nbhkdz.com冰点文库

2013年高三数学厦门市3月质检理科试卷[1]


厦门市 2013 届高三质量检查 数学(理科)试卷
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. (选择题 共 50 分) 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小

题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x x ? 3 , B ? ? x x ? 2 ? 0? ,则 A ? CU B 等于( A. ( ?? , 3] 2. 双曲线 B. ( ?? , 3) ) C. [2, 3) D. ( ?3, 2]

第Ⅰ卷

?

?



x2 4

? y 2 ? 1 的渐近线方程为(
B. y ? ?4 x

A. y ? ?2 x

C. y ? ?

1 2

x

D. y ? ?

1 4

x

3. 某雷达测速区规定:凡车速大于或等于 80 km/h 的汽车视为“超速”,并将受到处 罚. 如图是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直 方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( A.20 辆 B.40 辆 C.60 辆 ) ) D.80 辆

a b 4. “ e ? e ”是 log 2 a ? log 2 b ”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5.函数 f ( x ) ? x ? sin x ( x ? R ) ( A.是偶函数且为减函数 C.是奇函数且为减函数

B. 是偶函数且为增函数 D. 是奇函数且为增函数

? y ? x, ? 2 6. 若不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域为 M ,不等式 y ? x 表示的平面区域为 N , ?x ? 1 ?
现随机向区域 M 内投掷一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为( A. )

开始

i=0
输入正整数n n为奇数?


1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束, 2 假定甲每局比赛获胜的概率均为 ,则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为( ) 3 A. 8 27 B. 64 81 C. 4 9 D. 8 9 )




n = 3n+1 i=i+1 n = 1?


n = n/2

8. 在右侧程序框图中,输入 n ? 5 ,按程序运行后输出的结果是( A.3 B.4 C.5 D.6

输出i 结束

9.若函数 f ( x ) ? x ? 3 x 在 ( a , 6 ? a ) 上有最小值,则实数 a 的取值范围是(
3 2



A. ( ? 5,1)

B. [ ? 5,1)
?

C. ? ?2,1?

D. ( ?2,1)

10. ?ABC 中, BC ? 2, A ? 45 , B 为锐角,点 O 是 ?ABC 外接圆的圆心,则 OA ? BC 的取值范围是( A. ( ? 2, 2 2 ] B. ( ? 2 2, 2] C. [ ?2 2, 2 2] D. ( ?2, 2)

??? ??? ? ?



第Ⅱ卷
2

(非选择题 共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。 11.若 ( a ? i ) 为纯虚数( i 为虚数单位) ,则实数 a = 12.已知 sin( .

π

3 ? x) ? , 则 cos 2x = 2 5

.

13.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,俯视图 是半圆。现有一只蚂蚁从点 A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 .. A 点,则蚂蚁所经过路程的最小值为________. 14.在含有 3 件次品的 10 件产品中,取出 n ( n ? 10, n ? N ) 件产品,
*

2 正视图 A 侧视图 B

记 ? n 表示取出的次品数,算得如下一组期望值 E ? n : 当 n=1 时, E?1 ? 0 ? 当 n=2 时, E? 2 ? 0 ? 当 n=3 时, E? 3 ? 0 ?
1 C30 C 7 1 C10

俯视图

? 1? ? 1? ? 1?

1 0 C3C 7 1 C10 1 1 C3 C 7

?

3 10

;
0 C32 C 7

C30 C 72 C C
2 10 3 C30 C 7 3 10

C C

2 10

? 2? ? 2?

C C

2 10

?

6 10

;
3 0 C3 C 7

1 C3 C 72 3 10

1 C32 C 7 3 10

? 3?

C

3 10

?

9 10

;

…… * 观察以上结果,可以推测:若在含有 M 件次品的 N 件产品中,取出 n ( n ? N , n ? N ) 件产品,记 ξ n 表示取 出的次品数,则 Eξ n = 15.某同学在研究函数 f ( x ) ? .

x2 ? 1 ?

x 2 ? 6 x ? 10 的性质时,受到两点间距离公式的启发,将 f ( x ) 变形为

f ( x) ?

