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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.2两条直线的位置关系教案 理 新人教A版


§9.2
2014 高考会这样考

两条直线的位置关系

1.考查两条直线的平行、垂直关系;2.考查两点间的距离公式及点到

直线的距离公式的应用. 复习备考要这样做 1.对于两条直线的位置关系问题, 求解时要注意斜率不存在的情况, 注

意平行、垂直时直线方程系数的关系;2.熟记距离公式,

如两点之间的距离、点到直线的距 离、两条平行线之间的距离.

1. 两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率分别为 k1、k2,则有 l1∥l2?k1=k2.特别地,当直 线 l1、l2 的斜率都不存在时,l1 与 l2 平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1,l2 斜率存在,设为 k1,k2,则 l1⊥l2?k1?k2=-1,当一条直线斜率为 零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直. 2. 两直线相交 交点:直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 和 l2 : A2x + B2y + C2 = 0 的公共点的坐标与方程组
?A1x+B1y+C1=0 ? ? ?A2x+B2y+C2=0 ?

的解一一对应.

相交?方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行?方程组无解; 重合?方程组有无数个解. 3. 三种距离公式 (1)点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离: |AB|= ?

x2-x1?

2

+? y2-y1?

2

.

(2)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离:

d=

|Ax0+By0+C| . A2+B2 |C2-C1| . A2+B2
1

(3)两平行直线 l1: Ax+By+C1=0 与 l2: Ax+By+C2=0 (C1≠C2)间的距离为 d=

[难点正本 疑点清源] 1. 两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的,就是两条直线都有斜率.当直线无斜率 时,要单独考虑. 2. 与直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0)平行、垂直的直线方程的设法: 一般地,平行的直线方程设为 Ax+By+m=0;垂直的直线方程设为 Bx-Ay+n=0.
2 2

1. 直线 Ax+3y+C=0 与直线 2x-3y+4=0 的交点在 y 轴上,则 C 的值为________. 答案 -4

? 4? 解析 因为两直线的交点在 y 轴上,所以点?0, ?在第一条直线上,所以 C=-4. ? 3?
2. 若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=________. 答案 1 解析 ∵直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直, 1 ? 2? ∴ ??- ?=-1,∴m=1. 2 ? m? 3. 已知直线 l1 与 l2:x+y-1=0 平行,且 l1 与 l2 的距离是 2 ,则直线 l1 的方程为 ________________. 答案 x+y+1=0 或 x+y-3=0 |c+1| 解析 设 l1 的方程为 x+y+c=0,则 = 2. 2 ∴|c+1|=2,即 c=1 或 c=-3. 4. 过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 ( ) A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 答案 A 1 解析 ∵所求直线与直线 x-2y-2=0 平行,∴所求直线的斜率为 k= ,排除 C、D.又 2 直线过点(1,0),排除 B,故选 A. 1 5. 若经过点(3,a)、(-2,0)的直线与经过点(3,-4)且斜率为 的直线垂直,则 a 的值为 2 ( ) A. 5 2 2 B. 5 C.10 D.-10 B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0

答案 D
2

a-0 解析 ∵ =-2,∴a=-10. 3-? -2?

题型一 两条直线的平行与垂直 例1 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值. 思维启迪: 运用两条直线平行或垂直的条件求解, 要注意斜率为 0 或斜率不存在的情形. 解 (1)方法一 当 a=1 时,
2

l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1 不平行于 l2;
当 a=0 时,l1:y=-3,

l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2;
当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为

a 1 l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 2 1-a a 1 ? ?- = , 2 1 - a l1∥l2?? ? ?-3≠-? a+1? ,

解得 a=-1,

综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. 方法二 由 A1B2-A2B1=0, 得 a(a-1)-1?2=0, 由 A1C2-A2C1≠0, 得 a(a -1)-1?6≠0, ∴l1∥l2??
2 2

? ?a? ?a? ?

a-1? -1?2=0, a2-1? -1?6≠0,
? a=-1,

??

