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高三数学-无锡市辅仁高中2016届高三上学期12月月测数学试卷

时间:2018-03-08


2015-2016 学年江苏省无锡市辅仁高中高三(上)12 月月测数学 试卷

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1.已知复数 z 满足 (i 为虚数单位),则|z|= .

2.已知集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣1>0},则 A∩B=



3.设点

是角 α 终边上一点,若

,则 m=



4.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面, 记所得的数字分别为 x,y,则 为整数的概率是 .

5.执行如图所示的算法流程图,则输出的结果是



6.直线 3x+4y﹣15=0 被圆 x2+y2=25 截得的弦 AB 的长为



1

7.已知等差数列{an},a4+a6=10,前 5 项的和 S5=5,则其公差为



8.已知双曲线 x2﹣

=1 的一条渐近线与直线 x﹣2y+3=0 垂直,则 a=



9.设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b= .

,则

10.已知平行四边形 ABCD 中,AD=2,∠BAD=60°,若 E 为 DC 中点,且 ? = .

?

=1,则

11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

的右顶点为 A,上顶点 .

为 B,M 为线段 AB 的中点,若∠MOA=30°,则该椭圆的离心率的值为

12.过点 P(﹣1,0)作曲线 C:y=ex 的切线,切点为 T1,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1, 过点 H1 再作曲线 C 的切线,切点为 T2,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H2,依次下去,得到第 n+1(n∈N)个切点 Tn+1,则点 T2015 的坐标为 .

13.如图,点 C 为半圆的直径 AB 延长线上一点,AB=BC=2,过动点 P 作半圆的切线 PQ, 若 ,则△ PAC 的面积的最大值为 .

14.△ ABC 中,tanA= ,B= 是 .

.若椭圆 E 以 AB 为长轴,且过点 C,则椭圆 E 的离心率

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二、 解答题: 本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内.[ 15.在△ ABC 中, ,BC=3,点 D 在 BC 边上.

(1)若 AD 为∠A 的平分线,且 BD=1,求△ ABC 的面积; (2)若 AD 为△ ABC 的中线,且 AD= ,求证:△ ABC 为等边三角形.

16. AB∥CD, AC⊥BD, AC 与 BD 交于点 O, 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 且平面 PAC⊥ 底面 ABCD,E 为棱 PA 上一点. (1)求证:BD⊥OE; (2)若 AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面 PBC.

17.平面直角坐标系 xOy 中,已知⊙M 经过点 F1(0,﹣c),F2(0,c),A( 三点,其中 c>0. (1)求⊙M 的标准方程(用含 c 的式子表示); (2)已知椭圆

c,0)

(其中 a2﹣b2=c2)的左、右顶点分别为 D、B,⊙M

与 x 轴的两个交点分别为 A、C,且 A 点在 B 点右侧,C 点在 D 点右侧. ①求椭圆离心率的取值范围; ②若 A、B、M、O、C、D(O 为坐标原点)依次均匀分布在 x 轴上,问直线 MF1 与直线 DF2 的交点是否在一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若不是,请说明理由.

3

18.某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其中 E(0,t)(0<t≤25,单位:米);曲线 BC 是抛 物线 y=﹣ax2+50(a>0)的一部分;CD⊥AD,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.假定拟建体育 馆的高 OB=50 米. (1)若要求 CD=30 米,AD= 米,求 t 与 a 的值;

(2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 ,求 AD 的最大值. ,则 )

(参考公式:若

19.已知数列{an},{bn}满足 a1=3,anbn=2,bn+1=an(bn﹣ (1)求证:数列{ }是等差数列,并求数列{bn}的通项公式;

),n∈N*.

(2)设数列{cn}满足 cn=2an﹣5,对于任意给定的正整数 p,是否存在正整数 q,r(p<q< r),使得 , , 成等差数列?若存在,试用 p 表示 q,r;若不存在,说明理由.

20.已知函数 f(x)=ex(其中 e 是自然数的底数),g(x)=x2+ax+1,a∈R. (1)记函数 F(x)=f(x)?g(x),且 a>0,求 F(x)的单调增区间; (2)若对任意 x1,x2∈[0,2],x1≠x2,均有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立, 求实数 a 的取值范围.

