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高中数学竞赛讲义

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圆锥曲线 一、基础知识 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨 迹,即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1)的点的轨迹(其中 定点不在定直线上) ,即 | PF | ? e (0<e<1). d 第三定义:在直角坐标平面内给定两圆 c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且 a≠b。从原点出发的射线交圆 c1 于 P,交圆 c2 于 Q,过 P 引 y 轴的平行线,过 Q 引 x 轴的平行线,两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义可求得它的标准 方程,若焦点在 x 轴上,列标准方程为 x2 y2 ? ?1 a2 b2 参数方程为 ? (a>b>0), ? x ? a cos? (? y ? b sin ? ? 为参数) 。 若焦点在 y 轴上,列标准方程为 y2 y2 ? ?1 a2 b2 (a>b>0)。 3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 x2 y2 ? ? 1, a2 b2 a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ± b), ( ± c, a2 0) ;与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 x ? ? c ;定义中的比 e 称为离心率,且 e ,与右焦点对应的准线为 x? a2 c ? c ,由 c2+b2=a2 知 0<e<1. a 椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。 4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆 x2 y2 ? ? 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若 P(x, y)是椭圆上 a2 b2 的任意一点,则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为 x0 x y 0 y ? 2 ? 1; a2 b 2)斜率为 k 的切线方程为 1 y ? kx ? a 2 k 2 ? b 2 ; 3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为 l? 2ab2 a 2 ? c 2 cos2 ? 。 6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为 x2 y2 ? ? 1, a2 b2 参数方程为 ? ? x ? a sec? (? ? y ? b tan? 为参数) 。 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 y2 x2 ? ? 1。 a2 b2 8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 x2 y2 ? ? 1 (a, b>0), a2 b2 a 称半实轴长, b 称为半虚轴长, c 为半焦距, 实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、 右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0), 对应的左、右准线方程分别为 x ?? c a2 a2 ,x ? . 离心率 e ? ,由 a2+b2=c2 知 a c c e>1。两条渐近线方程 为 y?? k x2 y2

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