( x ? 0 ) 2 ? ( 0 ? 1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( 0 ? 1) 2 ,则 f ( x ) 表示 | PA | ? | PB | (如图) ,下列关于函数 f ( x ) 的
. (填上所有正确结论的序号) ② f ( x ) 的图象是轴对称图形; ④方程 f [ f ( x )] ? 1 ? 10 有两个解.
O P B(3,-1) x y A(0,1)

描述正确的是

① f ( x ) 的图象是中心对称图形; ③函数 f ( x ) 的值域为 [ 13, ?? ) ;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)
y P

已知函数 f ( x ) ?

3 2

sin ? x ?

3 2

cos ? x ( ? ? 0 )的周期为 4。

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式 ; (Ⅱ)将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移
2 3

O

x

个单位得到函数 g ( x ) 的图象,
Q

,求 ?OQP 的大小。 P 、 Q 分别为函数 g ( x ) 图象的最高点和最低点(如图)

P

17. (本小题满分 13 分) 如图,PA,QC 都与正方形 ABCD 所在平面垂直,AB=PA=2QC=2,AC∩BD=O (Ⅰ)求证:OP⊥平面 QBD; (Ⅱ)求二面角 P-BQ-D 平面角的余弦值; PE (Ⅲ)过点 C 与平面 PBQ 平行的平面交 PD 于点 E,求 的值. ED

Q A O B C D

18. (本小题满分 13 分) 某城市 2002 年有人口 200 万,该年医疗费用投入 10 亿元。此后该城市每年新增人口 10 万,医疗费用投入每年 新增 x 亿元。已知 2012 年该城市医疗费用人均投入 1000 元。 (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)预计该城市从 2013 年起,每年人口增长率为 10%。为加大医疗改革力度,要求将来 10 年医疗费用总投 .. 入达到 690 亿元,若医疗费用人均投入每年新增 y 元,求 y 的值。 . (参考数据: 1.1 ? 2.85 )
11

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,函数 g ( x ) ? f ( x ) ? (Ⅰ)求实数 a 的值;

1 2

x 2 ? bx .

(Ⅱ)若函数 g ( x ) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x ) 的两个极值点,若 b ? 20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

7 2

,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最大值.

x2 2

? y2 ? 1 .
2 2 2

(Ⅰ)我们知道圆具有性质:若 E 为圆 O: x ? y ? r ( r ? 0) 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的斜率 k AB 与直线 OE 的斜率 k OE 的乘积 k AB ? kOE 为定值。类比圆的这个性质,写出椭圆 C1 的类似性质,并加以证明; (Ⅱ)如图(1) ,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l , l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C,D 两点,求三角形 OCD 面积的最小值; (Ⅲ)如图(2) ,过椭圆 C 2 :

x2 8

?

y2 2

? 1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM 和 PN,切点分别为 M,N.当点 P

在椭圆 C 2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
y
D B

y P M N
O

O

C

x

x

图(1)

图(2)

21.本题设有(1) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所做的前两题 (2) 计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

?1 1? ? ? , B ? ?1 2 ? . 已知矩阵 A ? ? ? ?2 3? ?2 3 ? ? ? (Ⅰ)求矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 ; ?1 (Ⅱ)求直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 A B 对应的线性变换作用下所得曲线的方程.
(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程是 ? (Ⅰ)将 C 1 的方程化为普通方程; (Ⅱ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线 C 2 的极坐标方程是 θ ? 求曲线 C 1 与 C 2 交点的极坐标. ... (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知正数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? 6 .
2 2 2

? x ? 2 ? 2 cos θ , ? y ? 2 sin θ

( ? 为参数).

