 f (9) ? 2 ,则 f ?1(log9 2) ? ) g

4 x ?时, 12. 已知函数 f x) ( 是奇函数, 1x 4fx x 4 5则当 ? ? ? 1 当 ?? () 2 x , 时 ???
函数 f(x)的最大值是 三.解答题:
2 x? ? ax b 13.已知: f( ) log x? 3 ,x (, ) ? ?? 0 ,是否存在实数 a 、 b ,使 f(x)同 x



时满足下列二个条件: (1)在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数; (2) f(x)的最小值是 1.若存在,求出 a 、 b ;若不存在,说明理由.

第二章 函数——第 19 课时:函数的应用

14.设函数 f( )? x x ?( ?) x 2? 2 1 1 x (Ⅰ)解不等式 f (x) ? 2; (Ⅱ)求出最大的实数 a,使得 f( ) ax?) x? ( 1 x 恒成立.

15.运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择.它们的速度分 别为 50 千米/小时,100 千米/小时,500 千米/小时,每千米的运费分别为 a 元、 b 元、c 元,且 b<a<c. 又这批海鲜在运输过程中的损耗为 500 元/小时,若使 用三种运输工具分别运输时各自的总费用(运费与损耗之和)互不相等,试确定 使用哪种运输工具总费用最省.(题中字母均为正的已知量)

( ?2 bx 0 R ) ? 1 , ( a b ), 15.已知二次函数 fx ax ? ? ?方程 f ( x) ? x 有两个实数根 x 1 、

x2。

4 (Ⅰ)如果 x ? ? 2? ,设函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? x 0 ,求证 x 0 ? ? 1 ; 1 2 x
(Ⅱ)如果 0?x ?2,且 f ( x) ? x 的两实根相差为 2,求实数 b 的取值范围 1


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