nbhkdz.com冰点文库

直线的位置关系(2015版)


2015—2016 年高三复习讲义

直线与直线的位置关系(3 课时)
【教学目标】理解直线与直线的位置关系的判定;点到直线及平行直线的距离公式,了解点关于点、 点关于线、线关于线、线关于点对称. 【教学重点】两直线平行、垂直的条件,点到直线的距离公式,对称性的运用. 【教学难点】会灵活应用两直线平行、垂直,点到直线的距离公式,对称性. 一.基础知识

(一)当直线不平行于坐标轴时,直线与直线的位置关系判断 斜截式 一般式 方 程 相 交 垂 直 平 行 重 合

l1 : y ? k1 x ? b1 l2 : y ? k2 x ? b2 k1 ? k2 k1k2 ? ?1 k1 ? k2 且 b1 ? b2 k1 ? k2 且 b1 ? b2

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
A1 B2 ? A2 B1 ? 0 A1 A2 ? B1 B2 ? 0

? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 或? ? ? B2C1 ? B1C2 ? 0 ? A1C2 ? A2C1 ? 0
A1 B2 ? A2 B1 ? B2C1 ? B1C2 ? A1C2 ? A2C1

〖备注〗 (1) 『 l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 两条直线平行的前提条件是』 ① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. ② 在 l 1 和 l 2 的斜率都存在的前提下得到的. 因此, 应特别注意, 去掉或忽视其中任一个“前提” 都会导致结论的错误. 一般的结论是:对于两条直线 l 1,l 2 ,它们在 y 轴上的纵截距是 b 1 ,b 2 ,则 l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 ,且

b1 ?b 2 或 l 1,l 2 的斜率均不存在,即 A1 B 2 ? B1 A2 是平行的必要不充分条件,且 A1C 2 ? A2 C 1
(2) 『两条直线垂直的条件』 ① 设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 l 1 ?l 2 ?k 1k 2 ? ?1 这里的前提是 l 1,l 2 的斜 率都存在. ② l 1?l 2 ?k 1? 0 ,且 l 2 的斜率不存在或 k 2 ? 0 ,且 l 1 的斜率不存在. (即 A1 B 2 ? A 2 B1 ? 0 是垂直的充要条件) (二)已知直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ( A, B, C 不同时为 0) . ① 与直线 l 平行的直线方程可设为 Ax ? By ? m ? 0 (m ? C ) ; ② 与直线 l 垂直的直线方程可设为 Bx ? Ay ? n ? 0 . (三)有关距离 1、 『点到直线的距离公式』设点 P( x 0 , y 0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的距离为 d ,则有

d?

Ax0 ? By 0 ?C A2 ?B 2



2、 『两条平行线间的距离公式』 设两条平行直线 l 1 : Ax ? By ?C 1 ? 0..l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1 ?C 2 ) ,它们之间的距离为 d , 则有 d ?

C 1 ?C 2 A2 ?B 2

(首先确保两平行直线 x, y 系数相同) .

第 1 页 共 13 页

2015—2016 年高三复习讲义

(四) 〖关于对称性〗
/ ? ? x ? 2a ? x 1、点 A ( x , y ) 关于点 O(a, b) 的对称的点 A ( x , y ) ----- ? / . ? ? y ? 2b ? y

/

/

/

2、点 A ( x , y ) 关于直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的对称的点 A / ( x / , y / ) - ?

? ?K AA' ? K l ? ?1 / ? ? A与A 中点在直线l上

3、直线 l : Ax ? By ? C ? 0 关于点 O (a, b) 的对称直线 l / : Ax/ ? By / ? C ? 0 . 4、直线 l : Ax ? By ? C ? 0 关于直线 A0 x ? B0 y ? C ? 0 的对称直线 l / : Ax/ ? By / ? C ? 0 【备注】 (1)关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等. (2)关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线 到对称直线距离相等.若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称 直线为两直线夹角的角平分线. (3) 〖3、4〗均可用相关点法求轨迹处理. (4)与对称有关的问题:折射问题、距离和最短的问题、角平分线. 二.典例分析: (一)直线间平行、垂直、相交问题 例 1、直线 l 被两条直线 l1:4x+y+3=0 和 l2:3x-5y-5=0 截得的线段的中点为 P(-1,2),求直 线 l 的方程. 【解】设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0,y0),由已知条件, 得直线 l 与 l2 的交点为 B(-2-x0,4-y0), ?4x0+y0+3=0, ?4x0+y0+3=0, ?x0=-2, ? ? ? 并且满足? 即? 解得? ?3?-2-x0?-5? 4 ?3x0-5y0+31=0, ?y0=5, -y0?-5=0, ? ? ? y-2 x-?-1? 因此直线 l 的方程为 = , 即 3x+y+1=0. 5-2 -2-?-1? 例 2、求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l3:3x-5y+6=0 的直线 l 的方程. ? ?3x+2y-1=0 【解法一】先解方程组? ,得 l1,l2 的交点(-1,2) ?5x+2y+1=0 ? 3 5 再由 l3 的斜率为 知 l 的斜率为- . 5 3 5 于是由直线的点斜式方程求得 l:y-2=- (x+1),即 5x+3y-1=0. 3 【解法二】因为 l⊥l3,故 l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一条, 而 l 过 l1、l2 的交点(-1,2),故 5× (-1)+3× 2+C=0,由此求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0. 【解法三】因为 l 过 l1、l2 的交点,故 l 是直线系 3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0 中的一条, 将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0, 3+5λ 5 1 其斜率- =- ,解得 λ= , 3 5 2+2λ 代入直线系方程即得 l 的方程为 5x+3y-1=0. 例 3(2007 年浙江)在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0, a ) , B(b,0) ,

C (c,0) ,点 P(0, p) 在线段 AO 上(异于端点) ,设 a, b, c, p 均为非零实数,直线 BP, CP

第 2 页 共 13 页

2015—2016 年高三复习讲义

分别交 AC, AB 于点 E , F ,一同学已正确算的 OE 的方程: ? 求 OF 的方程: ( ) x ? ?

