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双曲线的标准方程


§ 2.3.1 双曲线及其标准方程导学案(61)
撰稿: 姓名: 【教学目标】 审核: 班级: 时间:2014-12-14 级别: 组名:

1.掌握双曲线的定义; 2.掌握双曲线的标准方程. 【重点难点】 ▲重点:掌握双曲线的标准方程 ▲难点:掌握双曲线的定义 【学法指导】 以自学为主,教师讲授为辅 【知识链接】 (预习教材理 P52~ P55,文

P45~ P48 找出疑惑之处) 复习 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么?

复习 2:在椭圆的标准方程 合条件的椭圆方程.

x2 y 2 ? ? 1 中, a , b, c 有何关系?若 a ? 5, b ? 3 ,则 c ? ? 写出符 a 2 b2

【学习过程】 问题 1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样? 如图 2-23,定点 F1 , F2 是两个按钉, MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿 过套管,点 M 移动时, MF1 ? MF2 是常数,这样就画出一条曲线; 由 MF2 ? MF1 是同一常数,可以画出另一支.

知识点一:双曲线的定义 平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的 线。 两定点 F1 , F2 叫做双曲线的 ,

等于常数(小于 F1 F2 ) 的点的轨迹叫做双曲

两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线的 反思:设常数为 2 a ,为什么 2a ? F1 F2 ?
2a ? F1 F2 时,轨迹是 2a ? F1 F2 时,轨迹



; .

试试:点 A(1,0) , B (?1, 0) ,若 AC ? BC ? 1 ,则点 C 的轨迹是 知识点二: :双曲线的标准方程:



x2 y 2 ? ? 1,(a ? 0, b ? 0, c2 ? a2 ? b2 ) (焦点在 x 轴) a 2 b2 其焦点坐标为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) .
思考:若焦点在 y 轴,标准方程又如何?

※ 典型例题 例 1 已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,双曲线上任意点到 F1 , F2 的距离的差的绝对 值等于 6 ,求双曲线的标准方程.

变式:已知双曲线 离为 .

x2 y 2 ? ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10,则点 P 到右焦点的距 16 9

例 2 已知 A, B 两地相距 800 m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ,且声速为 340m / s , 求炮弹爆炸点的轨迹方程.

变式:如果 A, B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么?

小结:采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置. 【基础达标】 A1:求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 ; (2)焦点为 (0, ?6),(0,6) ,且经过点 (2, ?5) .

B2.点 A, B 的坐标分别是 (?5,0) , (5, 0) ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们斜率之积是 4 ,试求点 M 的轨迹方程式,并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状. 9

【课堂小结】 1 .双曲线的定义; 2 .双曲线的标准方程. 【知识拓展】 GPS(全球定位系统): 双曲线的一个重要应用. 在例 2 中,再增设一个观察点 C ,利用 B , C 两处测得的点 P 发出的信号的时间差,就 可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定点 P 的准确位置.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 【当堂检测】 (时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.动点 P 到点 M (1, 0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是(

) .

A. 双曲线 C. 两条射线

B. 双曲线的一支 D. 一条射线

2.双曲线 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么实数 k 的值为( ) . A. ? 25 B. 25 C. ?1 D. 1 3.双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 a ? 2 ,则 b ? ( ) . A. 5 B. 13 C.
5

D.

13

4.已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 . 则动点 P 的轨迹方程 为 . 2 2 x y 5.已知方程 . ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围 2 ? m m ?1

课后作业
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 2 5 ,经过点 A(?5, 2) ; (2)经过两点 A(?7, ?6 2) , B(2 7,3) .

2. 相距 1400m A, B 两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ,已知声速是 340m / s ,问炮 弹爆炸点在怎样的曲线上,为什么?

【学习反思】本节课我最大的收获是

我还存在的疑问是

我对导学案的建议是

§ 2.3.2 双曲线的简单几何性质(1)导学案(62)
撰稿:刘贺 姓名: 【教学目标】 审核: :王兴仁 班级: 级别: 时间:2014-12-14 组名:

理解并掌握双曲线的几何性质. 【重点难点】 ▲重点:掌握双曲线的几何性质 ▲难点:理解双曲线的几何性质 【学法指导】 以自学为主,教师讲授为辅 【知识链接】 (预习教材理 P56~ P58,文 P49~ P51 找出疑惑之处) 复习 1:写出满足下列条件的双曲线的标准方程: ① a ? 3, b ? 4 ,焦点在 x 轴上; ②焦点在 y 轴上,焦距为 8, a ? 2 .

复习 2:前面我们学习了椭圆的哪些几何性质?

【学习过程】 知识点一:双曲线的几何性质 问题 1:由椭圆的哪些几何性质出发,类比探究双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的几何性质? a 2 b2

范围: x : 对称性:双曲线关于 顶点: ( ) , ( 实轴,其长为

y:
轴、 轴及 都对称.

) . ;虚轴,其长为



离心率: e ?

c ?1. a

渐近线: x2 y 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为: ? ? 0 . a b a b 问题 2:双曲线 图形: 范围: x : 对称性:双曲线关于 顶点: ( ) , ( 实轴,其长为 离心率: e ? 渐近线:

y 2 x2 ? ? 1 的几何性质? a 2 b2

y:
轴、 轴及 都对称.

