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2010年苍南县姜立夫杯数学竞赛


2010 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试卷
考生注意事项: 本卷共有 17 道题目,全卷满分 100 分,考试时间 120 分钟. 答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 本卷解答一律不准使用计算器.

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题

4 分,满分 32 分,每小题有且仅有一个正确的答案) 1.已知: a , b 为实数,则“ a > b ”是“ A.充分而不必要条件 C.充要条件

1 1 < ”的 a b





B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

2. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,对任意 x ? R 总有 f ( x ? ) ? ? f ( x) ,则 f ( ? ) 的值为 ( A.0
2 0 2

7 2

7 2



B.7
0 0

7 C. 2
0 0

7 D.2
( )

3. cos 79 ? cos 41 ? 2 ? cos79 ? cos41 ? cos120 的值为 A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4

4.经过点 P(-1,1)引直线 l 交两坐标轴于 A、B,且 ? AOB 的面积为 3(O 为原点) ,若这样的直线 l 共有 n 条, 则 n= A.1 B.2 C.3 ( D.4 )

5.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视 图 与 俯 视 图 中 , 这 条 棱 的 投 影 分 别 是 长 为 a 和 b 的 线 段 , 则 a?b 的 最 大 值 为 ( A. 2 5 6.函数 y ? A.[1,2] ) B.4 C. 2 3 D. 2 2 ( C.[1, 3 ] D. 0, 3 )

x ? 7 ? 24 ? 3x 的值域为
B.[0,2]

?

?
( )

7.把一根长度为 6 的铁丝截成任意长度的 3 段,则能构成三角形的概率为

A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

4 5

8.已知:集合 M={1,2,3},N={1,2,3,4},定义函数 f : M ? N ,若点 A(1, f (1) ) ,B(2, f ( 2) ) ,C → → → ( 3 , f (3) ) , ? ABC 的 外 接 圆 圆 心 D , 且 DA+DC= ? DB ( ? ? R ) , 则 满 足 条 件 的 函 数 f ( x) 有 ( A.6 个 ) B.10 个 C.12 个 D.14 个

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分,请将正确的答案填在横线上) 9. 已知:? ABC 三个顶点的坐标为 A (-2, 1) , B (6, 1) , C (-2, 16) , 则 ? ABC 的内切圆方程为 10.已知: 2 ? 2 ? 2 是一个平方数,则正整数 m =
m 9 6

.

.

5 m ? k ,其中 k , m, n 都是正整数, m, n 互质,则 11 、设 (1 ? sin ? )(1 ? cos ? ) ? , (1 ? sin ? )(1 ? cos ? ) ? 4 n
k ?m?n=
.

12.在直角坐标系中,如果两点 A( a , b ) ,B( ? a,?b )在函数 y ? f ( x) 的图象上,那么[A,B]为函数 f ( x) 的

? ? ?cos x, 一组关于原点的中心对称点, ([A,B]与[B,A]看作一组) ,函数 g ( x) ? ? 2 ? x ≤0 ?log2010 ( x ? 1),
的中心对称点的组数为

关于原点

x >0

.

13.如果集合 A、B、C(其中可以有相同)的并集 A U B U C ={1,2,3,4},那么有序的三元集合组(A,B,C) 的个数为 14.设正项数列{ an }满足 .

1 1 1 , a1 ? a3 ? 6 , a1 , a2 , a3 单调递增且成 ? ? ? 1( n ? N * ) a n ? a n ?1 a n a n ? 2 a n ?1 a n ? 2
.

等比数列, S n 为{ an }的前 n 项和,记[ x ]为不超过 x 的最大整数,则[ S 2008 ]=

2010 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二答题卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分,每小题有且仅有一个正确的答案) 题号 答案 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分,请将正确的答案填在横线上) 9. 11. 10. 12. 1 2 3 4 5 6 7 8

13.

14.

三、解答题(本大题共 3 小题,第 15 题、16 题各 10 分,17 题 12 分,满分 32 分,要求写出必要的解答过程) 15.已知: f ( x) ? 2 sin( x ?

?
3

) cos( x ?

?
3

) ? 2 3 cos 2 ( x ?

?
3

)? 3

(1)求 f ( x) 的最大值及取得最大值时相应的 x 的值. (2)若函数 y ? f (2 x) ? a 在区间[0,

? ]上恰有两个零点 x1 , x2 ,求 tan(x1 ? x2 ) 的值. 4

16.在数列{ an }中,已知 a1 =2, an?1 (an ? 1) ? 2an (1)求数列{ an }的通项公式. (2)记 bn ? an ? (an ? 1)(n ? N*) ,数列{ bn }的前 n 项和为 Tn ,求证 Tn <3.

2 2 17.已知:集合 A={ ( x, y) | x ? y ? 10x ? 16y ? 81<0},B={ ( x, y ) | y ≥ | x ? t | ?8 }

(1)若 A∩B≠ ? ,求实数 t 的取值范围. (2)设点 P( t ,8 ) ? A,集合 A、B 所表示的两个平面区域的边界相交于点 M,N,求

1 1 ? 的最小值. PM PN

2010 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二卷答案

一、选择题:DADD 二、填空题:

BAAC

9. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 9 12.1004 三、解答题: 15 解: (1) f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 当 2x ?

10.10 13.2401

11.27 14.5352

?
3

)

?
3

? 2k? ?

?
2



x ? k? ?

5? 12

(k ? Z ) 时

f ( x) 的最大值为 2??????????????????????5 分

(2) y ? f (2 x) ? a ? 2 sin( 4 x ? 结合图像可知: 4 x1 ?
x1 ? x 2 ? 5 ? 12

?
3

)?a

?
3

? 4 x2 ?

?
3

??

? tan(x1 ? x2 ) ? 2 ? 3 ??????????10 分
1 an?1 ?1 ? 1 1 ( ? 1) 2 an

16 解: (1)由已知可得: an >0
1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ? ( ) n?1 an a1 2

2n ? an ? n ??????????6 分 2 ?1

2n ? (2) bn ? a n (a n ? 1) ? n (2 ? 1) 2

1 1 < n 1 2 ?2 2n ? n ? 2 2

1 1 ? n ?1 ( n ≥2) n ?1 2 ?2 2 1 1 1 1 ? S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn < 2 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 3 ? n ?1 <3????12 分 2 2 2 2



n

17、解(1)集合 A={ ( x, y) | ( x ? 5) 2 ? ( y ? 8) 2 <8} 当射线 y ? x ? t ? 8 ( x ≥ t )与圆 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 8) 2 ? 8 相切时 可得 t ? 1 或 9, t ? 9 (舍去) ; 当射线 y ? t ? x ? 8 ( x ≤ t )与圆 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 8) 2 ? 8 相切时 可得 t ? 1 或 9, t ? 1 (舍去) ;

?t 的范围为 1< t <9????????????????????6 分
(2)如图:设集合 A 所表示的圆与 x 轴平行的直径为 CD,MP 的延长线与圆的另一个交点为 N/ 则
1 1 2 ? ≥ ? PM PN PM ? PN

2 PM ? PN /

?

2 PC ? PD



4 4 2 ? ? PC ? PD CD 2
? 1 1 2 ? 的最小值为 ??????12 分 PM PN 2

当 t ? 5 时等号成立

y

M 8 C p

N D N/

0

t

5

x


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