nbhkdz.com冰点文库

立体几何


行胜于言

题型练 6 大题专项(四) 立体几何综合问题
1.

(2015 湖南高考)如图,已知四棱台 ABCD-A1B1C1D1 的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方 形.A1A=6,且 A1A⊥底面 ABCD.点 P,Q 分别在棱 DD1,BC 上. (1)若 P 是 DD1 的中点,证明:AB1⊥PQ; 3 (2)

若 PQ∥平面 ABB1A1,二面角 P-QD-A 的余弦值为7,求四面体 ADPQ 的体积.

2.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 所成角为 1 60° ,AA1=2,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,点 G 为△ABC 的重心,点 E 在 BC1 上,且 BE=3BC1.

(1)求证:GE∥平面 AA1B1B; (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐角二面角的余弦值.

1

行胜于言 3.

(2015 福建高考)如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB⊥平面 BEC,BE⊥ EC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点. (1)求证:GF∥平面 ADE; (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.

4.

在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1 是一个长方体,P-ABCD 是一个四棱锥.AB=2,BC=3, 点 P∈平面 CC1D1D,且 PD=PC=√2. (1)证明:PD⊥平面 PBC; (2)求 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值; (3)当 AA1 的长为何值时,PC∥平面 AB1D.

2

行胜于言

5.

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45° ,PA=AD=2,AC=1. (1)证明:PC⊥AD; (2)求二面角 A-PC-D 的正弦值; (3)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30° ,求 AE 的长.

6.(2015 宁夏银川一中二模)已知四边形 ABCD 满足 AD∥BC,BA=AD=DC= BC=a,E 是 BC 的 中点,将△BAE 沿 AE 翻折成△B1AE,使平面 B1AE⊥平面 AECD,F 为 B1D 的中点.
2

1

(1)求四棱锥 B1-AECD 的体积; (2)证明:B1E∥平面 ACF; (3)求平面 ADB1 与平面 ECB1 所成锐二面角的余弦值.

3

行胜于言

参考答案 1.解:

由题设知,AA1,AB,AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为 A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中 m=BQ,0≤m≤6. 9 9 (1)证明:若 P 是 DD1 的中点,则 P(0, ,3) , ????? = (6,- ,-3).
2 2

???????1 =(3,0,6),于是??????? ????? =18-18=0, 又 1 · ????? ,即 AB1⊥PQ. 所以??????? 1 ⊥ ?????? =(6,m-6,0),???????? (2)由题设知, 1 =(0,-3,6)是平面 PQD 内的两个不共线向量. ?????? = 0, 6 + (-6) = 0, · 设 n1=(x,y,z)是平面 PQD 的一个法向量,则{ 1 即{ ????????1 = 0, -3 + 6 = 0. 1 · 4

行胜于言 取 y=6,得 n1=(6-m,6,3). · 又平面 AQD 的一个法向量是 n2=(0,0,1),所以 cos<n1,n2>=| 1|·|2 | =
1 2

3 1·√(6-)2 +62 +32

=

3

.
3 3

√(6-)2 +45

而二面角 P-QD-A 的余弦值为7,因此

√(6-) +45

2

= 7,解得 m=4 或 m=8(舍去),此时 Q(6,4,0).

3

????????1 (0<λ≤1),而 ????????1 =(0,-3,6),由此得点 P(0,6-3λ,6λ),所以????? 设????? =λ =(6,3λ-2,-6λ). 因为 PQ∥平面 ABB1A1,且平面 ABB1A1 的一个法向量是 n3=(0,1,0),所以????? · n3=0,即 3λ-2=0, 2 亦即 λ= ,从而 P(0,4,4). 于是,将四面体 ADPQ 视为以△ADQ 为底面的三棱锥 P-ADQ,则其高 h=4.故四面体 ADPQ 1 1 1 的体积 V=3S△ADQ· h=3 × 2×6×6×4=24.
3

2.(1)证明:连接 B1E,并延长交 BC 于点 F,连接 AB1,AF.∵ABC-A1B1C1 是三棱柱,∴BC∥B1C1, ∴△EFB∽△EB1C1. 1 1 ∵BE= BC1,∴ = = = ,

∴BF=2BC,∴F 是 BC 的中点.

3 1

1

1

1 1

2

∵点 G 是△ABC 的重心,∴点 G 在 AF 上,且 = = 2,∴GE∥AB1,∴GE∥平面 AA1B1B.
1





1

(2)解:过点 A1 作 A1O⊥AB,垂足为 O,连接 OC. ∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,∴A1O⊥底面 ABC, ∴∠A1AB=60°. ∵AA1=2,∴AO=1.∵AB=2, ∴点 O 是 AB 的中点. 又∵点 G 是正三角形 ABC 的重心, ∴点 G 在 OC 上,∴OC⊥AB, ∵A1O⊥底面 ABC,∴A1O⊥OB,A1O⊥OC,以 O 为原点,分别以 OC,OB,OA 所在直线为 x,y,z 轴建立如图空间直角坐标系 O-xyz.