?1 1? ? 1 1? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,请你 ?c b? ? p a?

? 1 1? ? ? y ? 0. ? p a?

1 1 ? .事实上,由截距式可得 c b x y x y ?1 1? ? 1 1? 直线 AB : ? ? 1 ,直线 CP : ? ? 1 ,两式相减得 ? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,显 b a c p ?b c? ? p a? 然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程, 又原点 O 也满足此方程, 故为所求直线 OF 的方程. 例 4、已知两直线 a1 x ? b1 y ? 1 ? 0 和 a2 x ? b2 y ? 1 ? 0 的交点为 P(2,3) ,则经过两点 M (a1 , b1 ) . N (a2 , b2 ) 的直线 MN 的方程为 【解一】依题意知 2a1 ? 3b1 ? 1 ? 0 和 2a2 ? 3b2 ? 1 ? 0 ,所以 M (a1 , b1 ) , N (a2 , b2 ) 满足直 线方程 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 . b ? b2 2 2 【解二】作差得: 1 ? ? , y ? b1 ? ? ( x ? a1 ) ? 2 x ? 3 y ? (2a1 ? 3b1 ) ? 0 3 a1 ? a 2 3
【解】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想填 所以所以 M (a1 , b1 ) , N (a2 , b2 ) 满足直线方程 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 . 例 5、(2013 年课标全国)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面 积相等的两部分,则 b 的取值范围是 ( ) 1 1? 2 1 2 1 A.(0,1) B.?1- , ? C.?1- , ? D.? ?3,2? 2 2? 2 3? ? ?
? ?y=ax+b, a+b 【解】(1) 当直线 y=ax+b 与 AB、BC 相交时,由? 得 yE= , a+1 ?x+y=1 ? b b 1 a+b a+b 1 又易知 xD=- ,∴|BD|=1+ ,由 S△DBE= × × = a a 2 a a+1 2 1 1 0, ?. 得 b= ∈? 2? ? 1 1+ +1 a (2) 当直线 y=ax+b 与 AC、BC 相交时(如图 2), 1 1 由 S△FCG= (xG-xF)· |CM|= 得 2 2 2 2 b=1- 1-a2∈?1- ,1?(∵0<a<1), 2 2 ? ? 1? ? 2 ? 2 1? ? ∵对于任意的 a>0 恒成立,∴b∈? ?0,2?∩?1- 2 ,1?,即 b∈?1- 2 ,2?. 故选 B. (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0 和直线 l 2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 , 例 6、 设直线 l1 : 若 l1 // l 2 , 则k ?



【解】 ? 2(k ? 3) ? 2(4 ? k )(k ? 3) ? 0 ,解得: k ? 3 或 k ? 5 .

例 7、集合 A ? {( x, y ) |

y ?3 ? 2} , B ? {( x, y) | 4 x ? ay ? 16 ? 0} ,若 A ? B ? ? ,则 a ? . x?2 【解】 当直线 4 x ? ay ? 16 ? 0 与另一直线平行时,a ? ?2 ; 当直线 4 x ? ay ? 16 ? 0 过点 (2,3) 时 8 4 ? 2 ? 3a ? 16 ? 0 ? a ? . 3
第 3 页 共 13 页

2015—2016 年高三复习讲义

例 8、三条直线 l1 : x ? y ? a ? 0 , l 2 : x ? ay ? 1 ? 0 , l 3 : ax ? y ? 1 ? 0 能构成三角形的 a 的 取值范围是 . 【解】当 l1 、l 2 、l 3 三线有平行时,得 a ? ?1 ;当 l1 、l 2 、l 3 三线有重合时,得 a ? 1 ;当 l1 、l 2 、

l 3 三线共点时,得 a ? ?2 ,所以 a 的取值范围是 (??,?2) ? (?2,?1) ? (?1,1) ? (1,??) 例 9、在 ?ABC 中, a, b, c 为三角形的对应三边,且 lg sin A, lg sin B, lg sin C 成等差数列,直线 l1: (sin 2 A) x ? (sin A) y ? a ? 0, l2: (sin 2 B) x ? (sin C) y ? c ? 0 的位置关系是( B )
A.平行
2

B.重合
2

C.垂直

D.相交但不垂直

【解】 sin B ? sin A sin C ,

sin A sin A a ? ? . sin 2 B sin B c
)

x≥0, ? ? 例 10、如果不等式组?y≥2x, 表示的平面区域是一个直角三角形,则该三角形的面积为( ? ?kx-y+1≥0 1 1 A. 或 2 5 【解】有两种情形: 1 1 B. 或 2 3 1 1 C. 或 5 4 1 1 D. 或 4 2