π 3

( ρ ? R) ,

(Ⅰ)求 x ? 2 y ? z 的最大值; (Ⅱ)若不等式 a ? 1 ? 2 a ? x ? 2 y ? z 对满足条件的 x , y , z 恒成立,求实数 a 的取值范围.

厦门市 2013 届高三质量检查 数学(理科)评分标准
一.选择题;

BCABD

BACCA
0

? R ? 2 ,如图建系, sin A ??? ??? ? ? B ( ?1, 0), C (1, 0) O (0,1) ,求得圆 O: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ,设 A( x, y ) ,则 OA ? BC ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? A 分析 2: OA ? BC ?| OA | ? | BC | cos ? OA, BC ?? 2 2 cos ? OA, BC ? … ??? ??? ? ? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 1 ???? ??? ???? ??? 1 分析 3: OA ? BC ? (OD ? DA) ? BC ? DA ? BC ? ? ( AC ? AB ) ? ( AC ? AB ) ? (c 2 ? b 2 ) 2 2 b c 2 B 又 , ? ? sin B sin C sin 45 0 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 所以 (c ? b ) ? [(2 2 sin C ) ? (2 2 sin B ) ] = (c ? b ) ? 4(sin C ? sin B ) ? ... 2 2 2 7 mn 2 ? 6 (或 2 2 ? 3 ) 14. 二.填空题: 11. ?1 12. ? 13. 15.②③ 25 N y x ? x2 3 3 15.分析:如图设 P ( x1 , 0), Q ( x2 , 0) ,当 P,Q 关于 ( , 0) 对称时,即 1 ? A 2 2 2 3 M O P f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f(x)关于 x ? 对称. 2 ④设 f ( x ) ? t ,则 f (t ) ? 1 ? 10 ,观察出 t1 ? 0 ,则 t 2 ? 3 ,由③知无解.
1

10.分析 1:BC=2, ?A ? 45 ,所以 2 R ?

a

y

O

A

D

C

x

Q x B

三.解答题: 16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质,考查运用有关勾股定理、余 弦定理求解三角形的能力,考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力.满分 13 分. 解:(1) f ( x ) ?

3 2

sin ? x ?

3 2

cos ? x
----------------------------------------------------------------1 分

1 3 ? 3( sin ? x ? cos ? x ) 2 2

? 3(sin ? x cos

?

3

? cos ? x sin 2? 4 =

?

因为 ? =4, ? ? o, 所以 ? =
所以 f ( x ) ? 3 sin(

?
2

3

) ? 3 sin(? x ?

?
3

) -------------------------------------3 分
-------------------------------------5 分 -------------------------------------6 分

?
2

x?

?
3

) 2

(2)将 f ( x ) 的图像沿 x 轴向右平移

3 因为 P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,

个单位得到函数 g ( x ) ?

3 sin

?
2

x ---------------------------7 分

所以 P (1, 3), Q (3, ? 3) --------------------------------------------------------------------------9 分 所以 OP ? 2, PQ ? 4, ----------------------------------------------------------------------------10 分
OQ ? 12,? cos ? ? OQ 2 ? PQ 2 ? OP 2 2OQ ? QP ? 3 2

--------------------------------------------------12 分

所以 ? ?

?

6 法 2: 可以得?POx ? 60o , ?P ? 60 o , ?QOx ? 30 o 所以? =30 o ??? ???? ? QP ? QO ( ? 2, 2 3) ? ( ?3, 3) 3 ? 法 3:利用数量积公式 cos ? ? ??? ???? ? , 所以? =30o ? 2 4 ? 12 ? 9 ? 3 QP ? QO

---------------------------------------------------------------------------------------13 分

