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2012武汉市部分重点中学高一期中考试数学试卷 理科

时间:2012-04-11


武汉市部 武汉市部分重点中学高一期中考试 理科数 理科数学试卷
命题人: 命题人:武钢三中 许红伟 审题人:省实验中学: 审题人:省实验中学:万钧 单项选择题: (5 10= 一、单项选择题: 5 分×10=50 分) ( → 1、给出下列判断:① 0 a =0 ;②如果数列 {an }满足: an +1 = 2an , 则 {an }为等比数列;③如果 a? b = a ? c 且 a ≠ 0 ,那么 b = c ;④设实 数 a, b 满足 ac 2012 > bc 2012 ,则 a > b .以上判断中正确的个数为: () A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 ?? → ?? → 2、 ?ABC 中,其面积为 S = 1 , AB? BC=2 3 ,那么角 B 等于: () A、 π B、 π C、 2 π D、 5 π 3、设等差数列 {an }的公差 d ≠ 0 ,且 a 2 , a 4 , a10 成等比数列, 那么等比数列的公比为: () A、2 B、3 C、4 D、5 4、 ?ABC 中, a = 3 , b = 1 , B = π ,那么其面积为: ()
6 6 3 3 6
→ → → → → → → →

A、

5、正项等比数列 {an }中, a1 = 1000 ,前三项的和为 1750,如 果数列 {lg a n } 的前 k 项和最大,那么 k 应为: () A、9 B、10 C、11 D、12 6、函数 y = 2 log 2 (x ? 1) ? log2 (x ? 3) 的最小值为: () A、2 B、3 C、4 D、8 7、?ABC 中, AD
?? →

3 4

B、

3 2

C、

3 或 3 4 2

D、以上均错

=

?? → ?? → ?? → ?? → ?? → ?? → 1 ? ?? → ?? → ? ? AB + AC ? ,CA = 4 EA ,BE = λ FE , AD = ? FD , 2? ?

那么实数 λ 等于: () A、3 B、4 C、5 D、6 8、下列三个条件中:① 2 a > 2 b ;② a + 2 ? a > b + 2 ? b ;③ 2 a + log 1 b > 2 b + log 1 a ,其中能推出 a > b 的条件共有: ()
2 2

3

3

A、0 个

B、1 个

C、2 个

D、3 个

9、 ?ABC 中,设 AC ? AB = 2 AM ? BC ,那么动点 M 的轨迹必通 过 ?ABC 的: () A、垂心 B、内心 C、重心 D、外心 10、 ?ABC 中,三边长 a , b , c 满足 a 3 + b3 = c3 ,那么 ?ABC 的形 状为: () A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、以上均有可能 ( 二、填空题: 5 分×5=25 分) 填空题: ?? → 11、?ABC 中,三边长分别为 a = 8 ,b = 5 ,c = 7 ,那么向量 CB 在 ?? → 向量 CA 上的投影为 12、不等式
x2 < 1 的解集为 x+2
?? → ?? → ?? → ?? → ?? →

?? → 2

?? → 2

?? →

?? →

13、 ?ABC 中, BC = 3 BD ,设 AB = x AD+ y BC ,那么 x + y = 14、等比数列 {an } 中, a1 = 1 ,前三项的和为 3,那么其前 10 项之和为 15、如图: ∠ABC = ∠ADC = 90 0 , ∠BAD = 1200 , CD = 3 , BC = 2 ,那 么线段 AC 的长度等于

三、解答题: (共 75 分) 解答题: → → 16、 (12 分)设 a = (sin α , cos α ) , b = (3,?4) (1)求 a + b 的最大值;
→ →

(2)如果 a ∥ b ,求 sin 2α 17、 (12 分) ?ABC 中, A = π , b = 2
3





(1)如果 c = 3 ,求 BC 边上的中线 AD 之长; (2)如果 a = 3 ,求其面积

18、 (12 分) ?ABC 中, a = 7 , b = 1 , c = 2 , BC = λ BD ?? → ?? → (1)如果 λ = 3 ,求 AD? BC ; ?? → ?? → ?? → (2)如果 AD ⊥ BC 且 AD = x AB + y AC ,求 x 与 y 19、 (13 分)设数列 {an }、 {bn }满足: bn +1 = 2bn ? n 2 + 2n + 1 , an = bn ? n 2 ,且 b1 = 2 ? (1)求证: {an }为等比数列,并求 {bn }的通项公式; (2)求数列 {na n } 的前十项的和 (3)设 cn =
n2 + 1 ,是否存在正整数 k ,使得对任意正整数 an

