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2014年“联测促改”第一轮测试题参考答案(文科数学)

时间:2014-03-06


四 川 省 2014 年 “联 测 促 改 ”活 动

数学(文史类)答案及评分参考
一、选择题:本题考查基本概念和基本运算. 每小题 5 分,满分 50 分. 1.C 2.B 3.C 4.D 5.D 6.C 7.D 8.D 9.B 10.A 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算. 每小题 5 分,满分 25 分. 3 14. 2 5 15.①②④

11.2 12.2 13. ? 2 三、解答题

16. (Ⅰ)这 6 位同学的成绩平均数为 x ?
又 s2 ?

1 6 ? xn ? 81 . 6 n ?1

1 6 1 ( xn ? x) 2 ? (52 ? 52 ? 32 ? 32 ? 12 ? 152 ) ? 49 , ? 6 n ?1 6

故这 6 位同学成绩的标准差为 s=7. (6 分) (Ⅱ)从 6 位同学中随机选取 2 位同学,包含的基本事件空间为(76,76) 、 (76,78) 、 (76,78) 、 (76,82) 、 (76,96) 、 (76,78) 、 (76,78) 、 (76,82) 、 (76,96) 、 (78,78) 、 (78,82) 、 (78,96) 、 (78,82) 、 (78,96) 、 (82,96)15 个基本事件,其中括号内 数字分别表示 2 位同学的成绩. 记“选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩低于平均分”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为(76,82) 、 (76,96) 、 (76,82) 、 (76,96) 、 (78,82) 、 (78,96) 、 (78,82) (78,96)共 8 个基本事件则 P( A) ?

8 , 15

故从 6 位同学中随机地选 2 位同学,恰有 1 位同学的成绩低于平均分的概率为

8 . 15 17.由题知, f ( x) ? m sin x ? cos x ? 2 . (Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 . 由 f ( x) ? ?1 得, sin x ? cos x ? 1,

(12 分)

? ? 2 即 2 sin( x ? ) ? 1 ,所以 sin( x ? ) ? . 4 4 2 ? 3? ? 因为 x 为三角形的内角,所以 x ? ? ,即 x ? . 2 4 4 ? (Ⅱ)当 m= 3 时, f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2 ? 2sin( x ? ) ? 2 , 6 ? 当且仅当 sin( x ? ) ? 1 时函数 f ( x) 取最大值 0. 6
此时 x ?

(6 分)

? ? ? ? 2k ? ? ,(k ? Z), 即x ? 2k ? ? (k ? Z). 6 2 3
(12 分)

? 2? 1 于是 cos 2 x ? cos[2(2k ? ? )] ? cos ?? . 3 3 2
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18. (Ⅰ)由题知,对 n ? N* 有 bn ? 500 ? an ,
所以当 n ? N 且 n ? 2 时, an ?
*

4 3 an ?1 ? (500 ? an ?1 ) , 5 10

整理得 an ?

1 an ?1 ? 150 , 2

1 即 an ? 300 ? (an ?1 ? 300) . 2
所以,当 a1 =300 时,{ an ? 300}不是等比数列;当 a1 ? 300 时,{ an ? 300}是 以( a1 ? 300 )为首项,

1 为公比的等比数列. 2

(7 分)

1 n ?1 (a1 ? 300) , (Ⅱ)当 a1 =200 时,由(I)得 an ? 300 ? ( ) 2
即 an =300 ?

100 , 2n ?1 100 ? 300 . 29

所以, a10 ? 300 ?

故第 10 个星期一选 A 种菜的大约有 300 人. (12 分) 1 19. (Ⅰ)因为∠ABC=∠BCD= 90? ,BC=CD= AB, 2 设 BC ? 1 ,则 AD ? 2 , BD ? 2 ,所以 AD 2 ? BD 2 ? AB 2 , 故 AD ? BD . 又 PB⊥平面 ABCD,所以 PB⊥AD. 又因为 BD,PB 在平面 PBD 内,且 BD 与 PB 相交, 所以 AD⊥平面 PBD. 又 AD ? 平面 PAD, 所以平面 PAD⊥平面 PBD. (6 分) (Ⅱ)当 PQ ? 2QC 时,PA//平面 QBD,证明如下. 连结 AC 交 BD 于点 O,连接 OQ. 因为 2CD=AB,CD//AB, 所以 AO=2OC. 过 PA 的平面 PAC ? 平面 QBD=OQ, 又因为 PA//平面 QBD, 所以 AP//OQ, 故 PQ ? 2QC .

(12 分)

20. (Ⅰ)由题知 f ( x) ? x 2 ? x ,当 x ? 1 时, f (1) ? 2 .
对函数 f ( x) 求导得 f ?( x) ? 2 x ? 1 , 故 f ?(1) ? 3 , 所以所求切线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 1 ? 0 .

(4 分)

1 (Ⅱ)令 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x3 ? x 2 ? 3x ? m , 3
则 h?( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 3)( x ? 1) ,
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所以,当 ?4 ? x ? ?1 时, h?( x) ? 0 ; 当 ?1 ? x ? 3 时, h?( x) ? 0 ; 当 3 ? x ? 4 时, h?( x) ? 0 ; 要 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 h( x)max ? 0 . 由上知 h( x) 的最大值在 x ? ?1 或 x ? 4 取得.

5 20 而 h(?1) ? m ? , h(4) ? m ? , 3 3
所以 m ?

5 5 ? 0 ,解得 m ? ? . 3 3
(13 分)

5 所以 m 的取值范围为 (??, ? ] . 3 21. (Ⅰ)依题意,
c 3 及 a 2 ? b 2 ? c 2 可得 a ? 2b , c ? 3b . ? 2 a
x2 y2 ? 2 ?1. 2 4b b 22 12 ? ? 1 ,解得 b ? 2 . 4b 2 b 2

所以椭圆方程为

又点 P(2,1)在椭圆上,所以 所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1. (4 分) 8 2 (Ⅱ)依题意,直线 l 的斜率存在且不为 0,设为 k,则直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) .

设点 C (2,0) 关于直线 l 的对称点为 C ?( x0 , y0 ) ,则
x ?2 ? y0 ? k( 0 ? 1), ? 2 ?2 ? y ? 0 ? k ? ?1, ? ? x0 ? 2

2 ? , x0 ? 2 ? ? k ?1 解得 ? ? y ? 2k . 0 ? k2 ?1 ?

若点 C ?( x0 , y0 ) 在椭圆
(
2

x2 y2 ? ? 1 上, 4b 2 b 2

2 2 2k ) ( 2 )2 1 ? 1. 则 k ?21 ? k ? 4b b2

即 b 2 k 4 ? (2b 2 ? 4)k 2 ? (b 2 ? 1) ? 0 . 设 k2 ? t , 因此原问题转化为关于 t 的方程 b 2 t 2 ? (2b 2 ? 4)t ? (b 2 ? 1) ? 0 有正根. ①当 b 2 ? 1 ? 0 即 0 ? b 2 ? 1 时,方程一定有正根; ②当 b 2 ? 1 ? 0 即 b 2 ? 1 时,则有
?(2b 2 ? 4)2 ? 4b 2 (b 2 ? 1) ? 0, ? ? 2 ? ?2b ? 4 ? 0,
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解得 b 2 ?

4 . 3 2 3. 3

综上得 0 ? b ?

又椭圆的焦距为 2c ? 2 3b , 所以 0 ? 2c ? 4 . 故椭圆的焦距的取值范围是 (0, 4] . (14 分)

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