由题意可得:A(0,-1,0),B(0,1,0),C(√3,0,0),A1(0,0,√3),B1(0,2,√3),C1(√3,1,√3), 则 G( 3 ,0,0),
√3

∴????? = 3 ??????? 1 = ( 3 ,0, 3 ),∴E( 3 ,1, 3 ),
????? = (0,1, ) , ??????? ∴ 1 = ( ,-1,3 3
√3 √3
2√3 3

1

√3

√3

√3

√3

).
√3

+ 3 = 0, ⊥ ????? , 设 n=(x,y,z)是平面 B1GE 的一个法向量,则{ ∴{ 2√3 √3 ⊥ ??????? 1 , - = 0,
3 3

令 z=√3,则 x=√3,y=-1,∴n=(√3,-1,√3). 易知???????? 1 =(0,0,√3)是平面 ABC 的一个法向量,设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角为 θ,
1 则有 cos θ=|??????? = |·||

??????? ·
1

√21
7

.

3.

5

行胜于言

(1)证法一:如图,取 AE 的中点 H,连接 HG,HD,又 G 是 BE 的中点, 1 所以 GH∥AB,且 GH=2AB. 又 F 是 CD 的中点, 1 所以 DF=2CD. 由四边形 ABCD 是矩形,得 AB∥CD,AB=CD, 所以 GH∥DF,且 GH=DF, 从而四边形 HGFD 是平行四边形,所以 GF∥DH.又 DH?平面 ADE,GF?平面 ADE, 所以 GF∥平面 ADE.

证法二:如图,取 AB 中点 M,连接 MG,MF. 又 G 是 BE 的中点,可知 GM∥AE. 又 AE?平面 ADE,GM?平面 ADE,所以 GM∥平面 ADE. 在矩形 ABCD 中,由 M,F 分别是 AB,CD 的中点,得 MF∥AD. 又 AD?平面 ADE,MF?平面 ADE, 所以 MF∥平面 ADE. 又因为 GM∩MF=M,GM?平面 GMF,MF?平面 GMF,所以平面 GMF∥平面 ADE. 因为 GF?平面 GMF.所以 GF∥平面 ADE.

(2)解:如图,在平面 BEC 内,过点 B 作 BQ∥EC. 因为 BE⊥CE,所以 BQ⊥BE. 又因为 AB⊥平面 BEC, 所以 AB⊥BE,AB⊥BQ. ????? , ????? 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 以 B 为原点,分别以????? , 则 A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1). 因为 AB⊥平面 BEC,所以????? =(0,0,2)为平面 BEC 的法向量. 设 n=(x,y,z)为平面 AEF 的法向量. ????? =(2,2,-1), 又????? =(2,0,-2), 2-2 = 0, ·????? = 0, 由{ 得{ ????? = 0, 2 + 2- = 0, · 取 z=2,得 n=(2,-1,2). 6

行胜于言
2 从而 cos<n,????? >=||·| = 3×2 = 3.所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为3. ????? |

????? ·

4

2

4.(1)证明:如图建立空间直角坐标系.

设棱长 AA1=a,则 D(0,0,a),P(0,1,a+1),B(3,2,a),C(0,2,a). 于是????? =(0,-1,-1),????? =(3,1,-1),????? =(0,1,-1),所以????? · ????? =0,????? · ????? =0. 所以 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 PB,由线面垂直的判定定理,得 PD⊥平 面 PBC. (2)解:A(3,0,a),????? =(3,-1,-1), 而平面 ABCD 的一个法向量为 n1=(0,0,1), 所以 cos<????? ,n1>=
-1

√11×1

=- 11 .
√11 √10

√11

(3)解:因为 D(0,0,a),B1(3,2,0),A(3,0,a), ????? =(3,0,0),??????? 所以 1 =(0,2,-a).

所以 PA 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 11 .所以 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值为 10 .