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2015-2016 学年江苏省无锡市辅仁高中高三 12 月月 (上) 测数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1.已知复数 z 满足 【考点】复数求模. 【专题】计算题;分析法;数系的扩充和复数. 【分析】先求出复数 z,然后利用求模公式可得答案. 【解答】解:由 iz=1+i 得, 故|z|= 故答案为:2. 【点评】本题考查复数代数形式的运算、复数求模,属基础题. . = = , (i 为虚数单位),则|z|= 2 .

2.已知集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣1>0},则 A∩B= {2} . 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】求出集合 B 中不等式的解集,确定出 B,得出两集合的交集即可. 【解答】解:∵x2﹣1>0, ∴x<﹣1 或 x>1, 即 B={x|x<﹣1 或 x>1}, ∵A={﹣1,0,1,2}, ∴A∩B={2}. 故答案为:{2} 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

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3.设点

是角 α 终边上一点,若

,则 m=



【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】方程思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 m 的值. 【解答】解:由题意可得 cosα= 故答案为: . = ,求得 m= ,

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.

4.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面, 记所得的数字分别为 x,y,则 为整数的概率是 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题. 【分析】 本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是抛掷甲、 乙两枚质地均匀的正四面体, 共有 4×4 种结果,满足条件的事件是 为整数,包括当 y=1 时,有 4 种结果,以此类推,列 举出所有结果,根据古典概型概率公式得到结果. 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型, ∵试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体, 记所得的数字分别为 x,y,共有 4×4=16 种结果, 满足条件的事件是 为整数,包括当 y=1 时,有 4 种结果, 当 y=2 时,有 2 种结果, 当 y=3 时,有 1 种结果, 当 y=4 时,有 1 种结果, 共有 4+2+1+1=8 种结果, ∴根据古典概型概率公式得到 P= 故答案为: 【点评】本题考查古典概型,是一个与数字结合的古典概型问题,数字问题是经常出现的概 率问题,并且常考常新,是一个基础题.
6



= ,

5.执行如图所示的算法流程图,则输出的结果是 ﹣1 .

【考点】程序框图. 【专题】图表型;试验法;算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 n=1 时,不满足退出循环的条件:S= ,n=2; 当 n=2 时,不满足退出循环的条件:S=﹣1,n=3; 当 n=3 时,不满足退出循环的条件:S=2,n=4; 当 n=4 时,不满足退出循环的条件:S= ,n=5; 当 n=5 时,不满足退出循环的条件:S=﹣1,n=6; 当 n=6 时,不满足退出循环的条件:S=2,n=7; 当 n=7 时,不满足退出循环的条件:S= ,n=8; 当 n=8 时,不满足退出循环的条件:S=﹣1,n=9; 当 n=9 时,满足退出循环的条件, 故输出的 S 值为:﹣1, 故答案为:﹣1

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【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正 确的结论,是中档题.

6.直线 3x+4y﹣15=0 被圆 x2+y2=25 截得的弦 AB 的长为 8 . 【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】计算题. 【分析】求出圆的圆心坐标、半径,利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理, 求出半弦长即可. 【解答】解:x2+y2=25 的圆心坐标为(0,0)半径为:5,所以圆心到直线的距离为: d= ,

所以 |AB|= 所以|AB|=8 故答案为:8

=4,

【点评】本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离、弦长问题,考查计算 能力.

7.已知等差数列{an},a4+a6=10,前 5 项的和 S5=5,则其公差为 2 . 【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 【专题】计算题. 【分析】设公差为 d,由题意可得 2a1+8d=10,5a1+ =5,解方程组求得 d 的值.

【解答】解:∵等差数列{an},a4+a6=10,前 5 项的和 S5=5,设公差为 d. 由题意可得 2a1+8d=10,5a1+ 解方程组求得 d=2, 故答案为 2. 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式,前 n 项和公式的应用,属于基础题. =5,

8.已知双曲线 x2﹣

=1 的一条渐近线与直线 x﹣2y+3=0 垂直,则 a= 4 .
8

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】首先根据题意,由双曲线的方程判断出 a>0,进而可得其渐近线的方程;再求得 直线 x﹣2y+3=0 的斜率,根据直线垂直判断方法,可得 【解答】解:根据题意,已知双曲线的方程为 =2,解可得答案. ,则 a>0;

双曲线

的渐近线方程为 y=±

x;

直线 x﹣2y+3=0 的斜率为 ,

若双曲线的一条渐近线与直线 x﹣2y+3=0 垂直,必有双曲线 率为﹣2; 即 =2,即 a=4;

的一条渐近线的斜

故答案为:4. 【点评】 本题考查双曲线的性质, 要求学生掌握由双曲线的方程求其渐近线方程的基本方法.