?a -a-2=0, ? ? ?a?

a2-1? ≠6,

故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,

l1 与 l2 不垂直,故 a=1 不成立;
当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不垂直于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时,

a 1 l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 2 1-a

3

1 2 ? a? 由?- ?? =-1? a= . 3 ? 2? 1-a 2 方法二 由 A1A2+B1B2=0 得 a+2(a-1)=0? a= . 3 探究提高 (1)当直线的方程中存在字母参数时, 不仅要考虑到斜率存在的一般情况, 也 要考虑到斜率不存在的特殊情况. 同时还要注意 x、 y 的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0.试确定 m、n 的值,使: (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. 解
?m -8+n=0 ? (1)由题意得? ?2m-m-1=0 ?
2

,解得 m=1,n=7.

(2)当 m=0 时,显然 l1 不平行于 l2;

m 8 n 当 m≠0 时,由 = ≠ , 2 m -1
? ?m?m-8?2=0, 得? ?8?? -1? -n?m≠0, ?

∴?

? ?m=4, ?n≠-2, ?

或?

? ?m=-4, ?n≠2. ?

即 m=4,n≠-2 时或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2. (3)当且仅当 m?2+8?m=0,即 m=0 时,l1⊥l2. 又- =-1,∴n=8. 8 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. 题型二 两条直线的交点问题 例2 求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l3:3x-

n

5y+6=0 的直线 l 的方程. 思维启迪:可先求出 l1 与 l2 的交点,再用点斜式;也可利用直线系方程求解. 解
? ?3x+2y-1=0 方法一 先解方程组? ?5x+2y+1=0 ?



得 l1、l2 的交点坐标为(-1,2), 3 5 再由 l3 的斜率 求出 l 的斜率为- , 5 3 于是由直线的点斜式方程求出 l:

y-2=- (x+1),即 5x+3y-1=0.

5 3

4

方法二 由于 l⊥l3, 故 l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一条, 而 l 过 l1、 l2 的交点(-1,2), 故 5?(-1)+3?2+C=0,由此求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0. 方法三 由于 l 过 l1、l2 的交点,故 l 是直线系 3x+2y-1+λ (5x+2y+1)=0 中的一 条, 将其整理,得(3+5λ )x+(2+2λ )y+(-1+λ )=0. 3+5λ 5 1 其斜率- =- ,解得 λ = , 2+2λ 3 5 代入直线系方程即得 l 的方程为 5x+3y-1=0. 探究提高 运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直线系方程有: (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m=0 (m∈R 且 m≠C); (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0 (m∈R); (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y +C1+λ (A2x+B2y+C2)=0 (λ ∈R),但不包括 l2. 如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线 l1:x +2y-1=0,l2:x+2y-3=0 所截的线段的中点在直线 l3:x-y -1=0 上,求其方程. 解 与 l1、l2 平行且距离相等的直线方程为 x+2y-2=0. 设所求直线方程为(x+2y-2)+λ (x-y-1)=0, 即(1+λ )x+(2-λ )y-2-λ =0.又直线过 A(-1,1), ∴(1+λ )(-1)+(2-λ )?1-2-λ =0. 1 解得 λ =- .∴所求直线方程为 2x+7y-5=0. 3 题型三 距离公式的应用 例 3 已知三条直线:l1:2x-y+a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0.且 7 5 . 10

l1 与 l2 的距离是
(1)求 a 的值;

(2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件: ①点 P 在第一象限; 1 ②点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5. 若能,求点 P 的坐标;若不能,说明理由. 思维启迪:(1)由 l1 与 l2 的距离构建方程求 a;(2)假设存在点 P,并设出其坐标,根据
5

