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一道2015年四川竞赛题解法的探究


一道 2015 年四川竞赛题解法的探究
■ 罗文军
各省的竞赛题凝结了命题专家的心血和智慧, 如果对部分 赛题进行认真审视, 精彩解法就会雨后春笋般涌现出来, 笔者 对 2015 四川联合竞赛初赛第 4 题进行了探究, 得到七种解法, 现 以飨读者. 介绍如下, 一、 题目 ( 2015 年全国高中数学联合竞赛四川初赛第 4 题) 记函数 M f ( x) =

槡 2 -x + 槡 3 x + 12 的最大值为 M, 最小值为 m, 则 m 的值为( ) ( B) 槡 2 ( C) 槡 3 ( D) 2 2槡 6 = 2. 6 槡 点评: 利用不等式解最值问题, 通常设法在不等式一边得 2 -x 到一个常数, 并寻找不等式取等号的条件, 函数 f ( x) = 槡 3 x + 12 的解析式是两部分的和, + 槡 先化为 ac + bd 的形式, 再 利用柯西不等式求其最大值 . 2 -x+ 槡 3 x + 12 的定义域为 解法 3 : 因为函数 f ( x) = 槡 [- 4 , 2] , 所以 0 ≤ x + 4 ≤ 6 , 则0 ≤ 记 x +4 ≤ 1, 6

6 ( A) 槡 2 二、 解法

x +4 π 2 = sin2 θ, 0, ] , θ ∈[ 所以 x = 6sin θ - 4 , 所以 6 2

2 -x + 槡 3x + 12 的定义域为 [- 4 , 2] , 解法 1: 函数 f ( x) = 槡 1 3 + f ' ( x) = - , 2 槡 2 -x 2 槡 3 x + 12 令 f ' ( x) = 0 , 解方程 - 1 3 + = 0得x = 2 槡 2 -x 2 槡 3 x + 12

f ( θ) = 槡 6 - 6sin2 θ + 槡 3 × 槡 6sin2 θ = 3 槡 2sinθ + 槡 6cosθ = 2 π 6sin( θ + ), 槡 6 π π π 2π 0, ] , , 因为 θ ∈ [ θ+ ∈[ , ] 2 6 6 3 当θ+ π π π π = f ( θ) 取最大值 2 槡 6, = 时, 当θ + 时, 6 2 6 6

1 1 , f( ) = 2槡 6, f ( - 4) = 槡 6, f ( 2) = 3 槡 2, 2 2 M 6, 6, = 所以函数 f ( x) 的最大值 M = 2 槡 最小值 m = 槡 m 2槡 6 = 2. 6 槡 2]上的极值, 点评: 先利用导数求出 f ( x) 在闭区间[- 4 , 再与端点处的函数值比较得出最大值和最小值 . 2 -x+ 槡 3 x + 12 的定义域为[- 4 , 解法 2 : 函数 f ( x) = 槡 2] , 且 f ( x) > 0 , 由柯 西 不 等 式 f ( x) 1 槡
2

f ( θ) 取最小值槡 6, M 6, 6, = 所以函数 f ( x) 的最大值 M = 2 槡 最小值 m = 槡 m 2槡 6 = 2. 6 槡 点评: 三 角 变 化 是 解 决 根 式 问 题 的 常 用 方 法,对 形 如 ax + b 的根式, 先求出 0 ≤ ax + b ≤ m, 然后三角换元, 令 槡 ax + b π = sin2 θ, 0, ] , θ ∈[ 再利用辅助角公式解决问题 . m 2 2 -x+ 槡 3 x + 12 的定义域为 解法 4 : 因为函数 f ( x) = 槡

=
2

2 -x + 槡 3 × 槡 x +4 ≤ 槡
2

[- 4 , 2] , 3) , 2 - x, x + 4) , 所以构造平面向量 α = ( 1 , β = ( 槡 槡 槡 | β| = 槡 6, 则 | α | = 2, 2 -x +槡 3· 槡 x + 4, 所以 α·β = 槡 〈α, 因为 α·β = | α | | β | cos β 〉≤| α | | β | , 当且仅当 α 2 - x +槡 3× 槡 x + 4 ≤2槡 6 ,当且仅 与 β 同向时取等号, 所以 槡

+ (槡 3)

2

×

( 槡

2 - x) 槡

+( 槡 x + 4)

= 槡 4 × 6 = 2槡 6,

1 x +4 =槡 3× 槡 2 - x 时, 当且仅当 槡 等号成立, 即x = 时 2 6, 6, f ( 2) = 3 又因为 f ( - 4 ) = 槡 函数 f ( x) 取最大值 M = 2 槡 2, 槡 M 6, 6, = 所以函数 f ( x) 的最大值 M = 2 槡 最小值 m = 槡 m