?? →

?? →

n ,均有 cn ≤ ck 成立?如果存在,求出 k 的值,如果不存在,

说明理由 20、 (12 分)设函数 f (x ) = x 2 ? a x + 1 (1) 如果不等式 f (x ) > 0 的解集为 R , 求实数 a 的取值范围; (2)设 a > 0 ,解关于 x 的不等式: f (x ) < 0 21、 分) (14 已知等差数列 {an }的前 n 项和为 S n , 如果 S k = (S k )2 对 k ∈ N * 恒成立. (1)求 {an }的通项公式; (2)设 {an }的公差 d ≠ 0 ,现把 {an }的各项排成下表:
2

a1 a 2 , a3 a 4 , a 5 , a6
a 7 , 8 , 9 , a10 a a

… Ⅰ、求第十行第六个数; Ⅱ、求数 2013 位于第几行第几个; Ⅲ、记第 n 行第 m 个数为 f (n, m) ,求 f (n, m) 表达式

武汉市部分重点中学高一期中考试理科数学 武汉市部分重点中学高一期中考试理科数学 试卷答案
(5 10= 一、单项选择题: 5 分×10=50 分) 单项选择题: ( 题 1 2 3 4 5 6 7 号 答 A D B C B B C 案 (5 二、填空题: 5 分×5=25 分) 填空题: ( 11、4 12、 (? ∞,?2) ∪ (? 1,2) 14、10 或-341 15、 2 21 3

8 B

9 D

10 A

13、 2
3

三、解答题: (共 75 分) 解答题:


16、 (1)

?→ →? a+ b = ? a+ b ? = ? ?


2

→2

a + b + 2 a ? b = 26 + 2(3 sin α ? 4 cos α )

→2

→ →

= 26 + 10 sin (α ? ? ) ∈ [4,6] ,所以所求最大值为 6(6 → → (2)因为 a ∥ b ,故 ? 4 sin α = 3 cos α ,则 sin α = ? 3 cos α 4

分)
1 25

令 sin α = ?3a , cosα = 4a ,那么 9a 2 + 16a 2 = 1 ,∴ a 2 = 于是 sin 2α = 2 sin α cos α = 2 ? (? 3a ) ? 4a = ? 24 (6 分)
25

17 、( 1 )

a = b + c ? 2bc cos A = 7
2 2

, 设

AD = x,

因 为

cos ∠BAD + cos ∠CAD = 0, 所以:

7 7 + x2 ? 9 + x2 ? 4 4 = 4 , 7 7 19 2? ?x 2? ?x x= , 解得: 2 2 2 (6

分)

(2)由

3 2 3 = ? sin B = ,又 a > b ? A > B , 0 sin 60 sin B 3 6 ∴ cos B = + ,∴ sin C = sin ( A + B ) = 3 ? 6 + 1 ? 3 = 3 2 + 3 3 2 3 2 3 6 1 3 2+ 3 ∴ S = ab sin C = (6 分) 2 2

b2 + c 2 ? a 2 1 2π 18、 (1) cos A = = ? ,∴ A = 2bc 2 3 ?? → ?? → ?? → 1 ?? → ?? → ?? → ?? → ? ? ?? ? ? ∴ AD? BC = ?AB+ ? AC- AB ?? ? ? AC- AB ? 3? ?? ? ? ? ?? → 2 ?? → 2 ?? → ?? → 1 2 1 = AC ? AB + AB? AC 3 3 3 8 1 2 1 ? 1? = ? 1 ? ? 4 + ? 1 ? 2 ? ? ? ? = ? (6 3 3 3 3 ? 2?
?? → ?? →
?? → ?? → ?? → ?? →

分)

(2) AD? BC = 0 ? ? x AB + y BC ? ? ? AC ? AB ? = 0 ? 2 y = 5 x ? ? ? ?
? ? ? ?

又 BD = AD ? AB = (x ? 1) AB + y AC
∴ BC = λ ( x ? 1) AB + λy AC = AC ? AB λ ( x ? 1) = ?1? ∴ ? ? x+ y =1 λy = 1 ? 2 ? ?x = 7 ? ∴? 为所求(6 分) ?y = 5 ? 7 ?
?? → ?? → ?? → ?? → ?? →

