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对数函数及其性质课件1ppt


对数函数的图像及性质

耒阳二中

叶丽华

复习:

一般地,函数 y = ax ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函 数,其中x是自变量.

a > 1
y y=ax

0 < a < 1
y=ax

/>y=1


y=1
(0,1)

y
(0,1)

象 性 质

0

x

0

x

定义域: R 值 域 : (0 , +∞) 过 点 ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

? 学习指数函数时,对其性质研究了哪些内容,采 取怎样的方法?
主要研究了指数函数的定义域、值域、特殊点、单调 性、最大(小)值、奇偶性。画出函数的图象,结合图象 研究函数的性质。

?对数的定义及其对底数的限制
一般地,a?a ? 0, a ? 1?的b次幂等于N,就是a b ? N , 那么数b叫做 以a为底N的对数。记作: loga N ? b,a叫做对数的底数, N叫做真数。 底数a ? 0, a ? 1

引例1
某种细胞分裂时,1个分裂成2个,2个分裂成4 个,……,那么分裂x次,得到的细胞的个数 y与x的函数关系式是: x

y=2

如果知道了细胞的个数y,如何确定分裂的次数x呢? 由对数与指数的互化可知:

x=log2y

引例2
某种放射性物质不断变化为其他物质,且每经过一年, 这种物质剩余的质量是原来的84%.写出这种物质的剩

余量y与年数x 的函数关系式.(设初始质量为1)

y ? 0.84

x

已知经过的年数 x ,就能求出该物质的剩余量 y . 已知该物质的剩余量 y ,如何求经过的时间 x 呢?

x ? log0.84 y

问 题:

x=log2y

x ? log0.84 y
y

即对于一般的指数函数y ? a x (a ? 0且a ? 1)
中的两个变量,能否把x ? loga 变量,使得 x 是 y 的函数 ? 中y 当作自

y
y1 y2

y=a (a?1)

x

y
y1 y2 y3

y=a (0<a<1)

x

y3

0

x3

x2

x1

x

x1 x2

x30

x

在y=a 中,数集R与 数集{y|y>0}之间 是一一对应的关系。

x

y ? ax

x ? loga y

把y=a 化为对数式 x ? loga y ,在 x ? loga y 这个
关系,对于任意的 y ? ( 0, ? ?) 都有唯一确定的 x

x

值与之对应,若把 y 当作自变量,则 x 就是 y 的函
数.把函数

x ? loga y 叫对数函数(a ? 0且a ? 1, y ? 0, x ? R)

而习惯上自变量用x表示,y表示函数,所以 这个函数就写成 y ? loga x(a ? 0且a ? 1)

新课讲解
(一) 对数函数的概念

y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的函数叫 一般地,形如________________________ 做对数函数,
x 是自变量,函数的定义域为___________ (0,+∞) 其中_____

注意:1 .对数函数的定义与指数函数类似,都是
形式定义,注意辨别.如: x y ? log 5 y ? log2 ( x ? 2) 5 2 .对数函数对底数的限制: (a ? 0 且 a ? 1)

(二) 对数函数的图象和性质 问题: 你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研 究对数函数性质的方法和内容吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性.

画函数图像的步骤是: 列表

描点

连线

y

y=log2x
x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

o

x

y

y=log1/2x
x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … y … 3 2 1 0 -1 -2 -3 …

o

x

画出函数
y

y ? log 2 x与 y ? log 1 x的图像.
2

y ? log2 x

o

x

y ? log1 x
2

画出函数

y ? log 2 x与 y ? log 1 x的图像.
2

问:(1)这两个函数的图像有什么关系?
(2)可否利用y ? log 2 x 的图象画出 y 的图象?
y

? log 1 x
2

y ? log2 x
o x

y ? log1 x
2

(1)在同一坐标系中画出:

y ? log 2 x、y ? log 1 x、y ? log 3 x、y ? log 1 x
的图象. (2)你能否猜测 y ? log 4 哪个图象相似.
y
1
0 1
2 3

x 与 y ? log 1 x分别与
4

y ? log 2 x y ? log 3 x x y ? log 1 x
y ? log 3 1 x
2

y=logax(a>1)的图象

y=logax(0<a<1)的图象

一般地,对数函数y=logax在a>1及0<a<1这两种情 况下的图象和性质如下表所示: a >1 0<a<1

图 象
当0<x<1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0

当x=1时,y=0
当x>1时,y<0

当x>1时,y>0

性 ⑵值域:R ⑶过特殊点: 过点(1,0),即x=1时y=0 质 ⑷单调性 : ⑷单调性:在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数

⑴定义域: (0,+∞)

对称性

1 函数 y=logax 与 y=log x 的图 a x轴 对称 象关于_____

对数函数的概念 下列函数中,哪些是对数函数. (1)y=log3(x+1); (2)y=5log2x; (3)y=log3x-1; (4)y=logxa(x>0 且 x≠1);(5)y=lg x;(6)y=ln x2.

