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第四章 4.1 4.1.1 圆的标准方程


1.圆的定义 平面内到一定点的距离等于 定长 的点的轨迹是圆, 定点 是圆心, 定长 是圆的半径. 2.圆的标准方程

3.点与圆的位置关系

设点P到圆心距离为d,圆的半径为r,则点与圆的
位置有如下表所示的对应关系:

位置关系
d与r的关系

点在圆外

d>r

点在圆上
d=r

点在圆内
d <r

1.圆(x+a)2+(y+b)2=m2的圆心和半径各是什么?
提示:圆心(-a,-b),半径r=|m|

2.确定圆的标准方程需要哪几个独立条件?
提示:圆心的横坐标a,纵坐标b,以及圆的半径三 个独立条件.

3.已知点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2,点M在

圆外、圆上、圆内的条件分别是什么?
提示:点M在圆外、圆上、圆内的条件分别是 (x0-a)2+(y0-b)2>r2,(x0-a)2+(y0-b)2=r2, (x0-a)2+(y0-b)2<r2. 4.圆心与弦的垂直平分线有什么关系? 提示:圆心在弦的垂直平分线上.

[例1]

(1)写出下列各圆的方程:

①圆心在原点,半径是3; ②圆心在点C(3,4)处,半径是 5; ③经过点P(5,1),圆心在点C(4,2)处; (2)求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3), B(-2,-5)的圆的标准方程.

[自主解答]

(1)①由圆的标准方程可得,所求圆的

方程为x2+y2=9; ②由圆的标准方程可得,所求圆的方程 为(x-3)2+(y-4)2=5; ③由题意可知圆的半径 r=|PC|= (5-4)2+(1-2)2= 2,

所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-2)2=2.

(2)法一:设点 C 为圆心, ∵点 C 在直线:x-2y-3=0 上, ∴可设点 C 的坐标为(2a+3,a). 又∵该圆经过 A,B 两点,∴|CA|=|CB|. ∴ (2a+3-2)2+(a+3)2= (2a+3+2)2+(a+5)2, 解得 a=-2. ∴圆心坐标为 C(-1,-2),半径 r= 10. 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10

法二:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ?(2-a)2+(-3-b)2=r2, ? 2 2 2 (- 2 - a ) +(- 5 - b ) = r , ? 由条件知 ?a-2b-3=0, ? ?a=-1, ? 解得?b=-2, ?r2=10. ? 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

法三:线段AB的中点为(0,-4),kAB= -3-(-5) 1 =2, 2-(-2) 所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2, 所以线段AB的垂直平分线的方程为:y+4=-2x, 即y=-2x-4.

故圆心是直线y=-2x-4与直线x-2y-3=0的交
? ? ?y=-2x-4, ?x=-1, 点,由? 得? ? ?x-2y-3=0, ? ?y=-2.

即圆心为(-1,-2),圆的半径为 r= (-1-2)2+(-2+3)2= 10,

所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

若本例(2)中两点不变,求过A、B两点且面积最小的 圆的标准方程.

解:由圆的性质知:当圆以AB为直径时,其直径最小, 故面积最小,此时圆心坐标为(0,-4), 1 1 半径r=2|AB|=2 (-2-2)2+(-5+3)2= 5.

∴圆的标准方程为:x2+(y+4)2=5.

求圆的标准方程时,一般有两种方法: (1)待定系数法,其一般步骤如下: ①根据题意,设出所求圆的标准方程(x-a)2+ (y-b)2=r2. ②根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组. ③解方程组,求出a,b,r的值.

④将a,b,r的值代入所设的方程,即为所求圆的
方程.

(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径,然
后代入标准式写方程.这种方法要充分利用圆的几何 性质,但计算相对较容易.

1.(1)已知圆的圆心为(2,-3),一条直径的两个端 点分别落在x轴、y轴上,求此圆的方程. (2)一个圆经过A(10,5),B(-4,7)两点,半径

为10,求圆的标准方程.
解:(1)法一:设直径的两个端点为(a,0),(0,b),
a+0 0+b 由 2 =2, 2 =-3,得a=4,b=-6. ∴ r= (4-2)2+(0+3)2= 13, ∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.

法二:由直径所对的圆周角为直角知原点在圆上, ∴ r= 22+(-3)2= 13,

∴所求圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=13. (2)设圆心为(a,b),
2 2 ? ?(a-10) +(b-5) =100, ∴? 2 2 ? ?(a+4) +(b-7) =100,

① ②

①-②整理得7a-b-15=0,即b=7a-15. 将③代入①得a2-6a+8=0. ∴a=2或a=4,则b=-1,或b=13. 故所求圆的方程为 (x-2)2+(y+1)2=100或(x-4)2+(y-13)2=100.



[例 2] 位置关系.

判断点 P(1,1)与圆(x-1)2+(y-2)2=4 的

[自主解答] ∵P(1,1)与圆心 C(1,2)的距离 d= (1-1)2+(2-1)2=1,圆的半径为 r=2,

∴d<r,∴点 P 在圆的内部.

若点P(1,1)在圆(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)内,

而M(3,2)在其外,求半径r的取值范围.
解:∵点P(1,1)在圆内,圆心C(1,2), ∴r>|PC|= (1-1)2+(1-2)2=1. 又∵点M(3,2)在圆外, 故r<|MC|= 综上1<r<2. (3-1)2+(2-2)2=2.

判断点与圆的位置关系有两种方法: (1)将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较: 若|CM|=r,则点M在圆上; 若|CM|>r,则点M在圆外; 若|CM|<r,则点M在圆内.

(2)可利用圆的标准方程来确定: 点M(m,n)在圆C上?(m-a)2+(n-b)2=r2; 点M(m,n)在圆C外?(m-a)2+(n-b)2>r2; 点M(m,n)在圆C内?(m-a)2+(n-b)2<r2.

2.已知点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,

求实数a的取值范围.
解:法一:由题意知点(1,1)与圆心(a,-a)的距离 d= (1-a)2+(1+a)2= 2+2a2. 又∵r=2,∴ 2+2a2<2,即 a2<1, ∴-1<a<1. 法二:∵(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4, 即 a2<1,∴-1<a<1.

如果实数x,y满足方程(x-3)2+(y-4)2=4,求x2+ y2的最大值与最小值. [巧思] x2+y2, 即 (x-0)2+(y-0)2 ,这表示坐标是(x,y)的 点到原点(0,0)的距离,即x2+y2表示圆上的点到原点距 离的平方. x2+y2有什么样的几何意义?为此可化为

[妙解]

设d2=x2+y2,则x2+y2的几何意义是圆上任意

一点到原点距离的平方.如图所示,显然原点O和圆心C的 连线与圆的交点到原点的距离的平方即为所求最值. 又|OC|= 32+42=5,

∴|OP1|=|OC|-|P1C|=5-2=3, |OP2|=|OC|+|CP2|=5+2=7. ∴|OP1|2=9, |OP2|2=49. ∴x2+y2的最小值为9,最大值为49.


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