1 (1) 直角由 y=2x 与 kx-y+1=0 形成,则 k=- , 2 2 4 1 ? 三角形的三个顶点为(0,0),(0,1),? ?5,5?,面积为5; (2) 直角由 x=0 与 kx-y+1=0 形成,则 k=0, 1 ? 1 三角形的三个顶点为(0,0),(0,1),? ?2,1?,面积为4. 故选 C. 例 11、已知 a≠0,直线 ax+(b+2)y+4=0 与直线 ax+(b-2)y-3=0 互相垂直,则 ab 的最大值为 A.0 B .2 C.4 D. 2 a 3 【解】若 b=2,两直线方程为 y=- x-1 和 x= ,此时两直线相交但不垂直. 4 a 4 a 3 若 b=-2,两直线方程为 x=- 和 y= x- ,此时两直线相交但不垂直. a 4 4 a 4 a 3 若 b≠±2,此时,两直线方程为 y=- x- 和 y=- x+ , b+2 b+2 b-2 b-2 a ? a a a ? 此时两直线的斜率分别为- ,- ,由- ·- =-1 得 a2+b2=4. b+2 b-2 b+2 ? b-2? 因为 a2+b2=4≥2ab,所以 ab≤2,即 ab 的最大值是 2, 当且仅当 a=b= 2时取等号.所以选 B. 【补充练习】
0 0 1、将直线 l 绕它上面一点 P 按逆时针方向旋转角 ? (0 ? ? ? 90 ) 所得直线方程为 6 x ? y
0 ? 60 ? 0 , 若再按相同方向旋转 90 ? ? 后所得直线方程为 x ? y ? 0 , 则原直线的方程为 . ?6 x ? y ? 60 ? 0 【解】由 ? 得: P(12,?12) ,易知直线 l 与直线 x ? y ? 0 垂直,所以原直线的方 ?x ? y ? 0 程为 x ? y ? 24 ? 0 . 2 、若直线 l1 : 2 x ? 5 y ? 20 ? 0, l 2 : mx ? 2 y ? 10 ? 0 与两轴围成的四边形有外接圆,则外接圆

的面积为

.
第 4 页 共 13 页

2015—2016 年高三复习讲义

【解】若要使直线 l1 : 2 x ? 5 y ? 20 ? 0, l 2 : mx ? 2 y ? 10 ? 0 与两轴围成的四边形有外接圆,则 3、设直线 (m ? 2) x ? y ? m ? 0 和直线 x ? y ? 0 与 x 轴围成三角形,则实数 m 的范围是 须 l1 ? l 2 ,解得: m ? ?5 ,易知四边形外接圆的半径等于 5 .所以 S ? 5? . .

【解】(m ? 2) x ? y ? m ? 0 ? 2 x ? y ? m( x ? 1) ? 0 ,故直线恒过定点 (1,2) ,有三种情况不能 构成三角形, ① 当三线共一点即直线过原点时, 得m ? 0, ② 当直线与 x 轴平行时, 得 m ? ?2 ; ③ 当直线与另一直线 x ? y ? 0 平行时,得 m ? ?3 . (??,?3) ? (?3,?2) ? (?2,0) ? (0,??) 4、已知直线 l :f ( x, y) ? Ax ? By ? C ? 0, P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 是直线上和外的点,则方程

f ( x, y) ? f ( x1 , y1 ) ? f ( x2 , y 2 ) ? 0 表示(
A.与直线 l 重合的直线 C.过 P2 且与直线 l 平行的直线



B.过 P1 且与直线 l 垂直的直线 D.不过 P2 但与直线 l 平行的直线

【解】 f ( x, y) ? Ax ? By ? C f ( x1 , y1 ) ? Ax1 ? By1 ? C ? 0 f ( x2 , y2 ) ? Ax2 ? By2 ? C ? 0 由 f ( x, y) ? f ( x1 , y1 ) ? f ( x2 , y 2 ) ? 0 得 Ax ? By ? C ? ( Ax2 ? By2 ? C ) ? 0

? A( x ? x2 ) ? B( y ? y2 ) ? 0 . 5、设 a, b, c 分别为 ?ABC 角 A, B, C 所对边长,则直线 x sin A ? ay ? c ? 0 与直线 bx ? y sin B ? sin C ? 0 的位置关系是( C )
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 R 【解】因为 b sin A ? a sin B ? 2R(sin A sin B ? sin A sin B) ? 0 ( 为外接圆半径) ,故垂直. 6、将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数为 a ,第二次出现的点数为 b ,设直线 l1 :

ax ? by ? 2 和直线 l 2 : x ? 2 y ? 2 平行的概率为 P 1, P 2 ) 与直线 l 2 1 ,相交的概率为 P 2 ,则点 ( P
的位置关系为 . 【解】 b ? 2a 时 l1 // l 2 ,当 a ? 1, b ? 2 时两直线重合;当 a ? 2, b ? 4 a ? 3, b ? 6 时两直线平行,

P1 ?

2 1 3 11 1 11 ? ? , ) 在直线 l 2 下方. , P2 ? 1 ? ,所以 ( P 1, P 2) ? ( 36 18 36 12 18 12

(二)有关距离问题 例 1、 已知直线 l 过两直线 3x+4y-5=0,2x-3y+8=0 的交点, 且与 A(2,3), B(-4,5)两点距离相等, 则直线 l 的方程为____. ?3x+4y-5=0, ?x=-1, ? ? 【解】解方程组? 解得? 即交点 P(-1,2). ? ? ?2x-3y+8=0, ?y=2, ① 当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0. |2k-3+k+2| |-4k-5+k+2| 1 由题意得 = ,解得 k=- , 2 2 3 k +1 k +1 1 ∴直线 l 的方程 y-2=- (x+1),即 x+3y-5=0. 3 ② 当直线 l 斜率不存在时,则 l 方程为 x=-1,符合题意. 综上可知,所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1. 例 2、设两直线: x ? y ? a ? 0, x ? y ? b ? 0 ,已知 a , b 是关于 x 的方程 x ? x ? c ? 0(c ? 0) 的 两个根,则这两条直线间距离的最大与最小值分别为 ( D )
2

A.

