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广东省中山市第一中学2015-2016学年高二数学上学期第二次段考试题


中山市第一中学 2015—2016 学年度第一学期 高二级 第二次段考 数学试题

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 ) 1.已知△ABC 的三边分别为 2,3,4,则此三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 2.不等式 ?6 x ? x ? 2 ?

0 的解集是
2

A. ? x | ?

? ?

2 1? ?x? ? 3 2?

B. ? x | x ? ? 或x ?

? ?

2 3

1? ? 2?

C. ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

D. ? x | x ? ? ?

? ?

3? 2?

3.已知命题 p : ?x ? R,sin x ? cos x ? 2 ,命题 q : ?x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 A. 命题 p ? (?q) 是真命题 C. 命题 p ? q 是假命题 4.若 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题

1 1 b a ? ? 0, 则下列不等式:① a ? b ? ab ;② a ? b ;③ a ? b ;④ ? ? 2 中正确的是 a b a b
A.①② B.②③ ) C.①④ D. ③④

5.下列说法中,正确的是( A.命题“若 am
2

? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题
2

B.已知 x ? R ,则“ x
2 2

? 2 x ? 3 ? 0 ”是“ x ? 3 ”的必要不充分条件
2 2

C. “ a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ” D.命题

p : ?x ? R, x ? sin x 的否定形式为 ?x ? R, x ? sin x
2 2

6. 若不等式 mx ? 2mx ? 4 ? 2 x ? 4 x 的解集为 R ,则实数 m 的取值范围是 A. (?2, 2) B. (?2, 2] C. (??, ?2) ? [2, ??) D. (??, ?2)

2 7.已知条件 p : (1 ? x)( x ? 3) ? 0 ,条件 q : 5x ? 6 ? x ,则 ? p 是 q 的

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 8. 等差数列的第二,三,六项 顺次成等比数列,且该等差数列不是常数数列,则这个等比数 列的公比为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
1

9.如图所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯 角分别为 75°,30°,此时气球的高度是 60 m,则河流 的宽度 BC 等于 A.240( 3-1)m B.180( 2-1)m C.120( 3-1)m D.30( 3+1)m 10. 已知数列 ?an ? 共有 m 项,定义 ?an ? 的所有项和为 S (1) ,第二项及以后所有项和为 S (2) ,第 三项及以后所有项和为 S (3) , ? ,,第 n 项及以后所有项和为 S (n) ,若 S (n) 是首项为 2,公 比为

1 的等比数列的前 n 项和,则当 n ? m 时, an ? 2 1 1 1 A. ? n ? 2 B. n ? 2 C. ? n ?1 2 2 2

D.

1 2 n ?1

11.已知数列 ?an ? 为等差数列,若 最大值为 A. 11

a11 ? ?1 且它的前 n 项和有最大 值,则使 Sn ? 0 成立的 n 的 a10
C. 20 D. 21

B. 19

12.设 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数,如 [0.3] ? 0 ,[?0.4] ? ?1 ,则在坐标平面内满足方程

[ x] 2 ?[ y]2 ? 25 的点 ( x, y ) 所构成的图形的面积为
A. 12 B. 13 C. 36? D.

25?

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13. 不等式

x ?1 ? 3 的解集为 x

?2 x ? y ? 2 ? 0 y ?1 ? 14. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? 的取值范围是 x ? 1 ?x ? y ?1 ? 0 ?
15. 已知命题: “在等差数列 {an } 中,若 4a2 +a10 ? a( ) ? 24, 则 S11 为定值”为 真命题,由于印 刷问题,括号处的数模糊不 清, 可推得括号内的数为 16. 已知 f ( x) ? ax ? c ,且 ?4 ? f ?1? ? ?1, ?1 ? f ? 2? ? 5 ,则 f ? 3? 的取值范围是
2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b

sin C 的值; sin A 1 (2)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S . 4
(1)求

18. (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn

? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log 3 an ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7. (1)求 cos∠CAD 的值; 7 21 (2)若 cos∠BAD=- ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6

3

20. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的不等式 (kx ? k 2 ? 4)( x ? 4) ? 0 ,其中 k ? R . (1)当 k 变化时,试求不等式的解集 A; (2)对于不等式的解集 A,若满足 A ? Z ? B (其中 Z 为整数集) 。试探究集合 B 能否为有 限集?若能,求出使得集合 B 中元素个数最小的 k 的所有取值,并用列举法表示集合 B;若不 能,请说明理由.

21.(本小题满分12分) 某渔业公司 今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年 开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)? (2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种: ①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出; ②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出. 问哪一种方案较为合算,请说明 理由.

