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2012高一数学 1.3.1 单调性与最大课件 新小值 第二课时课件 新人教A版必修1


§1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值

第二课时

函数的最大值、最小值

学习目标
1.理解函数的最大(小)值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的最大值和最小值.

课前自主学案 第二课时 课堂互动讲练

知能优化训练


课前自主学案

温故夯基 1.函数y=f(x)的增减定义为:在定义域内的
x1<x2 ,有_________ f(x1)<f(x2) ,f(x) 某个区间上,任意_____ 增函数 ;任意x1<x2,有f(x1)>f(x2),f(x)为 为_______ 减函数.

2.若函数y=f(x)在[a,b]上为增函数,则 [∈ f(a ),f(b)] f(x)的取值范围为f(x) __________ .

3.从函数f(x)=x2的图象上可看出当x=0时, 最小值 y=0是所有函数值中的______ .而对于f(x) =-x2来说,x=0时,y=0是所有函数值中 最大值 的______ .

知新益能 1.函数最大值与最小值

(1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如 任意的x∈I,都 果存在实数M满足:①对于______ f(x)≤ M ; 有________ x0∈I ,使得________. f(x0)=M ②存在______
M是函数y=f(x)的最大值. 那么,我们称__

(2)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如 任意的 x∈I, 果存在实数M满足:①对于_______ f(x)≥M; 都有_______

x0∈I ,使得_________. f(x0)=M ②存在_______ M是函数y=f(x)的最小值. 那么,我们称__
2.函数的最值与图象的关系 函数的最大(小)值反映在图象上,是函数图 最高(低)点 的纵坐标. 象__________

问题探究
函数y=f(x)在区间[m,n]上单调,其最值是 多少? 提示:若f(x)单调递增,最大值为f(n),最小 值为f(m);若f(x)单调递减,最大值为f(m), 最小值为f(n).

课堂互动讲练

利用图象求函数最值 考点突破 先作出函数图象,寻找闭区间上的图象的最 高点或最低点.
例1 已知函数f(x)=3x2-12x+5,当自变

量x在下列范围内取值时,求函数的最大值 和最小值: (1)x∈R;(2)[0,3];(3)[-1,1].

【思路点拨】 作出y=3x2-12x+5(x∈R) 的图象再分别截取x∈[0,3],x∈[-1,1]上的 图象,看图象的最高点,最低点的纵坐标.

【解】 f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7. (1)当x∈R时,

f(x)=3(x-2)2-7≥-7,
当x=2时,等号成立.

即函数f(x)的最小值为-7,无最大值.

(2)函数f(x)的图象如图所示,由图可知,函 数f(x)在[0,2)上递减,在[2,3]上递增,并且 f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4,所以在[0,3] 上,函数f(x)在x=0时取得最大值,最大值 为5,在x=2时,取得最小值,最小值为- 7. (3)由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递减,

f(x)max=f(-1)=20,f(x)min=f(1)=-4.
【名师点拨】 要根据定义域截取图象.

利用函数单调性求函 数最值 先判断或证明出函数的单调性,再结合区间 端点对应的函数值大小得出最值.
例2

4 求函数 f(x)=x+x在 x∈[1,3]上的

最大值与最小值.

【思路点拨】 定义法判断函数单调性 → 求最小值 → 求最大值

【解】 设 1≤x1<x2≤3, 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1-x2+ - x1 x2 4 =(x1-x2)(1- ). x1x2 又∵x1<x2,∴x1-x2<0. 4 当 1≤x1<x2≤2 时, 1- <0, f(x1)-f(x2)>0, x1x2 ∴f(x)在[1,2]上是减函数;

4 当 2≤x1<x2≤3 时,1- >0,f(x1)- x1x2 f(x2)<0, ∴f(x)在[2,3]上是增函数. 4 ∴f(x)的最小值为 f(2)=2+ =4. 2 4 13 又∵f(1)=5,f(3)=3+ = <f(1), 3 3 ∴f(x)的最大值为 5.

【名师点拨】 对于定义域内的函数的单调 性,要正确分开其单调区间再比较各区间端 点的函数值.

互动探究1 如果本例中的x∈[1,3]改为 x∈(1,3),此函数的最值怎样?

解:由例题解答可得出 x∈(1,2]时是减 函数,f(x)≥f(2); x∈[2,3)时是增函数,f(x)≥f(2), ∴x∈(1,3)时,函数只有最小值 f(2)=2 4 + =4,无最大值. 2

函数最值的实际应用 根据实际问题,建立函数关系,然后求函数 的最值转化为实际问题的最值.
例3 某公司生产一种电子仪器的固定总成

本是2万元,每生产一台需另投入100元,已 知总收益满足

? 1 2 ?400x- x ?0≤x≤400? 2 k(x)=? ? ?x>400? ?80000

,其中 x

是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量 x 的函数 f(x); (2) 当月产量为何值时,公司所获利润最 大?
【思路点拨】 利润=总收益数k(x)-生产 投入-固定成本.

【解】 (1)由题意知 f(x)=k(x)-100x-20000= ? 1 2 ?300x- x -20000 ?0≤x≤400? 2 ? . ? ?x>400? ?60000-100x 1 (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300)2 2 +25000, 即当 x=300 时, f(x)有最大值 25000,当 x>400 时,f(x)<20000.综上 可知,当月产量为 300 台时,公司获得 最大利润 25000 元.

【名师点拨】 分段函数求最大值,要分段 求其最值,取其最大值.

自我挑战2 将进货单价为40元的商品按50 元一个出售时,能卖出500个,已知这种商 品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得 到最大利润,售价应为多少元?最大利润是 多少?

解:设售价为x元,利润为y元,单个涨价(x -50)元,销量减少10(x-50)个. ∴y=(x-40)(1000-10x) =-10(x-70)2+9000≤9000. 故当x=70时,ymax=9000. 所以售价为70元时,利润最大为9000元.

方法感悟
方法技巧 1.求二次函数的最值时,应判断它的开口 方向及对称轴与区间的关系.若含有字母, 要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论, 解题时要注意数形结合.(如例1) 2.分段函数的最大值为各段上最大值的最 大者,最小值为各段上最小值的最小者,故 求分段函数的最大或最小值,应先求各段上 的最值,再比较即得函数的最大、最小 值.(如例3)

失误防范

1.利用图象求函数最值时,要注意定义域 所对应的图象.(如例1) 2.作为函数的最值,一定能使函数等于这 个值.


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