2 1 , 4 2

B. 2 ,

2 2

C. 2 ,

1 2

D.

2 ,0 2

第 5 页 共 13 页

2015—2016 年高三复习讲义

【解】 1 ? 4c ? 0 ? 0 ? c ?

1 | a ?b| , a ? b ? ?1, ab ? c , d ? ? 2d 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab 4 2 1 2 ,所以最大值为 ,最小值为 0. 4 2

? 1 ? 4c ,因为 0 ? c ?

例 3、(2013· 四川)在平面直角坐标系内,到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的 点的坐标是______. 6-2 5-?-1? 【解】由已知得 kAC= =2,kBD= =-1, 3-1 1-7 所以 AC 的方程为 y-2=2(x-1),即 2x-y=0,① BD 的方程为 y-5=-(x-1),即 x+y-6=0,② ? ?x=2, 联立①②解得? ? ?y=4. 所以直线 AC 与直线 BD 的交点为 P(2,4),此点即为所求点. 因为|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=|AC|+|BD|,取异于 P 点的任一点 P′. 则|P′A|+|P′B|+|P′C|+|P′D|=(|P′A|+|P′C|)+(|P′B|+|P′D|) >|AC|+|BD|=|PA|+|PB|+|PC|+|PD|. 故 P 点就是到 A、B、C、D 的距离之和最小的点.故应填(2,4). 【补充练习】 1、 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 不在直线 l:Ax ? By ? C ? 0 上,且 l 交线段 P 1P 2 于 P ,且 P 1 P ? ? PP 2 则? ? . 【解】 因为 ? ?

| P1 P | | PP2 |

, 所以问题转化为 P 1 , P2 到直线 l 的距离 d1 , d 2 之比为 ? ? ?

Ax1 ? By1 ? C , Ax2 ? By2 ? C

利用平面区域知识去绝对值. 2、点 (sin? , cos? ) 到直线 x cos? ? y sin ? ? 1 ? 0 的距离小于 A. (k? ?

5? ? 5? ? , k? ? ), k ? Z , k? ? ), k ? Z B. (k? ? 6 6 12 12 2? ? ? ? , k? ? ), k ? Z C. (k? ? D. (k? ? , k? ? ), k ? Z 3 3 3 6 1 1 5? ? ,2k? ? ), k ? Z . 【解】 d ?| sin 2 x ? 1 |? ? ?1 ? sin 2 x ? ? 得 (2k? ? 2 2 12 12
3、与 A(1 , 0) 的距离为 1,且与 B (3 , 5 ) 的距离为 2 的直线共有( B )条

1 则 ? 的取值范围 ( B ) 2

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解】 当直线与线段 AB 的反向延长线相交时共有 2 条; 当直线与线段 AB 垂直且垂足为线段 AB 的三等份点时,有 1 条. 4、两直线分别经过 A(1,0), B(0,5) 且距离为 5,则它们的方程为 .

1? k 2 程为 5 x ? 12 y ? 5 ? 0 和 5 x ? 12y ? 60 ? 0 或 y ? 0 和 y ? 5 . 5、若动点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 分别在直线 l1 : x ? y ? 7 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 5 ? 0 上移动,则 AB 的
第 6 页 共 13 页

【解】设 y ? kx ? 5 , y ? k ( x ? 1) ,则有 5 ?

|5?k |

解得: k ? 0 或 k ?

5 ,所以所求的直线方 12

2015—2016 年高三复习讲义

6、已知三条直线 l1 : 2 x ? y ? a ? 0 ? a ? 0 ? 。直线 l2 : ?4 x ? 2 y ? 1 ? 0 和直线 l3 : x ? y ? 1 ? 0 , 且 l1 与 l2 的距离是 (1)求 a 的值;

中点到原点的最短距离为 .3 2 【解】易知 AB 中点的轨迹方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,则问题转化为直线 x ? y ? 6 ? 0 上找一点使它 到原点的距离最近即过原点作直线的垂线.

7 5 . 10
(2)能否找到一点 P 使得同时满足:① P 是第一象限上的点,② P 到 l1 的

距离是 P 到 l 2 距离的

1 ,③ P 到 l1 的距离与 P 到 l 3 距离的的比 2 ∶ 5 若存在,求出的坐标, 2

若不存在,请说明理由.

1 【解】 (1) l 2 的方程为: 2 x ? y ? ? 0 , l1 与 l 2 的距离 d ? 2 1 7 得: | a ? |? ,? a ? 0 ,? a ? 3 2 2
(2)设点 P( x0 , y0 ) ,若 P 点满足条件②, 2 ? 由平面区域知识得: 2 x 0 ? y 0 ?