1 2 -x 1 = 槡 > 0, f ( x) 取最大值 M = 2 槡 6 ,又 即x = 时, x + 4 2 3 槡

·19·

6, f ( 2) = 3 槡 2, 因为 f ( - 4 ) = 槡 M 2 6 6, = 槡 = 2. 所以函数 f ( x) 最小值 m = 槡 m 6 槡 点评: 向量是高中数学的主干知识, 本题构造向量, 利用向 量数量积的性质 α·β ≤| α | | β | 解题. 2 -x+ 槡 3 x + 12 的定义域为 解法 5 : 因为函数 f ( x) = 槡 [- 4 , 2] , 3 × 槡 x +4 + 槡 2 -x 所以 f ( x) = 槡 3× 槡 2 -x- 槡 x + 4, 2]上单调递 记u =槡 因为 u 在[- 4 ,
2 2 2 6 ≤ u≤3槡 2, 3× 则 -槡 故 0 ≤ u ≤ 18 ,又 f ( x) + u = ( 槡 减,

点评: 该解法关键在于构造出
2 用样本方差性质 S =

1 n

n

∑( x )
i i =1

2

的值为常数, 利

1 n

n

∑( x )
i i =1

2

-(n ) ≥ 0 求解. 珔

2 -x + 槡 3 x + 12 的定义域为 解法 7 : 因为函数 y = 槡 [- 4 , 2] , 3 x + 12 2 - x, b = 槡 , 令a = 槡 则 y = a + 3 b, 3 构造随机变量 ξ 的概率分布列: P( ξ = a) = 所以 Eξ = Eξ2 = 1 3 , P( ξ = b) = , 4 4

x +4 + 槡 2 - x) 2 + ( 槡 3 × 槡 2 -x - 槡 x + 4) 2 , 槡 2 2 2 2 所以 f ( x) + u = 24 , 所以 f ( x) = 24 - u ,
2 2 6≤ 因为 6 ≤ 24 - u ≤ 24 , 所以 6 ≤ f ( x) ≤ 24 , 所以槡

1 3 y a+ b = , 4 4 4

a2 + 3 b 2 1 2 3 2 6 a + b = = , 4 4 4 4 6 y 2 y2 2 -( ) ≥ 0, 即 ≤ 6, 即 y ≤ 24 , 4 4 4 1 f ( x) 有最大值 M = 2 槡 6, 时, 2

f ( x) ≤ 2 槡 6, M 6, 6, = 所以函数 f ( x) 的最大值 M = 2 槡 最小值 m = 槡 m 2槡 6 = 2. 6 槡 x+a ±n 槡 b - x 的函数求值域问题, 点评: 对于形如 m 槡 b - x?m 槡 x + a 作为它的对偶式, 我们可以通过构造 n 槡 巧解 . 该问题 2 -x + 槡 3 x + 12 的 定 义 域 为 解法 6 : 因 为 函 数 y = 槡 3 x + 12 [- 4 , 2] ,令 a = 槡 2 - x, b = 槡 , 则 y = a + 3 b, 3 已知一个 a 和 3 个 b 的平均数为 n 珔= -( y ) 4
2

2 2 因为 Dξ = Eξ - ( Eξ) ≥ 0 ,

故 Dξ =

当且仅当 a = b 时, 即x =

6, f ( 2) = 3 槡 2, 又因为 f ( - 4 ) = 槡 M 2 6 6, = 槡 = 2. 所以函数 f ( x) 的最小值 m = 槡 m 6 槡 点评: 该解法关键在于巧妙利用离散型随机变量的性质 , 令人耳目一新. 三、 评析 赛题也是高考试题的源头之一, 以上运用一题多解, 沟通
2

y a + 3b 2 , 方差 S = 4 4

2

了导数、 不等式、 向量、 三角与方差等知识的联系, 在平时的教 学中, 我们要适当选取好的赛题运用一题多解, 拓宽学生的视 提高学生的综合思维能力, 只有这样才能达到解一题 、 通一 野, 片, 会一类的教学效果. [ 甘肃省秦安县第二中学 ( 741600) ]

=

6 y 2 y2 -( ) ≥ 0, y≤2槡 6, 所以 ≤ 6 , 当且仅当 a 4 4 4

= b =

y 1 , 6, 即x = 时, 函数 f ( x) 有最大值 M = 2 槡 又因为 4 2

f ( - 4) = 槡 6, f ( 2) = 3 槡 2. M 2 6 6, = 槡 = 2. 所以函数 f ( x) 的最小值 m = 槡 m 6 槡

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