9.设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b= 或3 .

,则

【考点】正弦定理. 【专题】计算题;分类讨论;分析法;解三角形. 【分析】由 sinB= ,可得 B= , 或 B= ,结合 a= ,C= 及正弦定理即可求 b 的值.

【解答】解:∵sinB= ∴B= 当 B= 或 B= 时,a= , ,C=

,A=



由正弦定理可得,

,解得 b= ,

9

当 B=

时,C=

,A=

,由正弦定理可得:

=3.

故答案为: 或 3. 【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理,熟练掌握定理是解本题的关键,考查了分 类讨论思想和计算能力,属于中档题.

10.已知平行四边形 ABCD 中,AD=2,∠BAD=60°,若 E 为 DC 中点,且 ? = 3 .

?

=1,则

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由已知等式求出 AB 的长度,利用平面向量的数量积解答即可. AD=2, ∠BAD=60°, 【解答】 解: 由已知平行四边形 ABCD 中, 若 E 为 DC 中点, 且 =1, 则( 设| 所以 = 故答案为:3. 【点评】 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算; 利用平行四边形的性质得到 向量相等. ) =1,展开得到 =1, ?

|=x,整理则 x2+x﹣6=0,解得 x=2,所以 AB=2. ? =( )( )=( =4﹣ )( × ﹣2× ) =3;

11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

的右顶点为 A,上顶点

为 B,M 为线段 AB 的中点,若∠MOA=30°,则该椭圆的离心率的值为 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题.



【分析】求出 AB 的中点 M 的坐标,利用∠MOA=30°,得到 a,b 关系,通过 a,b,c 的关 系,求出椭圆的离心率.
10

【解答】解:由题意可知 M(

),又∠MOA=30°,所以 tan30°= = ,

∴a2=3b2. 又 b2=a2﹣c2, 所以 2a2=3c2, 所以椭圆的离心率为: 故答案为: . .

【点评】本题考查椭圆的基本性质,椭圆的离心率的求法,考查计算能力.

12.过点 P(﹣1,0)作曲线 C:y=ex 的切线,切点为 T1,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1, 过点 H1 再作曲线 C 的切线,切点为 T2,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H2,依次下去,得到第 n+1(n∈N)个切点 Tn+1,则点 T2015 的坐标为 (2014,e2014) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】方程思想;归纳法;导数的概念及应用. 【分析】设 T1(x1, ),可得切线方程代入点 P 坐标,可解得 x1=0,即 T1(0,1),

可得 H1(0,0),求出切线方程代入点 H1(0,0),可得 T2(1,e),H2(1,0),…, 由此可推得规律,从而可得结论. 【解答】解:设 T1(x1, 故切线方程为 y﹣ 可得 0﹣ = = ),此处的导数值为 ,

(x﹣x1),代入点 P(﹣1,0),

(﹣1﹣x1),解得 x1=0,

即 T1(0,1),H1(0,0), 同理可得过点 H1 再作曲线 C 的切线方程为 y﹣ 代入点 H1(0,0), 可得 0﹣ = (0﹣x2), = (x﹣x2),

可解得 x2=1,故 T2(1,e),H2(1,0), …

11

依次下去,可得 T2015 的坐标为(2014,e2014) 故答案为:(2014,e2014). 【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程,归纳推理是解决问题的关键,属中 档题.

13.如图,点 C 为半圆的直径 AB 延长线上一点,AB=BC=2,过动点 P 作半圆的切线 PQ, 若 ,则△ PAC 的面积的最大值为 .

【考点】圆的切线的性质定理的证明. 【专题】直线与圆. 【分析】以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系,利用 两点间距离公式推导出点 P 的轨迹方程是以(﹣ ,0)为圆心,以 能求出△ PAC 的面积的最大值. 【解答】解:以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系, ∵AB=BC=2,∴C(3,0), 设 P(x,y), ∵过动点 P 作半圆的切线 PQ, ∴ = , , 为半径的圆,由此

整理,得 x2+y2+3x﹣6=0, ∴点 P 的轨迹方程是以(﹣ ,0)为圆心, 以 r= = 为半径的圆,

∴当点 P 在直线 x=﹣ 上时,△ PAC 的面积的最大, ∴(S△ PAC)max= = .

12

故答案为:



【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意两点间 距离公式的合理运用.

14.△ ABC 中,tanA= ,B= . 【考点】椭圆的简单性质.