1 | a ? (? ) | 2 ?7 5, 10 4 ?1

| 2 x0 ? y 0 ? 3 | 5

?

| 2 x0 ? y 0 ? 5

1 | 2

13 ?0 2

若点 P 满足条件③,由点到直线的距离公式有:

?| 2 x0 ? y0 ? 3 |?| x0 ? y0 ? 1 | 5 5? 2 所以 x0 ? 2 y0 ? 4 ? 0 或 3x0 ? 2 ? 0 , 由 P 在第一象限知 3x0 ? 2 ? 0 不可能, 13 1 37 1 37 ? 0 与 x0 ? 2 y0 ? 4 ? 0 , 联立:2 x 0 ? y 0 ? 解得 x 0 ? ,y 0 ? , 所以 P( , ) . 2 9 18 9 18 7、已知 n 条直线: l1 : x ? y ? C1 ? 0, C1 ? 2 , l 2 : x ? y ? C2 ? 0 , ?l n : x ? y ? Cn ? 0 其中 (C1 ? C2 ? ? ? Cn ) ,这条平行线中每相邻两条直线之间的距离顺次为 2、3、4 ?n (1)求 C n ; (2)求 x ? y ? Cn ? 0 与 x, y 围成的面积;
(3)求 x ? y ? Cn?1 ? 0 和 x ? y ? Cn ? 0 围成的面积. 【解】 (1)依题意得: a n ?

| 2 x0 ? y 0 ? 3 |

?

2 | x0 ? y 0 ? 1 |

? n ? C n ? C n?1 ? 2n 2 由 C2 ? C1 ? 2 ; C3 ? C2 ? 2 2 ; C4 ? C3 ? 3 2 , ?, Cn ? Cn?1 ? 2n

| C n ? C n?1 |

2n(n ? 1) 2 2 1 2 n (n ? 1) 2 (2) S n ? C n ? 2 4
相加得: C n ?

(3) S ? S n ? S n?1 ?

n 2 (n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2 ? ? n3 . 4 4

第 7 页 共 13 页

2015—2016 年高三复习讲义

(三)有关对称性 例 1、将一张坐标纸折叠一次,使点 P(10,0)与 Q(-6,8)重合,则与点 M(-4,2)重合的点是 【解】设与 M 重合的点为 N(x,y),则线段 PQ 的中点为 A(2,4), x-4 y+2? 线段 MN 的中点为 B? ? 2 , 2 ?,依题意有 MN∥PQ,AB⊥PQ, y+2 -4 2 y-2 1 ?-1?=-1, ∴kMN=kPQ 且 kAB· kPQ=-1,即 =- 且 · ? 2? 2 x-4 x+4 -2 2 解得 x=4,y=-2.



1 4 例 2、若 m>0,n>0,点(-m,n)关于直线 x+y-1=0 的对称点在直线 x-y+2=0 上,那么 + 的 m n 最小值等于________. 【解】由题意知(-m,n)关于直线 x+y-1=0 的对称点为(1-n,1+m). 依题意可知 1-n-(1+m)+2=0,即 m+n=2. 1 4? 1 ? n 4m 1 1 4 1 9 + = × 5+ + ?≥ ×(5+2×2)= , 于是 + = (m+n)? ?m n? 2 ? m n ? 2 m n 2 2 当且仅当 n=2 m 时等号成立. 例 3、(1) 求直线 l1:2x+y-4=0 关于直线 l:3x+4y-1=0 对称的直线的方程 l3; (2) 光线沿直线 l2:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y+7=0 后反射,求反射光线所在的直线方程. ?2x+y-4=0, ? (1)【解法一】由? 解得 l1 与 l 的交点 E(3,-2),点 E 也在 l3 上. ?3x+4y-1=0, ? 在直线 l1:2x+y-4=0 上找一点 A(2,0), 设点 A 关于直线 l 的对称点 B 的坐标为(x0,y0)). 2+x0 0+y0 3× + 4× -1=0, 2 2 4 8? ,由 解得 B? 5 5?. ? y0-0 4 = , x0-2 3 y-2? x-3 由两点式得直线 l3 的方程为 = ,即 2x+11y+16=0. ?-8?-2? 4-3 5 ? 5? 【解法二】(利用对称关系)设 P(x,y)是所求对称直线 l3 上一点, 关于直线 l 的对称点为 Q(x0,y0). x+x0 y+y0 7x-24y+6 3× +4× -1=0, x0= , 2 2 25 解得 又∵Q(x0,y0)在 a 上, y-y0 3 -24x-7y+8 ×?(- ?)=-1, y0= . x-x0 4 25 7x-24y+6 -24x-7y+8 ∴2? + -4=0,即 l3 的方程是 2x+11y+16=0. 25 25 ? ? ?x-2y+5=0, ?x=-1, (2) 【解法一】由? 解得? ∴反射点 M 的坐标为(-1,2). ?y=2. ?3x-2y+7=0, ? ? 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0),设 P 关于直线 l 的对称点 P′(x0,y0), 2 y0 由 PP′⊥l 可知,kPP′=- = . 3 x0+5 x0-5 y0? 而 PP′的中点 Q 的坐标为? ? 2 , 2 ?,点 Q 在 l 上,

? ? ?

? ? ?

? ? ?

第 8 页 共 13 页

2015—2016 年高三复习讲义

x0-5 y0 ∴3× -2× +7=0. 2 2 y0 2 =- , x0+5 3 由 3 ?x -5?-y0+7=0, 2 0

? ? ?

?x =-13, 解得? 32 ?y =-13.
0 0

17

根据直线的两点式方程可得 l 的方程为 29x-2y+33=0. 【解法二】设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称点为 P′(x,y), x+x0 y+y0? y0-y 2 x+x0 y+y0 则 =- ,又 PP′的中点 Q? ? 2 , 2 ?在 l 上,∴3? 2 -2? 2 +7=0, x0-x 3 y0-y 2 =- , x0-x 3 -5x+12y-42 12x+5y+28 由 可得点 P 的坐标为 x0= ,y0= , 13 13 x0+x 3× -?y+y0? +7=0. 2

? ? ?