17. 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法, 考查空间想象、计算、推理论证等能力.满分 13 分. 解: (Ⅰ)连接 OQ,由题知 PA∥QC,∴P、A、Q、C 共面 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PACQ, ∴BD⊥OP. ------------------------------------------------------1 分 由题中数据得 PA=2,AO=OC= 2 ,OP= 6 ,QC=1,OQ= 3 ∴△ PAO∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC, 又∵∠POA+∠OPA=90° ∴∠POA+∠COQ=90° ∴OP⊥OQ (或计算 PQ=3,由勾股定理得出∠POQ=90° ,OP⊥OQ)------------------3 分 ∵OP⊥BD, OP⊥OQ,BD∩OQ=O,∴OP⊥平面 QBD--------------------------4 分 (Ⅱ)如图,以 A 为原点,分别以 AB,AD,AP 所在直线为 X,Y,Z 轴建立直角坐标系, ∴各点坐标分别为 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,D(0,2,0),P(0,0,2),Q(2,2,1),O(1,1,0)-- -----------------5 分 ∴ BP =(-2,0,2), BQ =(0,2,1),设平面 PBQ 的法向量 n ? ( x , y , z )

? ??? ? ? n ? BP ? ?2 x ? 2 z ? 0 ? x?z ? ∴ ? ? ??? ,得 ? , ? ?2 y ? ? z ? n ? BQ ? 2 y ? z ? 0 ?

不妨设 y ? ?1 , n ? ( 2, ?1, 2) --------------------------------------------------------------------------------------------------6 分 ∴ 由(Ⅰ)知平面 BDQ 的法向量 OP ? ( ?1, ?1, 2) ,---------------------------------------------------------------------------7 分

??? ? ? OP ? n ?2 ? 1 ? 4 6 , cos ? OP , n >= ??? ? ? ? ? 6 6 ?3 OP ? n
6 6

∴二面角 P-BQ-D 平面角的余弦值为

.-------------------------------------------------------------------------------------9 分
1 1? ?

??? ??? ??? ? ? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? (Ⅲ)设 PE ? ? ED ,∴ PD ? PE ? ED ? (1 ? ? ) ED ? ? 0, 2, ?2 ? , ED ?

? 0, 2, ?2 ?

??? ??? ???? ? ? ? ?2 2 ? CE ? CD ? DE ? ? ?2, , ? ,-------------------------------------------------------------------------------------------11 分 1? ? 1? ? ? ? ??? ? ∵CE∥平面 PBQ,∴ CE 与平面 PBQ 的法向量 n ? ( 2, ?1, 2) 垂直。 ? ??? ? 2 4 2 ? 4? n ? CE ? ?4 ? ? ? ? 0 ,----------------------------------------------------------------------------------------12 分 1? ? 1? ? 1? ? 1 PE 1 ∴? ? . ∴ ? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------13 分 ED 2 2 (方法二)在平面 PAD 中,分别过 D 点、P 点作直线 PA、AD 的平行线相交于点 M,

连结 MC 交直线 DQ 与点 N,在平面 PQD 中过点 N 作直线 NE∥PQ 交 PQ 于点 E,----------------------------11 分 由题可知 CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N ∴平面 CNE∥平面 PBQ,∴CE∥平面 PBQ----------------------------------12 分 ∵CQ=1,MD=PA=2,∴ ∵NE∥PQ,
PE ED ? 1 2
QN ND ? 1 2

------------------------------------------------------------13 分

18.本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力,考查等差等比数列的基本知识,考查数学建模及其应用与计 算的能力,考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力.满分 13 分. 解: (Ⅰ)依题意,从 2002 年起,该城市的人口数组成一个等差数列, 到 2012 年, n ? 11 ,该城市的人口数为 200 ? (11 ? 1) ? 10 ? 300 万人, 故 2012 年医疗费用投入为 300 ? 10 ? 1000 ? 3 ? 10 元,即为 30 亿元,
4 9