.若椭圆 E 以 AB 为长轴,且过点 C,则椭圆 E 的离心率是

【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由已知求得 sinA、sinB、sinC 的值,设出 BC 的长度,再由题意建系求出椭圆的方 程,进一步求得椭圆 E 的离心率. 【解答】解:由 tanA= ,得 sinA= 又 B= ,∴sinB= ,cosB= . = : . . ,cosA= .

则 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 由正弦定理可得 BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=1: 不妨取 BC=1,CA= ,AB= .

以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点 O 为原点建系(C 在上方),D 是 C 在 AB 上的射影. 求得 AD= ,OD= ,CD= ,∴点 C( ).

设椭圆方程

,则 a2=2,且

,解得:







13



,e=



故答案为:



【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查计算能力, 是中档题.

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内.[ 15.在△ ABC 中, ,BC=3,点 D 在 BC 边上.

(1)若 AD 为∠A 的平分线,且 BD=1,求△ ABC 的面积; (2)若 AD 为△ ABC 的中线,且 AD= 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形;平面向量及应用. 【分析】 (1) 利用正弦定理可得: , AC=2AB, , 相除得: ,求证:△ ABC 为等边三角形.

利用余弦定理可求 AC,AB 的值,根据三角形面积公式即可求值得解. (2) 由 AB2+AC2+AB?AC=27, , 平方整理可得: 又 AB2+AC2﹣AB?AC=BC2=9,

相减得 AB?AC=9,解得 AB=AC,又∠C=60°,即可得证. 【解答】解:(1)在△ ABD 中, 相除得:AC=2AB. …3 分 在△ ABC 中, ∴AB= ∴ (2)∵ ,∴ ,AC=2 …6 分 …7 分 , ,在△ ACD 中, ,

∴AB2+AC2+AB?AC=27…9 分 又 AB2+AC2﹣AB?AC=BC2=9,

14

相减得 AB?AC=9,…11 分 ∴AB2+AC2﹣AB?AC=9=AB?AC,∴(AB﹣AC)2=0 即:AB=AC,又∠C=60°,∴三角形 ABC 为等边三角形.…14 分. 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的综合应用,考查了平面向 量的应用,考查了转化思想和计算能力,属于中档题.

16. AB∥CD, AC⊥BD, AC 与 BD 交于点 O, 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 且平面 PAC⊥ 底面 ABCD,E 为棱 PA 上一点. (1)求证:BD⊥OE; (2)若 AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面 PBC.

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (1) 由面面垂直的性质得 BD⊥平面 PAC, 由此利用线面垂直的性质能证明 BD⊥OE. (2)由已知得 =2,由 AB∥CD,AC 与 BD 交于点 O,得 ,从而利用平行线

分线段成比例定理得 OE∥PC,由此能证明 EO∥平面 PBC. 【解答】(1)证明:在四棱锥 P﹣ABCD 中, ∵AC⊥BD,且平面 PAC⊥底面 ABCD,BD∩AC=O, ∴BD⊥平面 PAC, ∵OE?平面 PAC,∴BD⊥OE. (2)证明:∵AB=2CD,AE=2EP,∴ ∵AB∥CD,AC 与 BD 交于点 O, ∴△AOB∽△COD,∴ , =2,

15



,∴OE∥PC,

∵EO?平面 PBC,PC?平面 PBC, ∴EO∥平面 PBC. 【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查线面平行的证明,是中档题,解题时要认真审 题,注意空间思维能力的培养.

17.平面直角坐标系 xOy 中,已知⊙M 经过点 F1(0,﹣c),F2(0,c),A( 三点,其中 c>0. (1)求⊙M 的标准方程(用含 c 的式子表示); (2)已知椭圆

c,0)

(其中 a2﹣b2=c2)的左、右顶点分别为 D、B,⊙M

与 x 轴的两个交点分别为 A、C,且 A 点在 B 点右侧,C 点在 D 点右侧. ①求椭圆离心率的取值范围; ②若 A、B、M、O、C、D(O 为坐标原点)依次均匀分布在 x 轴上,问直线 MF1 与直线 DF2 的交点是否在一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若不是,请说明理由. 【考点】圆与圆锥曲线的综合;直线的一般式方程;圆的标准方程;椭圆的简单性质. 【专题】综合题.

【分析】(1)设⊙M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由题设,得

,由

此能求出⊙M 的方程. (2)⊙M 与 x 轴的两个交点 , ,又 B(b,0),D(﹣b,

0),由题设

,由此能求出椭圆离心率的取值范围.