代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0,即为所求反射光线所在的直线方程. 例 4、已知直线 l:x-2y+8=0 和两点 A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线 l 上求一点 P,使|PA|+|PB|最小; (2)在直线 l 上求一点 P,使||PB|-|PA||最大. 【解】(1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A′(m,n), n-0 ? ?m-2=-2 则? m+2 n+0 ? ? 2 -2· 2 +8=0
? ?m=-2 ,解得? ,故 A′(-2,8). ?n=8 ?

P 为直线 l 上的一点,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,当且仅当 B,P,A′三点共线时, |PA|+|PB|取得最小值,为|A′B|,点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点, ? ? ?x=-2 ?x=-2 解? 得? ,故所求的点 P 的坐标为(-2,3). ?x-2y+8=0 ?y=3 ? ? (2) A,B 两点在直线 l 的同侧,P 是直线 l 上的一点, 则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当 A,B,P 三点共线时, ||PB|-|PA||取得最大值,为|AB|,点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点, ? ? ?y=x-2 ?x=12 又直线 AB 的方程为 y=x-2,解? 得? , ?x-2y+8=0 ?y=10 ? ? 故所求的点 P 的坐标为(12,10). 例 5、光线经过 A(?1,1) ,经 x 轴反射后的反射光线与圆 C : ( x ? 5) ? ( y ? 7) ? 4 相切,则切线方 程为 , 从点 A( ?1,1) 到切点, 光线经过的路程为 , 光线从 A(?1,1) 经 x 轴反射到圆上所经过的最短路程为 .
2 2

【解】 y ?

6? 6 ( x ? 1) ? 1 , 4 6 , 8 . 4

例 6、 (2013· 湖南)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 为边 AB 上异于 A,B 的一点,光 线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P.若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等于( ) 8 4 A. 2 B. 1 C. D. 3 3 【解】以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴建立直角坐标系如图所示. 则 A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC 的重心为 D,
第 9 页 共 13 页

2015—2016 年高三复习讲义

4 4? 则 D 点坐标为? ?3,3?.设 P 点坐标为(m,0), 则 P 点关于 y 轴的对称点 P1 为(-m,0), 因为直线 BC 方程为 x+y-4=0, 所以 P 点关于 BC 的对称点 P2 为(4,4-m), 根据光线反射原理,P1,P2 均在 QR 所在直线上, 4 4 -4+m 3 3 4 ∴kP1D=kP2D,即 = ,当 m=0 时,P 点与 A 点重合,故舍去.∴m= . 4 4 3 +m -4 3 3 【补充练习】 1、点 A(4,0) 关于直线 5x ? 4 y ? 21 ? 0 的对称点坐标为( D ) A. (?6,8) B. (?8,6) C. (6,8) D. (?6,?8)

? y/ 5 ? (? ) ? ?1 ? / ? 4 【解】设其对称点坐标为 A / ( x / , y / ) ,则 ? x ? 4 解得: A / (?6,?8) ?5 ? x ? 4 ? 4 ? y ? 21 ? 0 ? 2 2 ?
另:可以利用验证的方法处理该问题 2、已知点 A(m ? 1, m ? 1) 与 B(m, m) 关于直线 L 对称,则直线 L 的方程为 A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 (D ) D. x ? y ? 1 ? 0 ,

3、若不同两点 P, Q 的坐标分别为 ( a, b) ,(3 ? b,3 ? a) , 则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 关于直线 l 对称的圆的方程为
2 2

【解】因为 k AB ? ?1,则 k L ? 1 ,将线段 AB 的中点代入 B 、 D 得 D 正确

. .

【解】因为 k PQ ?

3?a ?b 3?a ?b 3?b ? a ? 1 ,所以 kl ? ?1 ,直线 l 方程为 y ? ? ?( x ? ) 3?b?a 2 2 整理得: x ? y ? 3 ? 0 ,关于直线 l 对称的圆心坐标为 ( x / , y / ) ,则 x / ? y ? 3 ? 0 ,

x ? y / ? 3 ? 0 ,得: x / ? 0, y / ? 1 ,所以圆的方程为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 4、直线 l 1: 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与直线 l 2 关于点 M (2,3) 成中心对称,则直线 l 2 的方程为( A ) A. 3x ? 4 y ? 41 ? 0 B. 4 x ? 3 y ? 41 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 35 ? 0 D. 3x ? 4 y ? 41 ? 0 或 3x ? 4 y ? 35 ? 0 【解】所求直线与 l 1: 3x ? 4 y ? 5 ? 0 平行,故排除 B 、 D ,由点 M (2,3) 到两平行线的距
相等得 A . 5、 已知曲线 C:y ? ? x ? x ? 2 关于点 (a,2a) 对称的曲线是 C / ,若曲线 C 和 C / 有两个不同的公共 点,则实数的取值范围是 .
2

【解】 A( x, y) 为曲线 C 任意一点, A ( x , y ) 为其对称的点,由中心对称得: x ? 2a ? x
/ / /

/

y ? 4a ? y / ,代入曲线 C 方程得: 4a ? y / ? ?(2a ? x / ) 2 ? 2a ? x / ? 2 ,得曲线 C / : y ? x 2 ? (4a ? 1) x ? 4a 2 ? 2a ? 2 ? ? x 2 ? x ? 2 ? x 2 ? (4a ? 1) x ? 4a 2 ? 2a ? 2 由 ? ? 0 得: ? 2 ? a ? 1 . 1 6、直线 y ? ?2 x ? 4 关于直线 3x ? y ? 8 ? 0 对称的直线方程为 .y? x?2 2
第 10 页 共 13 页

