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高三数学(文理合卷)(题)


松江区 2014 学年度第一学期高三期末考试 数学试卷
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)
2015.1

一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足

z ?4 1 z

r />? 0 ,则 z 的值为



. ▲ ▲ . .

2.已知 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) ,且 f ?1 (?1) ? 2 ,则 f ?1 ( x) ? 3.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6, a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 4.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD = ▲ . 5. 在正四棱柱 ABCD ? A 1 与平面 ABCD 所成的角 1B 1C1D 1 中,BC 为 60 ? ,则 BC1 与 AC 所成的角为 示) . 6. 若圆 C 的半径 为 1, 圆心在第一象限, 且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴都相切,则该圆的 标准方 程是 ▲ . ▲ . 7.按如图所示的流程图运算,则输出的 S ? 8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ▲ (结果用反三角函数表

开始
a ? 5, S ? 1

?
3

)( x ? R ,? ? 0 )的最小

正周期为 ? ,将 y ? f ( x) 图像向左平移 ? 个单位长度

a?4

N

(0 ? ? ?

?
2

Y
S ? S ?a a ? a ?1
第7题

) 所得图像关于 y 轴对称,则 ? ?





输出S

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦 9.已知双曲线 4 b
点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ▲ . ▲ .

结束

10.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 5 的概率为

11. (理)已知函数 f ( x) ? 取值范围为 ▲ .

1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 , 若 f (x) ? 则t 的 l o g 2 t 对 x ? R 恒成立, 2 2

11. (文)函数 f ( x) ?

1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 的单调递增区间为 2 2
2 2





12.某同学为研究函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ?

? 0 ? x ? 1? 的性质,构造了如图所示

的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的

一个动点,设 CP ? x ,则 f ? x ? ? AP ? PF .此时 fmax ( x) ? fmin ( x) =





13.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当

?1? x ? ?? 2,0? 时, f ( x) ? ? ? ? 1.若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga ( x ? 2)(a ? 1) 在区间 ?? 2,6? ?2? 恰有 3 个不同的零点,则 a 的取值范围是 ▲ .
14. (理)在正项等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2015 ? 1,若集合

x

? ? A ? ?t ? ?

? 1? ? 1? ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? a1 ? ? a2 ? ?

? 1 ? ? at ? at ?

? ? ?? 则 A 中元素个数为 ? ? 0, t ? N ? , ? ? ?





14. (文)在正项等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a4 ? 1 ,若集合

? ? 1? ? 1? ? A ? ?t ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? a1 ? ? a2 ? ? ? ?

? ? 1? ? ? ? at ? ? ? 0, t ? N ? ? , 则 A 中元素个数为 at ? ? ? ?





二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在 答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 p, q ? R ,则“ q ? p ? 0 ”是“ A.充分非必要条件 C.充要条件
n

p ? 1 ”的 q

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

2 ? ? * 16.若二项式 ? 3x 2 ? ? (n ? N ) 展开式中含有常数项,则 n 的最小取值是 3 x? ?
A.4 C.6 B .5 D .7

17.设 P 是 ?ABC 所在平面内一点, BC ? BA ? 2BP 则 A. PA ? PB ? 0 C. PC ? PA ? 0
2 2

B. PB ? PC ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0

18 . 已 知 满 足 条 件 x ? y ? 1 的 点 ( x , y )构 成 的 平 面 区 域 面 积 为 S1 , 满 足 条 件

[ y ] 分别表示不大于 x, y [ x]2 ? [ y]2 ? 1 的点 ( x , y ) 构成的平面区域的面积为 S 2 ,其中 [ x]、 的最大整数,例如: [?0.4] ? ?1 , [1.7] ? 1 ,则 S1与S 2 的关系是 A. S1 ? S 2 B. S1 ? S 2
C. S1 ? S 2 D. S1 ? S 2 ? ? ? 3

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,且满足 a ? b ? c , b ? 2a sin B . (1)求 A 的大小; (2)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知函数 f ( x) ? a
x ?b

(a ? 0, a ? 1, b ? R) .

(1)若 f ( x ) 为偶函数,求 b 的值; (2)若 f ( x ) 在区间 ?2, ??? 上是增函数,试求 a 、 b 应满足的条件.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组 成, 开始时细沙全部在上部容器中, 细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为 该沙漏的一个沙时。如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为 8cm,细 沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的

2 (细管长度忽略不计). 3

(1)如果该沙漏每秒钟漏下 0.02cm3 的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到 1 秒)? (2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高 度(精确到 0.1cm) .

2h 3

h

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分
1 2 已知数列 ?an ? 的首项为 1 , 记 f (n) ? a1Cn ? a2Cn ? k ? ak Cn ?
* n ( n ? N ). ? anCn

(1)若 ?an ? 为常数列,求 f (4) 的值; (2)若 ?an ? 为公比为 2 的等比数列,求 f ( n) 的解析式; (3)是否存在等差数列 ?an ? ,使得 f (n) ?1 ? (n ?1)2n 对一切 n ? N 都成立?若存在,求
*

出数列 ?an ? 的通项公式;若不存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 (理)对于曲线 C : f ( x, y ) ? 0 ,若存在最小的非负实数 m 和 n ,使得曲线 C 上任意 一 点 P( x, y ), | x |? m,| y |? n 恒 成 立 , 则 称 曲 线 C 为 有 界 曲 线 , 且 称 点 集

{( x, y ) x ? m, y ? n} 为曲线 C 的界域.
(1)写出曲线 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 的界域; (2)已知曲线 M 上任意一点 P 到坐标原点 O 与直线 x ? 1 的距离之和等于 3,曲线 M 是 否为有界曲线,若是,求出其界域,若不是,请说明理由; (3)已知曲线 C 上任意一点 P( x, y ) 到定点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 的距离之积为常数 a (a ? 0) , 求曲线的界域. (文)对于曲线 C : f ( x, y ) ? 0 ,若存在非负实数 M 和 m ,使得曲线 C 上任意一点

P( x, y ) , m ?| OP |? M 恒成立(其中 O 为坐标原点),则称曲线 C 为有界曲线,且称 M 的
最小值 M 0 为曲线 C 的外确界, m 的最大值 m0 为曲线 C 的内确界. (1)写出曲线 x ? y ? 1(0 ? x ? 4) 的外确界 M 0 与内确界 m0 ; (2) 曲线 y ? 4 x 与曲线 ( x ? 1) ? y ? 4 是否为有界曲线?若是, 求出其外确界与内确界;
2 2 2

若不是,请说明理由; (3)已知曲线 C 上任意一点 P( x, y ) 到定点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 的距离之积为常数 a (a ? 0) , 求曲线 C 的外确界与内确界.


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