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山东省胶州一中2015届高三上学期12月第二次质量检测数学(文)试题


山东省胶州一中 2015 届高三上学期 12 月第二次质量检测 数学(文)试题
一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1.若 a, b, c ? R , a ? b ,则下列不等式成立的是 A. ( ) D. a c ? b c

1 1 ? a b

B.

a b ? 2 c

?1 c ?1
2

C. a 2 ? b 2

2. 下列说法一定正确的是(



A.一名篮球运动员,号称“百发百中” ,若罚球三次,不会出现三投都不中的情况 B.一枚硬币掷一次得到正面的概率是

1 ,那么掷两次一定会出现一次正面的情况 2

C.如买彩票中奖的概率是万分之一,则买一万元的彩票一定会中奖一元 D.随机事件发生的概率与试验次数无关 3. 已知向量 a ? (2,3) , b ? (?1,2) ,若 m a +n b 与 a ? 2b 共线,则 m 等于(

n

)

(A) ? 1

2
2

(B) 1

2

(C) ? 2

(D) 2

4.已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行,若 数列 的前 n 项和为 Tn,则 T2014 的值为( )

A.

2011 2012

B.

2012 2013

C.

2013 2014

D.

2014 2015

5. 下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 1 2 3 4 4.5 4 3 2.5 用水量 y 由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程 ^ 是 y =-0.7x+a,则 a 等于( ) A.10.5 B.5.15 C.5.2 D.5.25 6.已知函数 f ( x) ?

1 3 , 2, 3 三个数中任取的一个数, b 是从 x ? ax 2 ? b 2 x ? 1 ,若 a 是从 1 3


0, 1 , 2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为(
A.

7 9

B.

1 3
?

C.

5 9

D.

2 3


7.在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 100, A ? 45 ,则此三角形解的情况是 ( A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解

1

8.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化

的可能图象是( A.

) B. C. D.

9. 已知 e 是自然对数的底数,函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 的零点为 a ,函数 g ? x ? ? ln x ? x ? 2
x

的零点为 b ,则下列不等式成立的是( A. f ?1? ? f ? a ? ? f ?b ? C. f ? a ? ? f ?1? ? f ?b ?



B. f ? a ? ? f ?b ? ? f ?1? D. f ?b? ? f ?1? ? f ? a ?

10. 已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) = f (4 ? x) , 且当 x ? 2 时其导函数

f ?( x) 满足 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若 2 ? a ? 4 则
A. f (2a ) ? f (3) ? f (log 2 a ) C. f (log 2 a ) ? f (3) ? f (2 a ) B. f (3) ? f (log 2 a ) ? f (2 a ) D. f (log 2 a ) ? f (2a ) ? f (3)

二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 2 2 x y M 是 PF1 的中点.则 11.已知 O 为原点,椭圆 ? ? 1 上一点 P 到左焦点 F 1 的距离为 4, 25 9

OM =

.

12. 已知圆 C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 10 与圆 C2 : ( x ? 6)2 ? ( y ? 3)2 ? 50 交于 A, B 两点,则

AB 所在直线的方程为
x 13.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 3) ? f ( x), 当 x ? (?2,0) 时, f ( x) ? 2 ,

) ? f (2014 ) ? f (2013 ) ? _________. 则 f (2015
14.已知下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为___________。

2

2

2
2 正视图 15.已知命题:

2

2
侧视图

2
俯视图

2 2 ①若 a ? b ,则 ac ? bc ;②“设 a, b ? R ,若 a ? b ? 6 ,则 a ? 3 或 b ? 3 ”是一个真命

题;③在 ?ABC 中,cos 2 A ? cos 2 B 的充要条件是 A ? B ;④“ p ? q 为真命题”是“ ? p 为假命题”的必要不充分条件。其中正确命题的序号是 三、解答题(共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如 下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且 每个扇形圆心角均为 15°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(球除颜色外不加区分) ,如果 摸到的是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

17. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数

f ( x) ? m ? n,









m ? (sin?x ? cos?x, 3 cos?x), n ? (cos?x ? sin ?x,2 sin ?x), ? ? 0, 若 f ( x) 的图像上
相邻两个对称中心的距离大于等于 ?. (1)求 ? 的取值范围; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ? 3, 当 ? 最大时, f ( A) ? 1, 求

?ABC 的面积最大值.
3

18. (本小题满分 12 分) 已知递增等比数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 S3 ? 2S2 ? 1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? a n (n ? N * ) ,且 {bn } 的前 n 项和 Tn .求证: Tn ? 2 19. (本小题满分 12 分) . 如图所示,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上,

EF ∥ AB ,将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平
面 ECDF . (Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.

A

F

D

B

E

C

20. (本小题满分 13 分)

已 知 椭 圆 C 的 中 心 在 坐 标 原 点 焦 点 在 x 轴 上 , 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 、 F2, 且

? 3? F1 F2 ? 2, 点P ?1, ? 在椭圆 C 上. ? 2?
(I)求椭圆 C 的方程; (II)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 ?AF2 B 的面积为 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? 1)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
2 x

12 2 ,求直线 l 的方程. 7

(1)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (3)若 a ? ?1 ,函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) ? 实数 m 的取值范围.
4

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交点,求 3 2

高三第二次阶段检测(文数)答案 一、选择题
1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.C 14. 6? 二、填空题 11.3 12.2x+y=0 13.0 15.①②③④

三、解答题: 16.解:如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积 π ?R , 阴影部分的面积为 ,
2

则在甲商场中奖的概率为:



如果顾客去乙商场,记 3 个白球为 a1,a2,a3,3 个红球为 b1,b2,b3, 记(x,y)为一次摸球的结果,则一切可能的结果有: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) (a2,a3) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3) , (a3,b1) , (a3,b2) , (a3,b3) , (b1,b2) , (b1,b3) , (b2,b3) ,共 15 种, 摸到的是 2 个红球有(b1,b2) , (b1,b3) , (b2,b3) ,共 3 种, 则在乙商场中奖的概率为:P2= ,

又 P1<P2,则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大. 17.解(1)由题意知 f ( x) ? m ? n ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 3 sin 2?x = cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ? 解得 0 ? ? ?