2015—2016 年高三复习讲义

12 4 , ? ) ,在 y ? ?2 x ? 4 上取 A(?1,0) 5 5 / / y x ?1 y / / / / ? ? 8 ? 0 ,解得: A / (?4,1) ? 3 ? ?1 且 3 ? 对称点为 A ( x , y ) ,由 / 2 2 x ?1 7、方程 f ( x, y) ? 0 对应的图象关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的图象对应的表达式为 .
【解】直线 y ? ?2 x ? 4 与 3x ? y ? 8 ? 0 交点坐标 (? 【解】利用相关点法: x ? y / ? 2 , y ? x / ? 2 ,代入 f ( x, y) ? 0 得: f ( y ? 2, x ? 2) ? 0 8 、 已 知 直 线 l : y ? x ? 2 及 两 点 A(1,4), B(3,8) , P 为 直 线 l 上 的 一 点 , 则 | PA | ? | PB | 的 最 小 为
/

, || PA | ? | PB || 的最大为
/



【解】 x ? y ? 2 ? 6 , y ? x ? 2 ? 5 ,

| PA | ? | PB |?| AB/ |? 26 ; | PA | ? | PB |?| AB |? 2 5 . 9、光线从 A(?3,4) 发出后,经过 l : y ? x ? 2 反射后的反射线经过 B(2,6) ,则光线从 A 到 B 经过的
路程为 .
/ /

【解】 利用对称性求出点 A(?3,4) 关于直线 l : y ? x ? 2 的对称点 A (2,?1) 的坐标, 则 | A B |? 7 . 10、已知 M (3,5) 在直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q 使得 ?MPQ 的周长最小,则最 小值为 . 【解】 M (3,5) 关于 y 轴的对称点 M 1 (?3 , 5) M (3,5) 关于直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 的对称点 M 2 (5,1) ,连接 M 1 M 2 ,则 | M 1 M 2 | 为所求等于 4 5 . 11、正方形 ABCD 的边长为 1 ,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, AE ? BF ?

1 。动点 P 从 E 出 3

发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角, 当点 P 第一次碰到 E 时, P 与正方形的边碰撞的次数为 . 【解】结合已知中的点 E,F 的位置,进行作图,推理可知, 在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图, 可以得到回到 EA 点时,需要碰撞 6 次即可. 12、已知在△ABC 中,顶点 A(4,5),点 B 在直线 l:2x-y+2=0 上,点 C 在 x 轴上,求△ABC 周长 的最小值. 【解】设点 A 关于 x 轴对称点为 A2(x2,y2),点 A 关于直线 l:2x-y+2=0 对称点为 A1(x1,y1).连 接 A1A2 交 l 于 B,交 x 轴于 C,则此时△ABC 的周长取最小值,且最小值为|A1A2|. 【小结】 (1)入射与反射、折线距离和(差)的最值、角平分线等问题与对称性相关; (2)折线 距离和的最小值:点最好在对称直线异侧,折线距离差的最大值点最好在对称直 直线同侧; (3)将问题转化为共线问题; (4)所求的动点在对称直线上.

x2 y2 ? ? 1 ,试确定实数 m 的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线 例 7 、已知椭圆 4 3 y ? 4 x ? m 对称.
【解法一】设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 是椭圆上不同的两点,且关于直线 y ? 4 x ? m 对称, 则 k AB ? ?

1 1 ,设 AB 方程为 y ? ? x ? n , 代入椭圆方程得: 4 4 2 2 13x ? 8nx ? 16n ? 48 ? 0

第 11 页 共 13 页

2015—2016 年高三复习讲义

13 ,----------------------------------------① 2 8n 1 2n 24 x1 ? x 2 ? ? 2n ? n , y1 ? y 2 ? ? ( x1 ? x 2 ) ? 2n ? ? 13 4 13 13 x ? x 2 4n y ? y 2 12 ? ? n 设 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 1 , y0 ? 1 2 13 2 13 12 n 4n 4n ? 4? ?m ? m ? ? 因为 M ( x0 , y0 ) 在直线 y ? 4 x ? m 上,所以 ---------------② 13 13 13 2 13 2 13 由①②消 n 得: ? . ?m? 13 13 【解法二】设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 是椭圆上不同的两点,且关于直线 y ? 4 x ? m 对称,则 1 k AB ? ? , AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 4 2 2 ? x1 y1 ? ?1 ? y ? y1 3( x1 ? x2 ) 1 ?4 3 作差得: k AB ? 2 ?? ? ? ,得: y0 ? 3x0 -----------① ? 2 2 x2 ? x1 4( y1 ? y 2 ) 4 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 3 ?4 ? ? 64n 2 ? 4 ? 13? (16n 2 ? 48) ? 0 ?| n |?

M ( x0 , y0 ) 在直线 y ? 4 x ? m 上,所以 y0 ? 4x0 ? m --②由①②得: x0 ? ?m, y0 ? ?3m
m 2 9m 2 2 13 2 13 ? ? 1 ,解得: ? 显然 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,故 . ?m? 4 3 13 13
【补充练习】
2 1、使抛物线 y ? ax ? 1 上总有关于直线 x ? y ? 0 对称的两点,求实数 a 的范围.