设平面 AB1D 的法向量为 n2=(x,y,z),则有{

个法向量为 n2=(0,a,2). 若要使得 PC∥平面 AB1D,则要????? ⊥n2, ????? 即 · n2=a-2=0,解得 a=2. 所以当 AA1=2 时,PC∥平面 AB1D. 5.解:如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得 A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B(- , ,0),P(0,0,2).
2 2 1 1

????? ·2 = 3 = 0, 令 z=2,可得平面 AB1D 的一 ??????? 1 ·2 = 2- = 0,

(1)证明:易得????? =(0,1,-2),????? =(2,0,0).于是????? · ????? =0,所以 PC⊥AD. ????? ????? (2) =(0,1,-2),=(2,-1,0).设平面 PCD 的法向量 n=(x,y,z). -2 = 0, ·????? = 0, 则{ 即{ 不妨令 z=1, 2- = 0. ·????? = 0, 可得 n=(1,2,1).可取平面 PAC 的法向量 m=(1,0,0). 于是 cos<m,n>=||·|| = 从而 sin<m,n>=
√30
6 · 1

√6

=

√6
6

,

.
√30
6

所以二面角 A-PC-D 的正弦值为

. 7

行胜于言 (3)设点 E 的坐标为(0,0,h),其中 h∈[0,2].由此得????? = (2 ,- 2 ,?).
· 又????? =(2,-1,0),故 cos<????? , ????? >=| = ????? | ????? |·| 1 1

????? ?????

3 2

1 √ +?2 ×√5 2

=

3

√10+20?2

,

所以

3

√10+20?2

=cos 30°= 2 ,解得 h= 10 ,即 AE= 10 .
1

√3

√10

√10

6.(1)解:取 AE 的中点 M,连接 B1M.因为 BA=AD=DC=2BC=a,△ABE 为等边三角形,所以 B1M= 2 a. 又因为平面 B1AE⊥平面 AECD,所以 B1M⊥平面 AECD,所以 V=3 ×
1

√3

√3

(2)证明:连接 ED 交 AC 于点 O,连接 OF,因为四边形 AECD 为菱形,OE=OD,所以 FO∥B1E, 所以 B1E∥平面 ACF. (3)解:连接 MD,则∠AMD=90°,分别以 ME,MD,MB1 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标 系,

a×a×a×sin3 = 4 . 2

π

3

则 E( ,0,0),C(,
2 2 2



√3
2

,0),A(- ,0,0),D(0,
2 2 2



√3
2

,0),B1(0,0,

√3
2

),

√3 ???????1 = (- ,0, √3), 所以????? = ( , ,0) , √3 √3 ????? = (2 , 2 ,0) , ??????? 1 = (2 ,0, 2 ).

设平面 ECB1 的法向量为 u=(x,y,z),


则{

2

+
2

√3
2

= 0, = 0,
√3 √3
3

- +

√3
2

令 x=1,u=(1,-

,

3

),同理平面 ADB1 的法向量为 v=(1,11 1+ 33

√3
3

,-

√3
3

),
3

所以 cos<u,v>=

1 1 1 1 √1+ + ×√1+ + 3 3 3 3

= 5,故平面 ADB1 与平面 ECB1 所成锐二面角的余弦值为5.

3

8


立体几何专题复习(教师版)

使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题. 4.正向思维受阻时,可考虑使用反证法. 5.计算题应在计算中融入论证,使证算合一,逻辑严谨.通常计算题是经过“...

高考立体几何知识点总结(详细)

高考立体几何知识点总结(详细)_数学_高中教育_教育专区。高考立体几何知识点总结一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何...

2015年高考题立体几何汇编

2015年高考题立体几何汇编_高考_高中教育_教育专区。专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 1.(15 北京理科)设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m...

必修2立体几何复习(知识点+经典习题)

必修2立体几何复习(知识点+经典习题)_数学_高中教育_教育专区。经典 高中必修二立体几何 一、判定两线平行的方法 1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 ...

立体几何八大定理

立体几何八大定理_数学_高中教育_教育专区。线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理: 文字语言:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条...

立体几何高考题,模拟题带答案

2014 一.解答题(共 17 小题) 高考及模拟立体几何带答案 1. (2014?山东)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,AP⊥ 平面 PCD,AD∥ BC,AB=BC= AD,E,F 分别为线段 ...

2015年立体几何高考题精选

2015年立体几何高考题精选_数学_高中教育_教育专区。2015 年立体几何高考题精选)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2...

立体几何知识点总结完整版

立体几何知识点总结完整版_数学_高中教育_教育专区。师大教育,助你成功 立体几何知识点总结完整版 【2013 考纲解读】 1、平面的概念及平面的表示法,理解三个公理及...

立体几何高考题2014

立体几何高考题2014_数学_高中教育_教育专区。2014 一.解答题(共 17 小题) 高考及模拟立体几何带答案 1. (2014?山东)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,AP⊥ 平面 PC...

立体几何高考题及其答案详解

立体几何高考题及其答案详解_高考_高中教育_教育专区。立体几何专题训练立体几何高考题 1.(2011 年高考浙江卷文科 4)若直线 l 丌平行于平面 a ,丏 l ? a ,...