--------------------------------2 分

由于从 2002 年到 2012 年医疗费用投入也组成一个等差数列,--------------------------------------------------4 分 所以 10 ? (11 ? 1) x ? 30 ,解得 x ? 2 ,--------------------------------------------------------------------------------5 分 (Ⅱ)依题意,从 2013 年起(记 2013 年为第一年) , 该城市的人口数组成一个等比数列 {an } , 其中 a1 ? 300 ? (1 ? 10%) ? 300 ? 1.1 ,公比 q ? 1.1 , an ? 300 ? 1.1 ----------------------------------------6 分
n

医疗费用人均投入组成一个等差数列 {bn } , 其中 b1 ? 1000 ? y ,公差为 y , bn ? 1000 ? ny ;---------------------------------------------------------------7 分 于是,从 2013 年起,将来 10 医疗费用总投入为:

S10 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? a10b10 ,----------------------------------------------------------------------------------------8 分
S10 ? 300(1000 ? y ) ? 1.1 ? 300(1000 ? 2 y ) ? 1.12 ? ? ? 300(1000 ? 10 y ) ? 1.110 , 1.1S10 ? 300(1000 ? y ) ? 1.12 ? 300(1000 ? 2 y ) ?1.13 ? ? ? 300(1000 ? 10 y) ?1.111 ,
相减得: ?0.1S10 ? 300[1100 ? 1.1 y ? 1.1 y ? ? ? 1.1 y ? (1000 ? 10 y ) ? 1.1 ] ,
2 10 11

?0.1S10 ? 300[1100 ?

1.1 ? 1.111 1 ? 1.1

y ? (1000 ? 10 y ) ? 1.111 ] ? ?300(11 y ? 1750) ,

所以 S n ? 3000(11 y ? 1750) (万元) ,----------------------------------------------------------------------------12 分 由题设, 3000(11 y ? 1750) ? 6900000 ,解得 y ? 50 。------------------------------------------------------13 分

19. 本题主要考查函数的导数的几何意义,导数知识的应用等基础知识,函数的单调性、考查运算求解能力、推 理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。满分 13 分. 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ? x ? a ln x ,∴ f ?( x ) ? 1 ? .------------------------------------------------------------------1 分 x ∵ l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? y ? x ?1 ? 1 ? a ? 2 ,∴ a ? 1 .---------------------------------3 分
1 x 2 ? (b ? 1) x ,∴ g ?( x ) ?
1 ? x ? (b ? 1) ? x 2 ? (b ? 1) x ? 1

a

(Ⅱ)∵ g ( x ) ? ln x ?

.---------------------------4 分 x x 2 由题知 g ?( x ) ? 0 在 (0, ?? ) 上有解,∵ x ? 0 ,----------------------------------------------------------------5 分

?b ?1 ?0 ? 设 u ( x ) ? x ? (b ? 1) x ? 1 ,则 u (0) ? 1 ? 0 ∴只须 ? 2 ------------------------------7 分 ? ? ? (b ? 1) 2 ? 4 ? 0 ?
2

? b ? 1     ?? ? b ? 3 ,故 b 的取值范围为 (3, ?? ) .-------------------------------------------------8 分 ?b ? 3或 b ? ? 1
(Ⅲ)∵ g ?( x ) ?
1 x ∴ x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1 , ? x ? (b ? 1) ? x 2 ? (b ? 1) x ? 1 x

,∴令 g ?( x ) ? 0 ,得: x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? 0

法 1:∵ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ln x1 ?

1 2

x12 ? (b ? 1) x1 ] ? [ln x2 ?
x1

1 2

x2 2 ? (b ? 1) x2 ]
1 2 ( x12 ? x2 2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )

? ln
? ln

x1 x2
x1 x2

?
?

1 2
1 2

( x12 ? x2 2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? ln
( x12 ? x2 2 ) ? ln
x1 x2

x2

?

x1 x2

?

x 1 x x 1 x1 ? x2 ( ) ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) ----------------------------10 分 2 x1 x2 x2 2 x2 x1
2 2

∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴设 t ?