【解法一】 设 A( x1 , y1 ) , 且关于直线 x ? y ? 0 对称, 则 k AB ? 1, B( x2 , y2 ) 是抛物线上不同的两点, 设 AB 方程为 y ? x ? b 代入 y ? ax 2 ? 1 得: ax ? x ? b ? 1 ? 0 ,
2

1 1 , y1 ? y 2 ? x1 ? x 2 ? 2b ? ? 2b , a a y ? y2 x ? x2 1 1 ? ? ?b 设 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 1 , y0 ? 1 2 2a 2 2a 3 1 1 ? ? b ? 0 ---② 由①②消 b 得: a ? . 因为 M ( x0 , y0 ) 在直线 x ? y ? 0 上,所以 2 a 2a 4 【解法二】设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 是抛物线上不同的两点,且关于直线 x ? y ? 0 对称, 则 k AB ? 1, AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则

? ? 1 ? 4a(b ? 1) ? 0 -----①,

x1 ? x 2 ?

2 ? y 2 ? y1 x1 ? x2 1 ? y1 ? ax1 ? 1 x ? ? 作差得: ,得: k ? ? a ( x ? x ) ? 1 ? 0 AB 1 2 2 2 2a x2 ? x1 ? ? y 2 ? ax2 ? 1 1 因为 M ( x0 , y0 ) 在直线 x ? y ? 0 上,所以 y 0 ? ? x0 ? ? , 2a 3 1 1 ? a ? 2 ? 1 ,解得: a ? . 显然 M ( x0 , y0 ) 在抛物线内部,故 ? 2a 4 4a

第 12 页 共 13 页

2015—2016 年高三复习讲义

2、在抛物线 y ? x 2 上总存在两点关于直线 y ? kx ? 3 对称,求实数 k 的取值范围. 【解法一】设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 是抛物线上不同的两点,且关于直线 y ? kx ? 3 对称,

1 1 2 ,设 AB 方程为 y ? ? x ? b , 代入抛物线方程得: kx ? x ? kb ? 0 , k k 1 1 1 ? ? 1 ? 4k 2 b ? 0 ------① x1 ? x 2 ? ? , y1 ? y 2 ? ? ( x1 ? x 2 ) ? 2b ? 2 ? 2b k k k x ? x2 y ? y2 1 1 ?? ? 2 ?b 设 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 1 , y0 ? 1 2 2k 2 2k 1 1 5 ? b ? ? ? 3 ? ---------------② 因为 M ( x0 , y0 ) 在直线 y ? kx ? 3 上,所以 2 2 2 2k 10 10 由①②消 b 得: k ? (??,? )?( ,??) . 10 10 【解法二】设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 是抛物线上不同的两点,且关于直线 y ? kx ? 3 对称, 1 则 k AB ? ? , AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 k 2 ? x ? x2 y ? y1 1 1 ? y1 ? x1 ?? 作差得: k AB ? 2 ? x1 ? x2 ? ? ,得: x0 ? 1 ? 2 2 2k x2 ? x1 k ? ? y 2 ? x2
则 k AB ? ? 因为 M ( x0 , y0 ) 在直线 y ? kx ? 3 上,所以 y 0 ? ?kx 0 ? 3 ? 显然 M ( x0 , y0 ) 在抛物线内部,故

5 , 2

5 1 10 10 ? ,解得: k ? (??,? )?( ,??) . 2 2 4k 10 10

第 13 页 共 13 页


直线的位置关系(2015版)

2015—2016 年高三复习讲义 直线与直线的位置关系(3 课时)【教学目标】理解直线与直线的位置关系的判定;点到直线及平行直线的距离公式,了解点关于点、 点关于线、...

【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:9-2两直线的位置关系]

【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:9-2两直线的位置关系]_高中教育_教育专区。【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:9-2两直线的位置关系]时间...

2015-2016高中数学人教B版必修2同步测试:2.2.3《两条直线的位置关系》(含答案)

2015-2016高中数学人教B版必修2同步测试:2.2.3《两条直线的位置关系》(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教B版必修2同步测试 ...

直线与圆的位置关系测试题(2015-05-14)

直线与圆的位置关系测试题(2015-05-14)_数学_初中教育_教育专区。直线与圆的位置关系测试题(2015-05-14)一、选择题 1.若⊙O 的半径为 5 cm,点 A 到圆心...

直线和圆(2015版)

直线和圆(2015版)_数学_高中教育_教育专区。2015—2016 年高三复习讲义 直线与圆、圆与圆的位置关系(3 课时)【教学目标】能根据给定直线、圆的方程,判断直线与...

2015届高考人教版数学(理)一轮复习跟踪检测52 两直线的位置关系 Word版含解析]

2015届高考人教版数学(理)一轮复习跟踪检测52 两直线的位置关系 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2015届高考人教版数学(理)一轮复习跟踪检测52 两直线的位置关...

2015秋七年级数学下册 2.1 两条直线的位置关系教案 (新版)北师大版

2015秋七年级数学下册 2.1 两条直线的位置关系教案 (新版)北师大版_数学_初中教育_教育专区。两条直线的位置关系教学目标: 通过画、折等活动,进一步丰富对两条...

2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 9.2 两直线的位置关系

2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 9.2 两直线的位置关系_高考_高中教育_教育专区。§ 9.2 两直线的位置关系 1. 两条直线平行与垂直的判定 (1)两条...

2015年高中数学同步检测:2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》(人教A版必修2)]

2015年高中数学同步检测:2.1.2《空间中直线直线之间的位置关系》(人教A版必修2)]_高中教育_教育专区。2015年高中数学同步检测:2.1.2《空间中直线直线之间...