22. (本小题满分 10 分) 设数列 {bn } , {cn } ,已知 b1 ? 3 , c1 ? 5 , bn ?1 ? (Ⅰ)设 an ? cn ? bn ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求证:对任意 n ? N , bn ? cn 为定值;
*

cn ? 4 b ?4 * , c n ?1 ? n (n?N ) . 2 2

* (Ⅲ) 设 Sn 为数列 {cn } 的前 n 项和, 若对任意 n ? N , 都有 p ? (Sn ? 4n) ?[1 , 3] , 求实数 p

的取值范围.

4

中山市第一中学 2015—2016 学年度第一 学期 高二级 第二次段考 数学答题卷 成绩 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 请用 2B 铅笔将答案认真填涂在答题卡上。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 16. ;14. . ;15. ;

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 17. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 12 分)
5

20. (本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 12 分)

6

22. (本小题满分 10 分)

7

中山一中2015—2016学年第一学期第二次段考
8

高二(文 理)科数学参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 B 6 B 7 A 8 A 9 C 10 C 11 B 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.

1? ? ? x | x ? 0或x ? ? ; 2? ?

14. ? , 2 ? ; ?2 ?

?1

?

15. 18;

16.

??19,1?
?????2 分 ?????4 分

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 17. 解: (1)由正弦定理得

cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? cos B sin B

整理得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) 又 A? B ?C ?? ∴ sin C ? 2sin A ,即

sin C ?2 sin A

?????6 分

(2)由余弦定理可知 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ① 2ac 4
?????8 分 ?????10 分

由(1)可知 再由 b ? 2

sin C c ? 2 ,即 ? 2 ② sin A a
③, 由①②③联立求得 c ? 2, a ? 1

又 sin B ? 1 ? cos B ? 1 ?
2

1 15 ? 16 4

∴S ?

1 15 ?????12 分 ac sin B ? 2 4

18.解: (1)设等比数列的公比为 q ,由题意知 q ? 0 , ∴?

?2a1 ? 3a1q ? 1 ?(a1q ) ? 9(a1q )
2 2 3 2

解得 a1

?q?

1 3

故 an ? ( )

1 3

n

?? ?????6 分

(2) bn

1 n(n ? 1) ? log3 (a1 ? a2 ?? ? an ) ? log3 ( )1? 2??? n ? ? ??????8 分 3 2
???????10 分



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1 1 } 的前 n 项和为 bn

故数列 {

9

1 1 1 1 1 1 ?2n ???12 分 Sn ? ?2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ?( ? )] ? ?2(1 ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
19.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得 AC2+AD2-CD2 7+1-4 2 7 cos∠CAD= = = 2AC·AD 7 2 7 (2 )设∠BAC=α ,则 α =∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- , 7 14 所以 sin∠CAD= 1-cos ∠CAD= sin∠BAD= 1-cos ∠BAD=
2 2

???????4 分

21 ?2 7?2 1-? ? = 7 , 7 ? ? 1-?-

7?2 3 21 ? = 14 . 14 ? 于是 sin ? =sin (∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 3 7? = × -?- ?× = . ???????8 分 14 7 2 ? 14 ? 7

? ?

在△ABC 中,由正弦定理,得

BC AC = . sin ? sin∠CBA
=3. ???????12 分

故 BC=

AC ? sin ? = sin ?CBA

7× 21 6

3 2

20. (1)当 k 变化时,可对 k 的取值分类讨论: ①当 k ? 0 时,不等式为: ?4( x ? 4) ? 0 ,解得: x ? 4 ,即 A ? (??, 4) ????1 分 当 k ? 0 时,不等式可化为: k ( x ?

k2 ? 4 )( x ? 4) ? 0 k

k2 ? 4 k2 ? 4 )( x ? 4) ? 0 ,且 ?4, ②当 k ? 0 时,不等式为: ( x ? k k
解得:

k2 ? 4 k2 ? 4 ? x ? 4 ,即 A ? ( , 4) k k k2 ? 4 ? 4 ,不等式为: 2( x ? 4)2 ? 0 , k

???????2 分

③当 k ? 2 时,

解得: x ? 4 ,即 A ? (??, 4) ? (4, ??)

???????3 分

10

④当 k ? 0 且 k ? 2 时,

k2 ? 4 k2 ? 4 ? 4 ,不等式为: ( x ? )( x ? 4) ? 0 , k k
?????5 分

解得: x ?

k2 ? 4 k2 ? 4 , ??) 或 x ? 4 ,即 A ? (??, 4) ? ( k k

综上所述 当 k ? 0 时,不等式的解集为: A ? (??, 4) 当 k ? 0 时,不等式的解集为: A ? (

k2 ? 4 , 4) k k2 ? 4 , ??) k
?????6 分

当 k ? 0 时,不等式的解集为: A ? (??, 4) ? (

(2)由(1)可知,当 k ? 0 时, B ? A ? Z 中的元素有无限个,而当 k ? 0 时,

? k2 ? 4 ? B ? A ? Z ? ?x | ? x ? 4, x ? Z ? 中的元素为有限个,要使得元素个数最小, k ? ?
则需要

k2 ? 4 k2 ? 4 4 4 ? k ? ? ?(?k ? ) ? ?2 4 ? ?4 (k ? 0) 最大,由 k k ?k k
4 k2 ? 4 (k ? 0) 取到最大值-4 ,即 k ? ?2 时, ?k k

当且仅当 ? k ?