条件建立方程求解并作出判断. 解 (1)∵l1:4x-2y+2a=0 (a>0),l2:4x-2y-1=0,

|2a+1| ∴两条平行线 l1 与 l2 间的距离为 d= , 2 5 |2a+1| 7 5 由已知,可得 = .又 a>0,可解得 a=3. 10 2 5 (2)设点 P 的坐标为(x,y),由条件①,可知 x>0,y>0. 由条件②和③,可得 |2x-y+3| |4x-2y-1| = , ? ? 5 4 5 ? |2x-y+3| |x+y-1| 5? = 2? , ? ? 5 2
? ?4|2x-y+3|=|4x-2y-1|, 化简得? ? ?|2x-y+3|=|x+y-1|,

于是可得,4|x+y-1|=|4x-2y-1|, 也就是 4(x+y-1)=4x-2y-1, 或 4(x+y-1)=-4x+2y+1, 1 解得 y= ,或 8x+2y-5=0. 2 1 当 y= 时,代入方程|2x-y+3|=|x+y-1|, 2 2 解得 x=-3<0 或 x=- <0,均舍去. 3
? ?8x+2y-5=0 由? ?|2x-y+3|=|x+y-1| ? ?8x+2y-5=0 ? 化简得? ? ?x-2y+4=0



?8x+2y-5=0 ? ,或? ? ?3x=-2



1 ? ?x=9 解得? 37 y= ? ? 18

2 ? ?x=-3<0 或? 31 y= ? ? 6

(舍去).

?1 37? 即存在满足题设条件的点 P,其坐标为? , ?. ?9 18?
探究提高 (1)在应用两条直线间的距离公式时.要注意两直线方程中 x、y 的系数必须 相同.(2)第(2)问是开放探索性问题,要注意解决此类问题的一般策略.

6

已知 A(4,-3),B(2,-1)和直线 l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点

P,使|PA|=|PB|,且点 P 到直线 l 的距离为 2.
解 设点 P 的坐标为(a,b),∵A(4,-3),B(2,-1),

∴线段 AB 的中点 M 的坐标为(3,-2), ∴线段 AB 的垂直平分线方程为 y+2=x-3, 即 x-y-5=0. ∵点 P(a,b)在上述直线上,∴a-b-5=0.① 又点 P(a,b)到直线 l:4x+3y-2=0 的距离为 2, ∴ |4a+3b-2| =2,即 4a+3b-2=±10,② 5 27 ? ?a= 7 或? 8 ? ?b=-7

? ?a=1 联立①②可得? ?b=-4 ?

.

8? ?27 ∴所求点 P 的坐标为(1,-4)或? ,- ?. 7? ?7

对称变换思想的应用

典例:(12 分)光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y+7=0 后反射,求反射 光线所在的直线方程. 审题视角 (1)入射光线所在直线与反射光线所在直线关于 l 对称.(2)对称点的连线被 对称轴垂直平分. 规范解答 解 方法一 由?
? ?x=-1, ?y=2. ? ? ?x-2y+5=0, ?3x-2y+7=0, ?

得?

∴反射点 M 的坐标为(-1,2).[2 分] 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5, 0), 设 P 关于直线 l 的对称点 P′(x0, y0), 由 PP′⊥l 2 y0 可知,kPP′=- = .[4 分] 3 x0+5 而 PP′的中点 Q 的坐标为?

?x0-5,y0?, 2? ? 2 ?

7

x0-5 y0 Q 点在 l 上,∴3? -2? +7=0.[6 分]
2 2

y 2 ? ?x +5=-3, 由? 3 ?2? x -5? -y +7=0. ?
0 0 0 0

17 ? ?x =-13, 得? 32 ?y =-13. ?
0 0

[8 分]

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x-2y+33=0.[12 分] 方法二 设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称点为 P′(x,y), 则

y0-y 2 =- ,[4 分] x0-x 3

又 PP′的中点 Q? ∴3?

?x+x0,y+y0?在 l 上, ? 2 ? ? 2
y+y0
2 +7=0,[6 分]

x+x0
2

-2?

y -y 2 ? ?x -x=-3, 由? x+x ? ?3? 2 -? y+y ?
0 0 0

0

+7=0.