(0 ? t ? 1) ,令 h (t ) ? ln t ?

1 2

1 (t ? ), (0 ? t ? 1) -------------------------11 分 t

1 1 1 (t ? 1) 2 则 h?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? ? 0 ,∴ h (t ) 在 (0,1) 上单调递减.-----------------------------------------12 分 t 2 t 2t 2 7 25 ( x ? x2 ) 2 1 25 2 ?t? ?2? 又∵ b ? ,∴ (b ? 1) ? ,即 ( x1 ? x2 ) 2 ? 1 x1 x2 t 4 2 4

∵ 0 ? t ? 1 ,∴ 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? t ? 法 2:同上得

1

1 15 15 , h(t ) ? h( ) ? ? 2ln 2 ,故所求最小值为 ? 2 ln 2 --13 分 4 8 4 8

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ?

1? b 2

( x1 ? x 2 ) ? ln

x1 x2

?
?

b ?1 2
b ?1 2

2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 ? ln x 2 ?

b ?1 2

(b ? 1) 2 ? 4 ? 2 ln x 2

(b ? 1) ? 4 ? 2 ln
2

(b ? 1) ? (b ? 1) 2 ? 4 2

?

b ?1 2

(b ? 1) 2 ? 4 ? 2 ln[( b ? 1) ? (b ? 1) 2 ? 4 ] ? 2 ln 2 --------------------------------------------10 分 5 2 ) ,则 h (t ) ?
t2 2 t2 ? 4 ?

令 t ? b ? 1(t ?

t 2

t 2 ? 4 ? 2 ln(t ? t 2 ? 4) ? 2 ln 2 ----------------------------------------11 分
2 ? t2 t2 ? 4
15 8

h ?( t ) ?

1 2
5

t2 ? 4 ?

t2 ? 4
5 2

≥0----------------------------------------------------------12 分
15 8

h (t ) 在 ( , ?? ) 上为增函数.当 t ?
2

时, h(t ) ?

? 2 ln 2. 故所求最小值为

? 2 ln 2 ---------------------13 分

20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识,考查类比推理论证能力、运算求解能力,考查一般到特殊的思想方法、 函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。满分 14 分. 解: (Ⅰ)若 A,B 为椭圆 C1 :

x2 2

? y 2 ? 1 上相异的两点, E ( x0 , y0 ) 为 A,B 中点,当直线 AB
y

的斜率 k AB 与直线 OE 的斜率 k OE 的乘积 k OE ? k AB 必为定值;---------------------------------------------------1 分
? x12 ? y12 ? 1 ? ? (1) ? ? 2 证 1:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? ? (2) 2 ? 2 ?
D B

(2)-(1)得:

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) 2

O

C

x

? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 0 ,-----------2 分 1 2
----------------------------------------4 分

?仅考虑斜率存在的情况?: x0 ? 2 y0 ? k AB ? 0 ? kOE ? k AB ? ?
证 2:设 AB: y ? kx ? b 与椭圆 C1 :

x2 2

? y 2 ? 1 联立得: (1 ? 2 k 2 ) x 2 ? 4 kbx ? 2b 2 ? 2 ? 0

1 ? 2k 2 y 2 kb b 1 1 ? y0 ? ? kOE ? 0 ? ? ? kOE ? k AB ? ? ----------4 分 所以 x0 ? ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k x0 2k 2
即 k ?kOB ? ?

x1 ? x2 ? ?

4 kb

,-----------------------------------------------------------------------------------------------------2 分

(Ⅱ) (ⅰ)当点 A 无限趋近于点 B 时,割线 AB 的斜率就等于椭圆上的 B 的切线的斜率 k ,

1 2

,k ? ?

x2 2 y2
x2 2 y2 ( x ? x2 ) ? x2 2 x ? y 2 y ? 1 ----------------6 分

所以点 B 处的切线 QB: y ? y 2 ? ? 令 x ? 0 , yD ?