此时 B ? A ? Z ? ?x | ?4 ? x ? 4, x ? Z? ? ??3, ?2, ?1,0,1,2,3? ?????12 分 21. 解:(1)设捕捞 n 年后开始盈利 ,盈利为 y 元,则:

y ? 50n ? [12n ?
2

n(n ? 1) ? 4] ? 98 ? ?2n 2 ? 40n ? 98 2

???????2分
*

由 y ? 0 ,得n -20n+49<0 ∴ 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 ( n ? N ),???4分 ∴ 3 ? n ? 17 ,∴ n ? 3 . (2)①平均盈利为 当且仅当 2n ? 即捕捞3年后,开始盈利. ?????5分

y 98 98 ? ?2n ? ? 40 ? ?2 2n ? ? 40 ? 12 . n n n

98 ,即n=7时,年平均利润最大. n

∴经过7年捕捞后年平均利润最大,共盈利为12×7+26=110(万元) ???8分 2 2 ②∵y=-2n +40n-98=-2(n-10) +102. ∴当n=10时,y的最大值为102;

11

即经过10年捕捞盈利额最大,共盈利102+8=110万元. 故两种方案获利相等,但方案②的时间长,所以方案①合算. 22.解: (Ⅰ)依题意 cn ?1 ? bn ?1 ?

???11分 ???12分

1 1 1 (bn ? cn ) ? ? (cn ? bn ) ,即 an ?1 ? ? an , 2 2 2 1 又 a1 ? c1 ? b1 ? 2 ? 0 , 故数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 ? 的等比数列, 2
所以 an ? 2 ? ? ?

1 b ? cn 1 (bn ? cn ) ? 4 ,所以 bn ?1 ? cn ?1 ? 8 ? n ? 4 ? (bn ? cn ? 8) , 2 2 2 * 而 b1 ? c1 ? 8 ? 0 , 由 上 述 递 推 关 系 可 得 , 当 n ? N 时 , bn ? cn ? 8 ? 0 恒 成 立 , 即
(Ⅱ)解: bn ?1 ? cn ?1 ?

? 1? ? ? 2?

n ?1

??2 分

an ? bn ? 8
?bn ? cn ? 8 , n ?1 ? ? 1? n ?1 (Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)知 ? ,所以 cn ? 4 ? ? ? ? , ? 1? c ? b ? 2 ? ? ? ? ? 2? ? n n ? 2? ?

???4 分

? 1? 1? ?? ? n ? 2 ? ? 4n ? 2 ?1 ? ? ? 1 ? ? , 所以 S n ? 4n ? ? ? ? ? 3? ? 1? ? ? 2? ? ? 1? ?? ? ? 2? n 2p ? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , 所以 p ? ( S n ? 4n) ? 3 ? ? ? 2? ? ?
由 p ? (Sn ? 4n) ?[1 , 3] ,得 1 ? 所以
n n 2p ? ? 1? ? ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 3 ,因为 1 ? ? ? ? ? 0 , 3 ? ? 2? ? ? 2? ? ?

n

???5 分

1 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n

? 1? 1? ?? ? ? 2? 1 1 1 当 n 为奇数时, 随 n 的增大而增大,且 0 ? ? ? 1, n n n ? 1? ?1? ? 1? 1? ?? ? 1? ? ? 1? ?? ? ? 2? ?2? ? 2? 1 1 1 当 n 为偶数时, 随 n 的增大而减小,且 ? ? 1, n n n ? 1? ?1? ? 1? 1? ?? ? 1? ? ? 1? ?? ? ? 2? ?2? ? 2? 4 1 3 所以 的最大值为 , 的最小值为 2 . ????9 分 n n 3 ? 1? ? 1? 1? ?? ? 1? ?? ? ? 2? ? 2?

?

2p ? 3

3
n



?????7 分

12



1
n

? 1? ? 1? 1? ?? ? 1? ?? ? ? 2? ? 2? 实数 p 的取值范围是 [2 , 3]

?

2p ? 3

3
n

,得

4 2p ? ? 2 ,得 2 ? p ? 3 . 3 3
??10 分

13


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