(3) 由

, 得

. 所以直线 MF1 的方程为 上.



由此能够导出直线 MF1 与直线 DF2 的交点 Q 在定直线 【解答】解:(1)设⊙M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

16

则由题设,得

解得

⊙M 的方程为 ⊙M 的标准方程为 (2)⊙M 与 x 轴的两个交点 又 B(b,0),D(﹣b,0),

, ; , ,

由题设



所以

解得





.所以椭圆离心率的取值范围为 . . , .



(3)由(1),得 由题设,得 ∴

∴直线 MF1 的方程为



①直线 DF2 的方程为



②由①②,得直线 MF1 与直线 DF2 的交点 易知 为定值, 上.



∴直线 MF1 与直线 DF2 的交点 Q 在定直线
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【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意圆曲线的性 质和公式的合理运用.

18.某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其中 E(0,t)(0<t≤25,单位:米);曲线 BC 是抛 物线 y=﹣ax2+50(a>0)的一部分;CD⊥AD,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.假定拟建体育 馆的高 OB=50 米. (1)若要求 CD=30 米,AD= 米,求 t 与 a 的值;

(2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 ,求 AD 的最大值. ,则 )

(参考公式:若

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (1)由 CD=50﹣t=30,解得 t=20.可得圆 E:x2+(y﹣20)2=302,令 y=0,得|AO|, 即可得出|OD|=|AD|﹣|AO|,将点 C 代入 y=﹣ax2+50(a>0)中,解得 a 即可. (2)由于圆 E 的半径为 50﹣t,可得 CD=50﹣t,在 y=﹣ax2+50 中,令 y=50﹣t,得 由题意知 即 (3) 当 从而 方法一:利用导数研究其单调性极值即可; 方法二:(三角换元)令 解出即可;
18



对 t∈(0,25]恒成立, 恒成立,利用基本不等式的性质解出即可. 时,
2 2 = , 又圆 E 的方程为 x2+ (y﹣t) (50﹣t) , 令 y=0, 得





,利用三角函数的单调性值域,

方法三:令

,则题意相当于:已知 x2+y2=25(x≥0,y≥0),求 z=AD=5×

(2x+y)的最大值.利用线性规划的有关知识解出即可. 【解答】解:(1)∵CD=50﹣t=30,解得 t=20. 此时圆 E:x2+(y﹣20)2=302, 令 y=0,得 ∴ 将点 解得 . , , 代入 y=﹣ax2+50(a>0)中,

(2)∵圆 E 的半径为 50﹣t, ∴CD=50﹣t,在 y=﹣ax2+50 中,令 y=50﹣t,得 则由题意知 ∴ 故 (3)当 恒成立,而当 ,解得 时, . , 对 t∈(0,25]恒成立, ,即 t=25 时, 取最小值 10, ,

又圆 E 的方程为 x2+(y﹣t)2=(50﹣t)2, 令 y=0,得 ∴ 从而 又∵f′(t)=5 令 f'(t)=0,得 t=5, 当 t∈(0,5)时,f'(t)>0,f(t)单调递增;当 t∈(5,25)时,f'(t)<0,f(t)单调 递减,从而当 t=5 时,f(t)取最大值为 25 答:当 t=5 米时,AD 的最大值为 25 (3)方法二:(三角换元)令 米. ,则 . = , , , ,

=
19

,其中 ? 是锐角,且



从而当 方法三:令

时,AD 取得最大值为 25

米.

,则题意相当于:已知 x2+y2=25(x≥0,y≥0),求 z=AD=5×

(2x+y)的最大值. 根据线性规划知识,当直线 y=﹣2x+ 与圆弧 x2+y2=25(x≥0,y≥0)相切时,z 取得最大值 为 25 米.

【点评】 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、 利用导数研究函数的单调性极值与最 值、三角函数换元、线性规划的有关知识,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与 计算能力,属于难题.

19.已知数列{an},{bn}满足 a1=3,anbn=2,bn+1=an(bn﹣ (1)求证:数列{ }是等差数列,并求数列{bn}的通项公式;

),n∈N*.