?
6

).

T 1 2? ? ? ? ? ? ? , ? ? 0, 2 2 2? 2?

1 ? ? 1 , f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 1, 即 sin( A ? ) ? . 2 6 6 2 ? ? 7? ? 5? 2? ,∴ A? ? ,得A ? . 又∵ 0 ? A ? ? , ∴ ? A ? ? 6 6 6 6 6 3 1 2 2 2 由余弦定理得 a ? 3 ? b ? c ? 2bc ? ? bc , 即 bc ? 1. 2
(2)由(1)知 ? max ? ∴ S ?ABC ?

1 . 2

1 1 3 3 bc sin A ? ? 1 ? ? . 2 2 2 4
5

18 解析: (1)设公比为 q,由题意:q>1, a1 ? 1 ,则 a2 ? q , a3 ? q 2 ,∵ ∴ a1 ? a2 ? a3 ? 2(a1 ? a2 ) ? 1 ,
2

s

3

? 2 s2 ? 1,

2分

则 1 ? q ? q ? 2(1 ? q) ? 1 解得: q ? 2 或 q ? ?1 (舍去), ∴ an ? 2n ?1 4分 6分

(2) bn ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 ? 2 n ?1

Tn ? ?1 ? 3 ? .....? ?2n ? 1?? ? 1 ? 1 ? 2 ? ......2n?1

?

?

?

n[1 ? (2n ? 1)] 1 ? 2n ? ? n 2 ? 2n ? 1 2 1? 2

9分

又∵ Tn

1,??? 上是单调递增的 ? n 2 ? 2n ?1 在 ?

∴ Tn ? T 1 ? 2 ∴ Tn

?2

12 分

19.(Ⅰ)证明:因为四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, 所以 MN ∥ EF ∥ CD ,

MN ? EF ? CD .
所以 四边形 MNCD 是平行四边形,?????2 分 所以 NC ∥ MD , ??????3 分

因为 NC ? 平面 MFD ,所以 NC ∥平面 MFD .4 分

(Ⅱ)证明:连接 ED ,设 ED

FC ? O .
所以 NE ? 平面 ECDF ?5 分

因为平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF , 所以 FC ? NE .

又 EC ? CD , 所以四边形 ECDF 为正方形,所以 FC ? ED . 所以 FC ? 平面 NED , 所以 ND ? FC .
6

????8 分

(Ⅲ) 解: 设 NE ? x , 则 EC ? 4 ? x , 其中 0 ? x ? 4 . 由 (Ⅰ) 得 NE ? 平面 FEC , 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ? 所以 VNFEC ?

1 1 S?EFC ? NE ? x(4 ? x) . 3 2

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2
????12 分

当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大.
20.【答案】

21.解:(1)因为 f ( x) ? ( x ? x ? 1)e ,
2 x

所以 f ?( x) ? (2 x ? 1)e ? ( x ? x ? 1)e ? ( x ? 3 x)e ,
x 2 x 2 x

7

所以曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 k ? f ?(1) ? 4e 所以所求切线方程为 y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0

又因为 f (1) ? e ,

? (2) f ( x) ? (2ax ? 1)e ? (ax ? x ? 1)e ? [ax ? (2a ? 1) x]e ,
x 2 x 2 x

1 2a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; ? a ? 0 ,当 x ? 0 或 x ? ? 2 a 2a ? 1 当0 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . a 2a ? 1 2a ? 1 所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,0] , [? ,??) ; 单调递增区间为 [0,? ] a a 1 1 ②若 a ? ? , f ?( x) ? ? x 2 e x ? 0 ,所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,??) . 2 2 2a ? 1 1 ③若 a ? ? ,当 x ? ? 或 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 2 a 2a ? 1 当? ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . a 2a ? 1 所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,? ] , [0,??) ; a 2a ? 1 单调递增区间为 [? ,0] a
①若 ? (3)由(2)知, f ( x) ? ( ? x ? x ? 1)e 在 (??,?1] 上单调递减,在 [?1,0] 单调递增,在 [0,??)
2 x

上单调递减, 所以 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 f (?1) ? ? 由 g ( x) ?

3 ,在 x ? 0 处取得极大值 f (0) ? ?1 . e

1 3 1 2 x ? x ? m ,得 g ?( x) ? x 2 ? x . 3 2

当 x ? ?1 或 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? 0 时, g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (??,?1] 上单调递增,在 [?1,0] 单调递减,在 [0,??) 上单调递增. 故 g ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 g (?1) ?

1 ? m ,在 x ? 0 处取得极小值 g (0) ? m . 6

因为函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图象有 3 个不同的交点,

? 3 1 ? f (?1) ? g (?1) 3 1 ?? ? ? m 所以 ? ,即 ? e 6 . 所以 ? ? ? m ? ?1 e 6 ? f (0) ? g (0) ? ?? 1 ? m

8

9


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