[解题过程] (5)是对数函数; (1)中真数不是自变量x,∴不是对数函数; (2)中log2x前的系数是5,而不是1,∴不是对数 函数; (3)中对数式后减1,∴不是对数函数; (4)中底数是自变量x,而非常数a,∴不是对数 函数; (6)中真数是x2,不是自变量x,∴不是对数函 数.

[题后感悟] 一个函数为对数函数的条件是: ①系数为1; ②底数为大于0且不等于1的常数; ③真数为单个自变量x.

1.下列函数中,哪些是对数函数? ①y=logax2(a>0,且 a≠1);②y=log2x-1; ③y=2log8x;④y=log5 x.
解析: ④为对数函数. ①中真数不是自变量x,不是对数函数; ②中对数式后减1,∴不是对数函数; ③中log8x前的系数是2,而不是1,∴不是对数 函数.

与对数函数有关的定义域问题 求下列函数的定义域. (1)y=log(x-1)(3-x);(2)y= log2?x+1?-1; 3x2 (3)y=lg(x+1)+ . 1-x

[解题过程] 义,

(1)要使函数 y=log(x-1)(3-x)有意

?3-x>0 ? 只须使?x-1>0 ? ?x-1≠1

∴1<x<2 或 2<x<3. ∴ 函 数 y = log(x - 1)(3 - x) 的 定 义 域 为 (1,2) ∪ (2,3) .

(2)要使函数 y= log2?x+1?-1有意义, ?x+1>0 ?x>-1 只须使? ,∴? ?log2?x+1?-1≥0 ?x+1≥2 ∴x≥1. ∴函数 y= log2?x+1?-1的定义域为[1, +∞). (3)要使函数有意义, ?x+1>0 ?x>-1 需? ,即? . ?x<1 ?1-x>0 ∴-1<x<1,∴函数的定义域为(-1,1).

[题后感悟] 定义域是研究函数的基础,若已 知函数解析式求定义域,常规为分母不能为零, 0的零次幂与负指数次幂无意义,偶次方根被 开方式(数)非负,求与对数函数有关的函数定 义域时,除遵循前面求函数定义域的方法外, 还要对这种函数自身有如下要求:一是要特别 注意真数大于零;二是要注意底数;三是按底 数的取值应用单调性.

题型三: 比较下列各组数中两个值的大小:
⑴ log 23.4 , log 28.5
⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 解:⑴考察对数函数 y = log 2x,因为 它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增 函数,于是log 23.4<log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x, 因为它的底数为0.3,即0<0.3<1,所以 它在(0,+∞)上是减函数,于是 log 0.31.8>log 0.32.7
log28.5 log23.4 0 y

y=log2x
3.4 8.5 x

y 0 log0.31.8 log0.32.7

1.8 2.7 x

y=log0.3x

⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 )

解:
当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数, y 于是 loga5.9 loga5.1 log a5.1<log a5.9
0 y=logax (a>1)

5.1 5.9

x

当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞) 上是减函数,于是 log a5.1>log a5.9

y

0 loga5.1 loga5.9

5.1 5.9
x y=logax (0<a<1)

注: 例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小 的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底 数进行讨论来比较两个对数的大小.

练习: 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log106 < log108 ⑵ log0.56 < log0.54 ⑶ log0.10.5 > log0.10.6
log108 log106 0 y 0 log0.54 log0.56

y

y=log10x

6 10

x

4 6x
y y=log0.5x

log0.10.5 log0.10.6 0 0.5 0.6 log1.51.6 log1.51.4 0 y

x
y=log0.1x y=log1.5x

⑷ log1.51.6 > log1.51.4

1.4 1.6 x

讨论

y

1.如图 :曲线C1 , C2 , C3 , C4 分别为函数 o y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,的 图像,试问a,b ,c, d的大小关系如何?

c1 c2 x
1 c4

c3

2.如何比较log2a与log3a的大小?

归纳小结,强化思想
1.本节课学会了什么知识: 对数函数的概念, 并通过对数函数的图象分析得出了对数函数 的性质,能求解对数型函数定义域及比较对数值大小。 2.总结本节课主要学习内容: (1)对数函数的概念 (2)对数函数的图象与性质 (3)对数函数性质的简单应用:求解对数型函数定义域和比较对 数值大小

作业布置

课本104页练习A第2、3题 练习B第1、2题

点滴积累 丰富人生
作业:
谢谢大家!

再见!
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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新疆奎屯
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王新敞
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