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2016数学寒假辅导专题2.1 以归纳推理为背景的填空题


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【名师综述】
推理证明一般处于填空题的最后一题,考查学生逻辑推理能力,属于较难题. 1.归纳推 理主要用于与自然数有关的等式或不等式的问题中,一般在数列的推理中常涉及.即通过前几个等 式或不等式出发,找出其规律,即找出一般的项与项数之间的对应关系,一般的有平方关系、立方关系、 指数变化关系或两个相邻的

自然数或奇数相乘等基本关系,需要对相应的 数字的规律进行观察、归纳,一 般对于的等式或不等式中的项的结构保持一致. 2.类比推理主 要是找出两类事物的共性, 一般的类比有以下几种: ①线段的长度——平面几何中平面图形的 面积——立体几何中立体图形的体积的类比;②等差数列与等比数列的类比,等差数列中两数相加类比到 等比数列中两数相乘,等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意,有些时候 不能将式子的结构改变,只需将相应的量进行替换.

【精选名校模拟】
1.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行;数字 2,3 出现在第 2 行; 数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出现在第 4 行,依此类推,则(1)按网络运作顺序第 n 行第 1 个数字(如第 2 行第 1 个数字为 2,第 3 行第 1 个数字为 4,…)是________;(2)第 63 行从左至右的 第 4 个数字应是________.

1

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【答案】

n2 ? n ? 2 2

2013

1 1 1 9 ? + ≥ 成立;在凸四边形 ABCD 中, A B C ? 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 25 不等式 ? + + ≥ 成立;在凸五边形 ABCDE 中,不等式 ? + + + ≥ 成立, ,依此 A B C D 2? A B C D E 3?
2.在 ?ABC 中,不等式 类推,在凸 n 边形 A 1A 2 ? An 中,不等式

1 1 1 ? + ? ? ≥ __ A1 A2 An

___成立.

【答案】

n2 ? n ? 2? ?

【解析】 试题分析:我们可以利用归纳推理的方法得到不等式

1 1 1 n2 ,从而得出结论. ? +? ? ≥ A1 A2 An ? n ? 2? ?

3.已知点 A( x1 , a x1 ), B( x2 , a x2 ) 是函数 y ? a x (a ? 1) 的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段 AB 总是
x1 ? x2 a x1 ? a x2 ? a 2 成立.运用类比思想方法可知,若点 位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 2

A( x1 , sin x1 ), B( x2 , sin x2 ) 是 函 数 y ? sin x( x ? (0, ? )) 的 图 象 上 任 意 不 同 两 点 , 则 类 似 地 有
_________________成立. 【答案】

sin x1 ? sin x2 x ?x ? sin 1 2 2 2

2

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4. 在平面直角坐标系中,若点 P(x,y)的坐标 x,y 均为整数,则称点 P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点, 则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为 S,其内部的格点数记为 N,边界上的格点数记为 L.例如 图中△ABC 是格点三角形,对应的 S=1,N=0,L=4.

[来源:Zxxk.Com]

(1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S,N,L 分别是

;

(2)已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c,其中 a,b,c 为常数.若某格点多边形对应的 N=71,L=18,则 S= (用数值作答). 【答案】(1)3,1,6 (2)79

3

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5.设 ?ABC 的三边长分别为 a , b, c , ?ABC 的面积为 S ,内切圆半径为 r ,则 r ?

2S ;类比这个结 a?b?c

论可知:四面体 P ? ABC 的四个面的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4 ,内切球的半径为 R ,四面体 P ? ABC 的体 积为 V ,则 R ? 【答案】 .

3V S1 ? S2 ? S3 ? S4

[来源:Z&xx&k.Com]

6.如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动,小正六边形的边长是大正六边形的边长的一 半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置, 在这个过程中, 向量 OA 围绕着点 O 旋转了 θ 角,其中 O 为小正六边形的中心,则 sin

θ θ + cos = 6 6

.

【答案】-1 7.当 a0 , a1 , a2 成等差数列时,有 a0 ? 2a1 ? a2 ? 0; 当 a0 , a1 , a2 , a3 成等差数列时,有
4

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a0 ? 3a1 ? 3a2 ? a3 ? 0; 当 a0 , a1 , a2 , a3 , a4 a0 ? 4a1 ? 6a2 ? 4a3 +a4 ? 0; 成等差数列时,有由此归纳,当
0 1 2 n a0 , a1 , a2 ,?, an 成等差数列时,有 Cn a0 ? Cn a1 ? Cn a2 ? ?? (?1)n Cn an ? 0 .如果 a0 , a1 , a2 ,?, an 成等

比数列,类比上述方法 归纳出的等式为______________.
Cn Cn ( ?1) 【答案】 a0 ? a1?Cn ? a2 ? ? ? an
0 1 2 n n Cn

?1

【解析】 试题分析:根据等差数列与等比数列类比是升级运算,因此在等差数列种有
0 1 2 n Cn a0 ? Cn a1 ? Cn a2 ? ?? (?1)n Cn an ? 0 ,如果 a0 , a1 , a2 ,?, an 成等比数列,则

Cn Cn ( ?1) a0 ? a1?Cn ? a2 ? ? ? an

0

1

2

n

n Cn

? 1.

8.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .若数列 ?an ? 的各项按如下规则排列:

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , ?????? , , ??? ?????? 则 a15 ? _____; 若存在正整数 k , 使 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n

Sk ?1 ? 10, Sk ? 10 ,则 ak ? _______.
【答案】 a15 ?