1 2 2 ,令 y ? 0, xC ? ,所以 S ?OCD ? -----------------8 分 y2 x2 x2 y 2
2

x 2 又点 B 在椭圆的第一象限上,所以 x2 ? 0, y 2 ? 0, 2 ? y 2 ? 1 2
x x 2 2 ?1 ? 2 ? y 2 ? 2 2 y 2 ? 2 2
2 2

2 x2 y 2

? S ?OCD ?
所以当 B (1,

2 2 ? ? x2 y 2 2

2 ,当且仅当

x2 2 ? y 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 1 2

2

2 2

) 时,三角形 OCD 的面积的最小值为 2 -------10 分(没写等号成立扣 1 分)

(ⅱ)设 P (m, n) ,由(ⅰ)知点 M ( x3 , y3 ) 处的切线为: 又 PM 过点 P ( m, n) ,所以

x3 x ? y3 y ? 1 2

x3 x m ? y3 n ? 1 ,又可理解为点 M ( x3 , y3 ) 在直线 m ? yn ? 1 上 2 2 m x 同理点 N ( x4 , y 4 ) 在直线 m ? yn ? 1 上,所以直线 MN 的方程为: x ? ny ? 1 --------------------------12 分 2 2
所以原点 O 到直线 MN 的距离 d ?

1 m2 ? n2 4
相切.

?

2 2

y

,----------13 分
M

P N
O

所以直线 MN 始终与圆 x ? y ?
2 2

1 2

------------------------14 分

x

21. (1)选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识,考查书写表达能力、运算求解能力。满分 7 分 解: (Ⅰ)? det A ?
1 1 ? 1 ? 0 ,?矩阵 A 可逆. ---------------------------------------------------------------------1 分
? 1? ? ?? 2 1 ? ? ? ? ? ?3

2 3

且 A ?1 ? ?
?3

-------------------------------------------------------------------------------------------3 分

(Ⅱ) A ?1 B = ?

? 1? ? ?? 2 1 ? ? ? ? ?

?1 2 ? ?1 3 ? ? ---------------------------------------------------------------------------4 分 ? ? =? ? 2 3 ? ? 0 1? ? ? ? ? ? ?
' ' '

设直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点 P ( x, y ) 在矩阵 A ?1 B 对应的线性变换作用下得到 P ( x , y ) ,
?1 则? ? ?0 ? 3? ? ? 1? ?
? x ? ? x? ? ? ? = ? ? ----------------------------------------------------------------------------------------------------5 分 ? ? ? ? ? y ? ? y?? ? ? ? ?

?x? ? x ? 3 y ?x ? x? ? 3 y? ,从而 ? ------------------------------------------------------------------------------6 分 ? y? ? y ? y ? y? 代入 x ? y ? 1 ? 0 得 x ? ? 2 y ? ? 1 ? 0 即 x ? 2 y ? 1 ? 0 为所求的曲线方程。 -------------------------------------7 分
即: ? (2)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识,考查运算求 解能力,数形结合思想。满分 7 分 解: (Ⅰ)C 1 的普通方程为: ( x ? 2) ? y ? 4 ---------------------------------------------------------------------------3 分 (Ⅱ)法一:如图,设圆心为 A,?原点 O 在圆上, y 设 C 1 与 C 2 相交于 O、B,取线段 OB 中点 C,
2 2

?直线 OB 倾斜角为

?OC=1 从而 OB=2,-------------------------------------------------------------5 分 ? ?O、B 的极坐标分别为 O (0,0), B ( 2, ). ------------------------------------7 分 3 法二:C 2 的直角坐标方程为: y ? 3 x --------------------------------------4 分
2 2