可得 P 点的坐标为

x0=

-5x+12y-42 12x+5y+28 ,y0= ,[10 分] 13 13

代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0, ∴所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0.[12 分] 温馨提醒 (1)综合利用物理学知识,利用对称变换的思想方法求解是本题的关键.(2) 构建方程解方程组是本题的又一重要方法. (3)坐标转移法是对称变换中常用的方法之 一.(4)本题的易错点,一是计算错误,二是不能用对称的思想求解,亦即找不到解决问 题的突破口.

方法与技巧 1. 两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1、

l2,l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1?k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线
的斜率一定要特别注意. 2. 对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法. 失误与防范
8

1. 在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率, 可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑. |C1-C2| 2. 在运用两平行直线间的距离公式 d= 2 时,一定要注意将两方程中的 x,y 系数化 A +B2 为分别相等.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是 ( ) B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0

A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 答案 A

3 3 解析 由题意知,直线 l 的斜率为- ,因此直线 l 的方程为 y-2=- (x+1),即 3x 2 2 +2y-1=0. 2. (2012?浙江)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y +4=0 平行”的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A

解析 若直线 l1 与 l2 平行,则 a(a+1)-2?1=0, 即 a=-2 或 a=1, 所以“a=1”是“直线 l1 与直线 l2 平行”的充分不必要条件. 3. 从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上,则反射光线所在的直 线方程为 ( ) B.2x+y-1=0 D.6x+y-8=0

A.x+2y-4=0 C.x+6y-16=0 答案 A

9

1 解析 由直线与向量 a=(8,4)平行知:过点(2,3)的直线的斜率 k= ,所以直线的方程 2 1 为 y-3= (x-2),其与 y 轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(- 2 2,3),所以反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知 A 正确. 4. 已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线 l 的方程为( A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0 D.2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0 答案 D 解析 设所求直线方程为 y-4=k(x-3), 即 kx-y+4-3k=0, |-2k-2+4-3k| |4k+2+4-3k| 由已知,得 = , 2 2 1+k 1+k 2 ∴k=2 或 k=- . 3 ∴所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜 率为________. 答案 -1 3-a-b 解析 由题可知 kPQ= =1,又 klkPQ=-1? kl=-1. 3-b-a 6. 若直线 ax-2y+2=0 与直线 x+(a-3)y+1=0 平行,则实数 a 的值为________. 答案 1 解析 由两直线平行的条件得 a(a-3)=-2,解得 a=1 或 2,经检验,a=2 时两直线 重合,所以两直线平行时,实数 a 的值为 1. 7. 若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________. 答案 ①⑤ |3-1| 解析 两直线 x-y+1=0 与 x-y+3=0 之间的距离为 = 2,又动直线 l1 与 l2 2 )

10

所截得的线段长为 2 2,故动直线与两直线的夹角应为 30°,因此只有①⑤适合. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0,4)的 距离为 2 的直线方程. 解 由?
? ?x-2y+3=0, ?2x+3y-8=0, ?

解得?

? ?x=1, ?y=2, ?

∴l1,l2 的交点为(1,2). 设所求直线方程为 y-2=k(x-1). 即 kx-y+2-k=0, ∵P(0,4)到直线的距离为 2, |-2-k| 4 ∴2= ,解得:k=0 或 k= . 2 3 1+k ∴直线方程为 y=2 或 4x-3y+2=0. 9. (12 分)已知两直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的

a,b 的值.
(1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等. 解 (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)?1=0,
2

即 a -a-b=0.① 又点(-3,-1)在 l1 上,∴-3a+b+4=0.② 由①②得 a=2,b=2. (2)∵l1∥l2,∴a+b(a-1)=0,∴b= 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为: 4? (a-1)x+y+ , 1-a

a

a-1? a =0,(a-1)x+y+ =0, a 1-a

又原点到 l1 与 l2 的距离相等. ∴4?

?a-1?=? a ?,∴a=2 或 a=2, ? ? ? 3 ? a ? ?1-a?