(2)设数列{cn}满足 cn=2an﹣5,对于任意给定的正整数 p,是否存在正整数 q,r(p<q< r),使得 , , 成等差数列?若存在,试用 p 表示 q,r;若不存在,说明理由.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(1)由已知条件推导出 bn+1=anbn﹣ 并能求出数列{bn}的通项公式. (2)由 an=n+2,得以 cn=2an﹣5=2n﹣1,由此推导出当 p=1 时,不存在 q,r 满足题设条件; 当 p≥2 时,存在 q=2p﹣1,r=4p2﹣5p+2,满足题设条件. 【解答】(1)证明:∵anbn=2,∴ 则 bn+1=anbn﹣ , = ,由此能证明{ }是等差数列,

=2﹣

=2﹣
20

=

,…

∴ 又 a1=3,∴ ∴{ 即

, ,

}是首项为 ,公差为 的等差数列,… = ,∴ .…

(2)解:由(1)知 an=n+2,∴cn=2an﹣5=2n﹣1, ①当 p=1 时,cp=c1=1,cq=2q﹣1,cr=2r﹣1, 若 , , 成等差数列,则 ,1+ (*), >1,

∵p<q<r,∴q≥2,r≥3, ∴(*)不成立.… ②当 p≥2 时,若 则 = , , ,

成等差数列,



=



即 2r﹣1=

,∴r=

,…

欲满足题设条件,只需 q=2p﹣1,此时 r=4p2﹣5p+2,… ∵p≥2,∴q=2p﹣1>p,r﹣q=4p2﹣7p+3=4(p﹣1)2+p﹣1>0, 即 r>q. 综上所述,当 p=1 时,不存在 q,r 满足题设条件; 当 p≥2 时,存在 q=2p﹣1,r=4p2﹣5p+2,满足题设条件.… 【点评】本题考查等差数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查使得数列为等差数列 的正整数是否存在的判断,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用. …

20.已知函数 f(x)=ex(其中 e 是自然数的底数),g(x)=x2+ax+1,a∈R. (1)记函数 F(x)=f(x)?g(x),且 a>0,求 F(x)的单调增区间;
21

(2)若对任意 x1,x2∈[0,2],x1≠x2,均有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立, 求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(1)求出函数的导数,即可求函数 f(x)的单调区间; (2)设 x1<x2,因为 g(x)=ex 在[0,2]单调递增,故原不等式等价于|f(x1)﹣f(x2)| <g(x2)﹣g(x1)在 x1、x2∈[0,2],且 x1<x2 恒成立,当 a≥﹣(ex+2x)恒成立时,a≥ ﹣1;当 a≤ex﹣2x 恒成立时,a≤2﹣2ln2,综合讨论结果,可得实数 a 的取值范围. 【解答】解:(1)y=f(x)?g(x)=(x2+ax+1)?ex, ∴F'(x)=[x2+(a+2)x+(a+1)]ex, 令 F'(x)=0,则 x2+(a+2)x+(a+1)=0,即[x+(a+1)](x+1)=0,解得 x=﹣1,或 x= ﹣a﹣1 ∵a>0,∴﹣a﹣1<﹣1, ∵x∈[﹣a﹣1,﹣1]时,y'<0,x∈(﹣∞,﹣a﹣1)和(﹣1,+∞)时,y'>0, ∴函数 F(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣a﹣1)和(﹣1,+∞), (2)设 x1<x2,因为 f(x)=ex 在[0,2]单调递增, 故原不等式等价于|f(x1)﹣f(x2)|<g(x2)﹣g(x1)在 x1、x2∈[0,2],且 x1<x2 恒成 立, 所以 g(x1)﹣g(x2)<f(x1)﹣f(x2)<g(x2)﹣g(x1)在 x1、x2∈[0,2],且 x1<x2 恒成立, 即 ,在 x1、x2∈[0,2],且 x1<x2 恒成立,

则函数 F(x)=g(x)﹣f(x)和 G(x)=f(x)+g(x)都在[0,2]单调递增, 则有 ,在[0,2]恒成立,

当 a≥﹣(ex+2x)恒成立时,因为﹣(ex+2x)在[0,2]单调递减, 所以﹣(ex+2x)的最大值为﹣1,所以 a≥﹣1; 当 a≤ex﹣2x 恒成立时,因为 ex﹣2x 在[0,ln2]单调递减,在[ln2,2]单调递增, 所以 ex﹣2x 的最小值为 2﹣ln2,所以 a≤2﹣2ln2, 综上:﹣1≤a≤2﹣2ln2.
22

【点评】 本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用, 利用导数分析函数的单调性, 利用导数分析函数的极值,运算量大,综合性强,转化困难,属于难题.

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