5 6 , ak ? 6 7

9. 已知双曲正弦函数 shx ?

e x ? e? x e x ? e? x 和双曲作弦函数 chx ? 与我们学过的正弦函数和余弦函数有许 2 2

多类似的性质,请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角 公式,写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个 类似 ..... .. 的正确结论______________. 【答案】 ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy

5

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10.对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5

32 ? 1 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7



43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 …
.

2 3 根据上述分解规律,若 m ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 11, p 的分解中最小的正整数是 21,则 m ? p ?

【答案】 11

11.给出下列等式: 2 =2cos n 个等式:=________. 【答案】2cos

? ? ? , 2 ? 2 =2cos , 2 ? 2 ? 2 =2cos ,…,请从中归纳出第 16 4 8

?
2 n?1

【解析】对比 2cos

? ? ? ? ,2cos , 2cos 可得第 n 个等式为=2cos 16 2 4 8

n?1

6

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12.已知 Sk=1 +2 +3 +…+n ,当 k=1,2,3,…时,观察下列等式:

k

k

k

k

1 2 1 n + n, 2 2 1 3 1 2 1 S2= n + n + n, 3 2 6 1 4 1 3 1 2 S3= n + n + n , 4 2 4 1 5 1 4 1 3 1 S4= n + n + n - n, 5 2 3 30 1 5 5 4 6 2 S5=An + n + n +Bn ,… 2 12
S1= 可以推测,A-B=________. 【答案】

1 4

13.如下图①②③④所示,它们都是由小正方形组成的图案.现按同样的排列规则进行排列,记第 n 个图 形包含的小正方形个数为 f(n),则
[来源:Z*xx*k.Com]

(1)f(5)= (2)f(n)=



[来源:学.科.网 Z.X.X.K]


2

【答案】 (1)41; (2)2n -2n+1

7

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14.由恒等式: 1 ? 2 1 ? 3 1 ? 4 1 ? 5 1 ? ? ? 3 .可得 1 ? 3 1 ? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? ? ?



进而还可以算出 1 ? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? 7 1 ? ? 、 1 ? 5 1 ? 6 1 ? 7 1 ? 8 1 ? ? 的值,并

可归纳猜想得到 1 ? n 1 ? ? n ? 1? 1 ? ? n ? 2 ? 1 ? ? n ? 3? 1 ? ? ? 【答案】 4 ; n ? 1 . 【解析】

.( n ? N )

?

试题分析:等式 1 ? 2 1 ? 3 1 ? 4 1 ? 5 1 ? ? ? 3 两边平方得 1 ? 2 1 ? 3 1 ? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? ? ?

9 ,解得 1 ? 3 1 ? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? ? ? 4 ,在上述等式两边平方得 1 ?

15.考察下列一组不等式:

2 3 ? 53 ? 2 2 ? 5 ? 2 ? 5 2 ,
2 4 ? 5 4 ? 2 3 ? 5 ? 2 ? 53 ,

2 5 ? 55 ? 2 3 ? 5 2 ? 2 2 ? 53 ,…….
将上述不等式在左右两端仍为两项的情况下 加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的 不等式可以是 . 【答案】 a
m? n

? b m?n ? a m b n ? a n b m ( a ? 0, b ? 0, a ? b, m ? 0, n ? 0 )
8

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【解析】略 16.如果 O 是线段 AB 上一点,则 | OB | OA? | OA | OB ? 0 ,类比到平面的情形;若 O 是 ?ABC 内一点,有

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

?

S ?OAB ? OC ? S ?OBC ? OA ? S ?OCA ? OB ? O ,类比到空间的情形:若 O 是四面体 ABCD 内一点,则
有 【答案】0 【解析】略 17.如图 5,一个树形图依据下列规律不断生长:1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆点,1 个实心 圆点到下一行生长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点.则第 11 行的实心圆点的个数是 . .

【答案】55 【解析】略 18.观察下列一组等式:

3 3 2 ? 2 ? ? ? ,② sin 15 + cos 45 + sin15 cos 45 = , 4 4 3 2 ? 2 ? ? ? ③ sin 45 + cos 75 + sin 45 cos 75 = ,……, 4
2 ? 2 ? ? ? ① sin 30 + cos 60 + sin 30 cos 60 =

那么,类比推广上述结果,可以得到的一般结果是:__
2 2 ? ? 【答案】 sin x ? cos ( x ? 30 ) ? sin x cos( x ? 30 ) ?

____网]

3 4

9

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19. 将 2 按如表的规律填在 5 列的数 表中,设 2
n

2014

排在数表的第 n 行,第 m 列,则第 m 列中的前 n 个数

的和 Sn =___________。

21 28 27 29 216


22 26 210 214


23 25 211 213


24

212

215




2 2018 ? 4 【答案】 15

SB ? b 则 AB 边上的高 h ? 20. 在平面几何里, 已知直角△SAB 的两边 SA, SB 互相垂直, 且 SA ? a ,

ab a ? b2
2



拓展到空间, 如图, 三棱锥 S ? ABC 的三条侧棱 SB、 SB、 SC 两两相互垂直,且 SA ? a, SB ? b, SC ? c ,则点 S 到 面 ABC 的距离 h? ? ______________.

10

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【答案】

abc a b ? b2c 2 ? c 2 a 2
2 2

;

11


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