2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsin A+ay+c=0 与

11

bx-ysin B+sin C=0 的位置关系是
( A.平行 C.垂直 答案 C 解析 由 = ,得 bsin A-asin B=0. sin A sin B ∴两直线垂直. 2. 如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反 射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光 线所经过的路程是 A.2 10 C.3 3 答案 A B.6 D.2 5 ( ) ) B.重合 D.相交但不垂直

a

b

解析 由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2),关于 y 轴的对称 点为 C(-2,0),则光线所经过的路程 PMN 的长为|CD|=2 10. 3. 过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为 A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0 答案 A 解析 所求直线与直线 OA 垂直,∵kOA=2, 1 ∴所求直线方程为 y-2=- (x-1), 2 即 x+2y-5=0. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k y-4k -4=0 与两坐标轴围 成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为________. 答案 1 8
2 2

(

)

B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0

解析 由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 4-k,直线 l2 的横截 1 1 2 2 2 距为 2k +2,所以四边形的面积 S= ?2?(4-k)+ ?4?(2k +2)=4k -k+8,故面 2 2 1 积最小时,k= . 8

12

5. 一条光线沿直线 2x-y+2=0 入射到直线 x+y-5=0 后反射, 则反射光线所在的直线方 程为________. 答案 x-2y+7=0 解析 取直线 2x-y+2=0 上一点 A(0,2),设点 A(0,2)关于直线 x+y-5=0 对称的点 为 B(a,b),

a b+2 ? ?2+ 2 -5=0 则? b-2 ? ? a =1

,解得?

? ?a=3 ?b=5 ?



? ?2x-y+2=0 ∴B(3,5),联立方程,得? ?x+y-5=0 ?

,解得?

? ?x=1 ?y=4 ?



∴直线 2x-y+2=0 与直线 x+y-5=0 的交点为 P(1,4), ∴反射光线在经过点 B(3,5)和点 P(1,4)的直线上, 4-5 其直线方程为 y-4= (x-1),整理得 x-2y+7=0. 1-3 6. 已知直线 x+2y=2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,若动点 P(a,b)在线段 AB 上, 则 ab 的最大值为________. 答案 1 2

解析 由题意知 A(2,0), B(0,1), 所以线段 AB 的方程用截距式表示为 +y=1, x∈[0,2], 2 又动点 P(a,b)在线段 AB 上,所以 +b=1,a∈[0,2],又 +b≥2 2 2 所以 1≥2

x

a

a

ab
2



ab
2

1 a 1 ,解得 0≤ab≤ ,当且仅当 =b= , 2 2 2

1 ? 1? 即 P?1, ?时,ab 取得最大值 . 2 ? 2? 三、解答题 7. (13 分)如图,函数 f(x)=x+ 2

x

的定义域为(0,+∞).设点 P

是函数图象上任一点,过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线, 垂足分别为 M,N. (1)证明:|PM|?|PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. (1)证明 设 P?x0,x0+

? ?

x0 ?

2?

? (x0>0).

13

则|PN|=x0,|PM|=

? 2? ? ? ? x0 ? 1
2

= ,因此|PM|?|PN|=1.

x0

(2)解 直线 PM 的方程为 y-x0- 即 y=-x+2x0+ 2 .

2

x0

=-(x-x0),

x0

y=x, ? ? 解方程组得? 2 y=-x+2x0+ , ? x0 ? S 四边形 OMPN=S△NPO+S△OPM
1 1 = |PN||ON|+ |PM||OM| 2 2 1 ? 1 ? 2? 2? = x0?x0+ ?+ ?x0+ ? 2 ? x0 ? 2x0 ? 2x0? 1? 2 1 ? = 2+ ?x0+ 2?≥1+ 2, x0? 2?

x=y=x0+

2 2x0



1 当且仅当 x0= ,即 x0=1 时等号成立,

x0

因此四边形 OMPN 的最小值为 1+ 2.

14


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