) ;虚轴,其长为



c ?1. a

y 2 x2 . ? ? 1 的渐近线方程为: a 2 b2 新知:实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线.
双曲线

※ 典型例题
例 1 求双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程. 49 25

变式:求双曲线 9 y 2 ? 16x2 ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

例 2 求双曲线的标准方程: ⑴实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; ⑵离心率 e ? 2 ,经过点 M (?5,3) ; 2 9 ⑶渐近线方程为 y ? ? x ,经过点 M ( , ?1) . 3 2

【基础达标】 A1:求以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程. 8 5

B2. 对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是 F1 (?6,0) , 求它的标准方程和渐近线 方程.

【课堂小结】 双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线. 【知识拓展】 x2 y 2 x2 y 2 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线系方程式为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a b a b

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

【当堂检测】 (时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 1. 双曲线 ? . ? 1 实轴和虚轴长分别是( ) 16 8 A. 8 、 4 2 B. 8 、 2 2 C.4、 4 2 D.4、 2 2 2.双曲线 x2 ? y 2 ? ?4 的顶点坐标是( ) . , 2 A. (0, ?1) B. (0, ?2) C. (?1,0) D. ( ?0
2 2



x y . ? ? 1 的离心率为( ) 4 8 A.1 B. 2 C. 3 D.2 2 2 4.双曲线 x ? 4 y ? 1 的渐近线方程是 . 5. 经过点 A(3, ?1) , 并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是
3. 双曲线



课后作业
1.求焦点在 y 轴上,焦距是 16, e ?

4 的双曲线的标准方程. 3

3. 求与椭圆

x2 y 2 5 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 e ? 的双曲线的方程. 4 49 24

【学习反思】本节课我最大的收获是

我还存在的疑问是

我对导学案的建议是

§ 2.3.2 双曲线的简单几何性质(2)导学案(63)
撰稿:陈娟 姓名: 【教学目标】 班级: 审核: 级别: 时间:2011-2-14 组名:

1.从具体情境中抽象出双曲线的模型; 2.掌握双曲线的定义; 3.掌握双曲线的标准方程. 【重点难点】 ▲重点:掌握双曲线的标准方程 ▲难点:掌握双曲线的定义 【学法指导】 以自学为主,教师讲授为辅 【知识链接】 (预习教材理 P58~ P60,文 P51~ P53 找出疑惑之处) 复习 1:说出双曲线的几何性质?

复习 2:双曲线的方程为 其顶点坐标是( 渐近线方程

x2 y 2 ? ? 1, 9 14 ),( );


【学习过程】 知识点一:掌握双曲线的标准方程. 探究 1:椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 64 的焦点是?

探究 2:双曲线的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 ,则可设双曲线方程为?

问题:若双曲线与 x2 ? 4 y 2 ? 64 有相同的焦点,它的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 ,则双曲 线的方程是?

※ 典型例题 例 1 双曲线型冷却塔的外形, 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面, 它的最小半径为 12m ,上口半径为 13m ,下口半径为 25m ,高为 55m ,试选择适当的坐标系,求出此双曲 线的方程.

例 2 点 M ( x, y ) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线 l : x ? 轨迹.

16 5 的距离的比是常数 , 求点 M 的 4 5

(理) 例 3 过双曲线 两点的坐标.

x2 y 2 倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两点, 求 A, B ? ? 1 的右焦点, 3 6

变式:求 AB ? 思考: ?AF1 B 的周长?

【基础达标】 x2 y 2 x2 y 2 A1.若椭圆 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 的焦点相同,则 a =____. 4 a a 2

B2 .若双曲线

3 x2 y 2 x ,求双曲线的焦点坐标. ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 4 m

【课堂小结】 1.双曲线的综合应用:与椭圆知识对比,结合; 2.双曲线的另一定义; 3. (理)直线与双曲线的位置关系. 【知识拓展】 双曲线的第二定义: 到定点的距离与到定直线的距离之比大于 1 的点的轨迹是双曲线.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 【当堂检测】 (时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 的共同焦点为 F1,F2,P 是两曲线的一个交点, 25 16 4 5 则 PF1 ? PF2 的值为( ) .
1.若椭圆 A.

21 2

B. 84

C. 3

D. 21

x2 y 2 ) . ? ? 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16 x2 y 2 x2 y 2 A. B. ? ?1 ? ?1 16 48 9 27 x2 y 2 x2 y 2 C. ? ? 1或 ? ? 1 D. 以上都不对 16 48 9 27 3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线,交双曲线于 P 、 Q , F1 是另一焦点,若 ? ∠PF1Q ? ,则双曲线的离心率 e 等于( ) . 2 A. 2 ? 1 B. 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 4.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________.
2.以椭圆 5.方程

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围 4 ? k 1? k



课后作业
1.已知双曲线的焦点在 x 轴上,方程为
A(8,6) ,试求此双曲线的方程.

x2 y 2 ? ? 1 ,两顶点的距离为 8 ,一渐近线上有点 a 2 b2

【学习反思】本节课我最大的收获是

我还存在的疑问是

我对导学案的建议是


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