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基本初等函数 幂函数


法思特教育

高考 数学 1 对 1

基本初等函数(2) ——幂函数
幂函数复习 重难点:掌握常见幂函数的概念、图象和性质,能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小. 考纲要求:①了解幂函数的概念;
y ? x, y ? x , y ? x , y ?
2 3

1 x

>1

, y ? x2

②结合函数 知识梳理:

的图像,了解他们的变化情况.

1. 幂函数的基本形式是 y ? x ,其中 x 是自变量, ? 是常数. 要求掌握 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x
2 3 1/ 2

?

, y ? x 这五个常

?1

用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性,总结如下: (1)当 ? ? 0 时,图象过定点 是 函数. ;在 (0, ??) 上 ;在 (0, ??) 上

(2)当 ? ? 0 时,图象过定点 是

函数;在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.
?

3. 幂函数 y ? x 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上,指数 间,图象由上至下,指数 ? 诊断练习:
? 如果幂函数 f ( x) ? x 的图象经过点

. y 轴和直线 x ? 1 之

.

(2,

2 ) 2 ,则 f (4) 的值等于



2.函数 y=(x2-2x)
2

1 2

的定义域是

5 3.函数 y= x 的单调递减区间为

1

4.函数 y= x

2-m-m

2

在第二象限内单调递增,则 m 的最大负整数是_______ _.

范例分析: 例 1 比较下列各组数的大小:
1 3 1 3

2

?

(1)1.5 ,1.7 ,1;
?

(2) (- 2 )
3 5

2 3

10

, (- 7 ) ,1.1

2 3

?

4 3



(3)3.8

2 3

,3.9 , (-1.8) ;

2 5

(4)31.4,51.5.

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例 2 已知幂函数 y ? x
m?6

高考 数学 1 对 1
(m ? Z ) 与 y ? x2?m (m ? Z ) 的图象都与 x 、 y 轴都没有公共点,且

y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称,求 m 的值.

3 例 3 幂函数 f ( x) ? (t ? t ? 1) x

7 ? 3t ? 2t 2 5

是偶函数,且在 (0, ??) 上为增函数,求函数解析式.

反馈练习: 1.幂函数
y ? f ( x)

1 (4, ) 的图象过点 2 ,则 f (8) 的值为
3 2
3

.

2.比较下列各组数的大小: (a ? 2)
(5 ? a 2 )
? 2 3

a2 ;
0 0 . 5. 4 .

5

?

2 3

0.5 ; 0.4

1

3.幂函数的图象过点(2, 4 ), 则它的单调递增区间是



a 4 . 设 x ∈ (0, 1) , 幂 函 数 y = x 的 图 象 在 y = x 的 上 方 , 则 a 的 取 值 范 围


? 3 4

. 是减函数.
4

5.函数 y= x 在区间上 6.一个幂函数 y=f (x)的图象过点(3, (1)求这两个幂函数的解析式; (x)< g(x)的解集.

27 ),另一个幂函数 y=g(x)的图象过点(-8, -2),
(3)作出这两个函数的图象,观察得 f

(2)判断这两个函数的奇偶性;

7.函数 y ? ( x ? 1) ? (4 ? x) 8. y ? x
a ?4 a ?9
2

1 2

??

3 2

的定义域是 .

是偶函数,且在 (0,??) 是减函数,则整数 a 的值是

2

5

3 3 9.已知 x ? x ,x 的取值范围为

10.若幂函数 y ? x 的图象在 0<x<1 时位于直线 y=x 的下方,则实数 a 的取值范围是
a

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高考 数学 1 对 1
3

(3 3, ) 3 ,则 f ( x) 的表达式 11.若幂函数 f ( x) 与函数 g(x)的图像关于直线 y=x 对称,且函数 g(x)的图象经过



f ( x) ?
12. 函数

x?2 x ? 3 的对称中心是
2 3

,在区间



函数(填“增、减” )

13.比较下列各组中两个值的大小

(1)1.5 与1.6 (2)0.6 与0.7 (3)3.5 与5.3 (4)0.18?0.3 与0.15?0.3
1.3 1.3

3 5

3 5

?

?

2 3

14.若 (a ? 2)

?

1 3

? (3 ? 2a)

?

1 3

,求 a 的取值范围。

- 15.已知函数 y= 15 2x-x .
4 2

(1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间.

高考真题 1. (2011·安徽高考文科·T5)若点 ? a, b ? 在 y ? lg x 图象上, a ? 1 ,则下列点也在此图象上的是( ) (A) ?

?1 ? ,b ? ?a ?

(B) ?10a,1 ? b ?

(C) ?

? 10 ? , b ? 1? (D) (a 2 ,2b) ?a ?
x

2.(2011·山东高考理科·T3)若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan=

a? 的值为: 6

(A)0

(B)

3 3

(C)1

(D) 3

3.(2011·辽宁高考理科·T9)设函数 f(x)= ? (A)[-1,2] (B)[0,2]

?21-x ,x ? 1, 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 1 ?1 - log2 x,x> ,
(D)[0,+ ? ) )

(C)[1,+ ? )

4、 (2011·北京高考文科·T3)如果 log 1 x ? log 1 y ? 0 ,那么(
2 2

( A) y ? x ? 1

( B) x ? y ? 1

(C )1 ? x ? y

( D)1 ? y ? x

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5、 (2011.天津高考理科.T7)已知 a = 5log2 3.4 , b = 5log4 3.6 , c = 琪 琪 A. a > b > c B. b > a > c C. a > c > b

高考 数学 1 对 1
骣 1 5 桫
log3 0.3

,则 ( )
D. c > a > b

6. (2011·天津高考文科·T5)已知 a = log2 3.6, b = log4 3.2, c = log4 3.6 则(



A.a ? b ? c
二、填空题

B. a > c > b

C.b ? a ? c

D.c ? a ? b

7.(2011·江苏高考·T2)函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________ 8. (2011·陕西高考文科·T11)设 f ( x) ? ?

?lg x, x ? 0
x ?10 , x ? 0

,则 f ( f (?2)) ? ______.

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