? ,OA=2,-----------------------------------------------4 分 3
O

B C A

x

代入圆的普通方程后,得 ( x ? 2) ? ( 3 x ) ? 4 ,即: x ( x ? 1) ? 0 ,得: x1 ? 0, x2 ? 1

?O、B 的直角坐标分别为 O (0,0), B (1, 3 ). ---------------------------------------------------------------------5 分 ? 从而 O、B 的极坐标分别为 O (0,0), B ( 2, ). ---------------------------------------------------------------------7 分 3
(3)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识,考查运算求解能力,分 类讨论思想。满分 7 分 解: (Ⅰ)由柯西不等式, ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 1 ) ? ( x ? 2 y ? z )
2 2 2 2 2 2 2 2

----------------------------------------------1 分

即有 ( x ? 2 y ? z ) ? 36 , 又 x 、 y 、 z 是正数,? x ? 2 y ? z ? 6 即 x ? 2 y ? z 的最大值为 6,-------------------------------------2 分

x y z ? ? ,即当 x ? z ? 1, y ? 2 时取得最大值。-------------------------------------------------3 分 1 2 1 (Ⅱ)由题意及(Ⅰ)得, a ? 1 ? 2 a ? ( x ? 2 y ? z ) max ? 6 ------------------------------------------------------4 分
当且仅当 即: ?

?a ? ?1

?a ? ?1 或? ---------------------------------------------------------------------6 分 ?a ? 1 ? 2a ? 6 ?? a ? 1 ? 2 a ? 6

解得: a 无解 或 a ? ?

7 3

综上,实数 a 的取值范围为 a ? ?

7 ------------------------------------------7 分 3


2013届厦门市高三3月质检理科数学试题及答案

2013厦门市高三3月质检理科数学试题答案_数学_高中教育_教育专区。2013届厦门...厦门市20123月高三质检... 18页 1下载券喜欢此文档的还喜欢 ...

2013年高三数学厦门市3月质检理科试卷

2013年高三数学厦门市3月质检理科试卷_数学_高中教育_教育专区。注意事项: 1.本科...ED Q A O B C D 18. (本小题满分 13 分) 某城市 2002 年有人口 20...

2013年高三数学厦门市3月质检理科试卷[1]

2013年高三数学厦门市3月质检理科试卷[1] 隐藏>> 厦门市 2013 届高三质量检查 数学(理科)试卷注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答...

2016年3月高三厦门质检理科数学试题 Word版含答案

2016年3月高三厦门质检理科数学试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育...{x | x ? 2 x ? 8 ? 0} , B = {x |1 < x < 5},U = R ,...

厦门市2013届高三3月质检理科数学试题及答案

我要评价 贡献者等级:手不释卷 四级 格式:doc 关键词:暂无同系列文档 厦门市2013高三3月质检理... 厦门市2013高三3月质检文...1/2 相关文档推荐 ...

2013届厦门市高三质检数学(理)试卷3月

2013厦门市高三质检数学(理)试卷3月_数学_高中教育_教育专区。2013厦门市高三...2013厦门市高三3月质量...1/2 相关文档推荐 2013厦门市高三3月质检......

厦门市2013届高三3月质检理科数学试题及答案

厦门市2013高三3月质检理科数学试题答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档厦门市2013高三3月质检理科数学试题答案_数学_高中...

福建省厦门市2013届高三3月质量检查理科数学试题

福建省厦门市2013高三3月质量检查理科数学试题 试卷试卷隐藏>> 厦门市 2013高三质量检查 数学(理科)试卷注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题...

数学理卷·2013届 福建省厦门市高三3月质量检查试题 (2013.03) word版

数学理卷·2013届 福建省厦门市高三3月质量检查试题 (2013.03) word版_数学_高中教育_教育专区。厦门市 2013高三质量检查 数学(理科)试卷注意事项: 1.本科...

厦门市2013届高三3月质检文科数学试题及答案

厦门市2013高三3月质检文科数学试题答案_数学_高中...厦门市2013高三3月质检...1/2 相关文档推荐 ...2013高三3月质检理科数... 暂无评价 16页 免费...