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高中数学必修五:2.4《等比数列(2)》ppt课件


成才之路 · 数学 人教A版 · 必修5 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 数 列 第二章 2.4 第2课时 等比数列 等比数列的性质 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 1915 年 , 波 兰 数 学 家 谢 尔 宾 斯 基 (W.Sierpinski) 创 造 了一 个 美 妙的 “ 艺 术 品”,被人

们称为谢尔宾斯基三角形,如 图所示.如果我们来看一看图中那些白色 三角形的个数,并把它们按面积大小,从 小到大依次排列起来,可以得到一列数:1,3,9,27,81,??我们 知道,这些数构成等比数列,那么等比数列具有哪些独特的性 质呢? an+1 1.已知{an}为等比数列,则对于任意正整数 n,都有 a = n ________. [ 答案] an 2. 已知{an}为等比数列, 则对于任意正整数 n、 m 都有a = m ________. [ 答案] qn-m q 1.等比数列主要有以下性质: (1)若{an}是公比为 q 的等比数列,c 为非零常数,则数列 {can}仍是等比数列,且公比不变仍为 q. 1 1 (2)若{an}是公比为 q 的等比数列,则数列{a }是公比为q的 n 等比数列,数列{|an|}是公比为|q|的等比数列. (3)若数列{an},{bn}是公比分别为 q,q′的等比数列,则 数列{an· bn}是公比为 qq′的等比数列. (4)若{an}是等比数列, 且 m+n=p+q(m, n, p, q∈N*). 则 am· an=ap· aq,特别地,当 m+n=2p 时,am· an=a2 p; 若{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项积相等, 且等于首末两项之积,即 a1an=a2an-1=?. (5)若{an}为等比数列, 公比为 q, 则 an=amqn m(m, n∈N*). - (6)若{an}是等比数列,每隔 k(k∈N*)项取出一项,按原来 的顺序排列,所得数列仍是等比数列,且公比为 qk 1. + (7)在等比数列{an}中,连续取相邻 k(k∈N*)项的和(或积) 构成公比为 qk(或 qk2)的等比数列. (8){an}是等差数列,c 是正数,则数列{can}是等比数列. (9){an}是等比数列,且 an>0,则{logaan}(a>0,a≠1)是等 差数列. (1)等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则 a5=________; (2)已知{an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25, 那么 a3+a5=( A.5 C.15 [ 答案] (1)4 (2)A ) B.10 D.20 [ 解析] (1)由等比数列的性质,得 a2 5=a3a7=16, ∵a3>0,a7>0,∴a5>0,∴a5=4. 2 (2)由等比数列的性质,得 a4a6=a2 , a a = a 5 2 4 3, 2 ∴(a3+a5)2=a2 + 2 a a + a 3 3 5 5, =a2a4+2a3a5+a4a6=25, ∴a3+a5=± 5. ∵an>0,∴a3+a5=5. 2.等比数列的单调性 (1)当 a1>0,q>1 或 a1<0,0<q<1 时,等比数列{an}为递增数 列; (2)当 a1>0,0<q<1 或 a1<0,q>1 时,等比数列{an}为递减数 列; (3)当 q=1 时,数列{an}是常数列; (4)当 q<0 时,数列{an}是摆动数列.

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