?? →

?? →

?? →

?? →

?? →

19、 (1)因为 an +1 = bn +1 ? (n + 1)2 = 2bn ? n2 + 2n + 1 ? (n + 1)2 = 2(bn ? n 2 ) = 2an 又可求 a1 = 1 ,∴ {an }为公比为 q = 2 的等比数列 ∴ an = 2 n ?1 于是 bn = 2 n ?1 + n 2 (4 分) (2)令 x = 1 ? 2 0 + 2 ? 21 + 3 ? 2 2 + L + 9 ? 2 8 + 10 ? 2 9 则 2 x = 1 ? 21 + 2 ? 2 2 + 3 ? 2 3 + L + 9 ? 2 9 + 10 ? 210
∴ ? x = 1 + 2 + 2 2 + L + 2 9 ? 10 ? 2 10 = ?1 ? 9 ? 2 10

分) (3)即研究数列 {cn }是否存在最大项 (n + 1)2 + 1 ? n 2 + 1 = n(2 ? n ) 因为 c ? c =
n +1 n

∴ x = 1 + 9 ? 2 10 = 9217 (4

2n

2 n ?1

2n

则 n < 2 有 cn +1 > cn , n = 2 有 cn +1 = cn , n > 2 有 cn +1 < cn 即: c1 < c2 = c3 > c4 > c5 > … 故 {cn }最大项为 c2 = c3 = 5 , 因而 k = 2 或 k = 3 为所求(5 分)
2

20、 (1) x ? a x + 1 > 0 ? x + 1 > a x ,由于 x = 0 时成立 ∴ 只要 x ≠ 0 成立即可 1 ∴ x + > a 恒成立
2
2

x

? 1? ∴? x + ? > a ? x ?min ? ?

又x+

1 1 ≥2 x = 2, x = ±1 时取等号(6 x x

分)

所以左边的最小值为 2,于是 a < 2 为所求 (2)令 t = x ≥ 0
?t 2 ? at + 1 < 0 ∴? ?t ≥ 0

因为 ? = a 2 ? 4 故当 ? ≤ 0 时即 0 < a ≤ 2 时, t ∈ φ ? x ∈ φ 当 ? > 0 时 a > 2 时,易知方程 t 2 ? at + 1 = 0 有两不等正根 t1 = a + 那么 t 2 < t < t1 即 t 2 < x < t1

2 2 a ? a2 ? 4 a + a2 ? 4 或? a+ a ?4 < x < ? a? a ?4 <x< 2 2 2 2

a2 ? 4 2

, t2 = a ?

a2 ? 4 2

且 t1 > t2 > 0

综上:当 0 < a ≤ 2 时,不等式无解,当 a > 2 时,解为
2 2 a ? a2 ? 4 a + a2 ? 4 <x< 或? a+ a ?4 < x < ? a? a ?4 2 2 2 2

(6 分) 21、 (1)因为 {a n } 为等差数列 故可设 S n = An 2 + Bn
∴ Ak 4 + Bk 2 = Ak 2 + Bk

(

)

2

∴ Ak 2 + B = A 2 k 2 + 2 ABk + B 2 对 k ∈ N * 恒成立

?A = A2 A = 0 ?A = 0 ?A = 1 于是 ? AB = 0 ? ? 或? 或? ? ? ?B = 0 ?B = 1 ?B = 0 ? 2 ?B = B ∴ Sn = 0 或 Sn = n 或 Sn = n2

则可求 a n = 0 或 a n = 1 或 a n = 2n ? 1 (6 分) (2)Ⅰ、 a n = 2n ? 1 由于 1 + 2 + L + 9 = 45 故第十行第六个数为 a 51 = 101 (2 分)

Ⅱ、 2013 = a1007 设 a1007 位于第 k 行 那么 1 + 2 + 3 + L + k ? 1 < 1007 ≤ 1 + 2 + L + k ? k (k ? 1) < 2014 ≤ k (k + 1) 故 k = 45 又 1007 ? (1 + 2 + L + 44) = 17 故 2013 位于第 45 行第 17 个(4 分) Ⅲ、因为 1 + 2 + L + n ? 1 = n(n ? 1)
∴ f (n, m ) = a n (n ?1)
2

2

+m

= n ? n + 2m ? 1 (2
2

分)

2011—— ——2012 武汉市部分重点中学 2011——2012 学年度 下学期期中联考
高一数学试卷答题卡(理科) 高一数学试卷答题卡(理科)
一、选择题: 选择题:

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(本大题共 小题, 二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 填空题: ( ) 11、 14、 12、 15、 13、

三、解答题: 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题: 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 (解答应写出必要的文字说明 ( ) 16、 (1)

(2)

17、 (1)

(2)

18、 (1)

(2)

19、 (1)

(2)

(3)

20、 (1)

(2)

21、 (1)

(2) (Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)


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