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1.4.1生活中的优化问题举例(学、教案)

时间:2016-04-18


§1.4.1 生活中的优化问题举例 课前预习学案
【预习目标】 预习优化问题,初步体会导数在解决实际问题中的作用。 【预习内容】 1、简述如何利用导数求函数极值和最值?

2、 3、利用导数解决优化问题的基本思路: 优化问题

通常称为优化问题。

【提出疑惑】 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
【学习目标】 1、掌握有关实际问题中的优化问题; 2、形成求解优化问题的思路和方法。 学习重难点:理解导数在解决实际问题时的作用,并利用其解决生活中的一些优化问题。 【学习过程】 (一) 情景问题: 汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有一定的关系,汽油 的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题: ① 是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? ②“汽油的使用率最高”的含义是什么?

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(二) 合作探究、精讲点拨 例 1:海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动, 通常需要张贴海报进行宣传。 现让你设计一张如图 1.4-1 所示的 2 竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm ,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如何 设 计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小? 探究 1:在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要?

例 2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 ①你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? ②是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】 :某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8? r 分,其
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中 r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制 造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题:①瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ② 瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?

探究 2:换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发 现?

例 3.磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。 磁盘是带有磁性介质的圆盘, 并有操作系统将其格式化成 磁道和扇区。 磁道是指不同半径所构成的同心轨道, 扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。 磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本 单元通常被称为比特(bit) 。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得 小于 n 。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域. ① 是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? ② r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?

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探究 3:如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比,那么如何计算磁盘的存储量? 此时,是不是 r 越小,磁盘的存储量越大?

(三)反思总结 1、导数在解决实际生活中的问题应 用方向是什么?

2、解决优化问题的方法是怎样的?

(四)当堂检测 练习:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的 材料最省 ?

变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取, 才能 使所用材料最省?

课后练习与提高
1、一边长为 a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,然后做成一个 无盖的方盒。 ①试把方盒的体积 V 表示为 x 的函数。 ② x 多大时,方盒的容积 V 最大?
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2、某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间定价为每天 180 元时,房间会全部住 满; 房间单价每增加 10 元,就会有一个房间空闲。如果游客居住房间,宾馆每天需花费 20 元的 各种维护费用,房间定价多少时,宾馆利润最大?

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§1.4.1 生活中的优化问题举例
【教学目标】 1、 会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,深入体会导数在解决实际问 题中的作用; 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 【教学重难点】 教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:理解导数在解决实际问题时的作用,并利用其解决生活中的一些优化问题。 【教学过程】 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、展示目标 教师:我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有 一定的关系, 汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数. 根据你的生活经验, 思考下面两个问题: ① 是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? ②“ 汽油的使用率最高”的含义是什么? 通过实际 问题引发学生思考,进而导入本节课,并给出本节目标。 (三)合作探究、精讲点拨 (1)提出概念 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问 题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利 用导数,解决一些生活中的优化问题. (2)引导探究 例 1:海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动, 通常需要张贴海报进行宣传。 现让你设计一张如图 1.4-1 所示的 2 竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm ,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如何 设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小? 探究 1:在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要? 例 2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 ①你是否注意过 ,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? ②是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识 】 :某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是

0.8? r 2 分,其中 r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利
0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题:①瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ②瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 探究 2:换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发 现? 例 3.磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。 磁盘是带有磁性介质的圆盘, 并有操作系统将其格式化成 磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区
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域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个 基本单元通常被称为比特(bit) 。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得 小于 n 。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域. ① 是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? ② r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 探究 3:如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比,那么如何计算磁盘的存储量? 此时,是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? 由学生结合已有的知识,提出自己的看法,同伴之间进行交流。老师及时点评指导,最 后归纳、总结,讲评。 (四)反馈测评 练习:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的 材料最省?

变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取,才能 使所用材料最省? (五)课堂总结 导数在实际生活中的应用方向:主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主 要有以下几个方面:1、与几何有关的最值问题;2、与物理学有关的最值问题;3、与利润 及其成本有关的最值问题;4、效率最值问题。 解决优化问题的方法: 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系, 建立适当的函数关 系,并确定函数的定义域,通过创造在闭 区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适 当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程 中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路: 优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模 型 用导数解决数学问题

优化问题的答案 【作业布置】 发导学案、布置预习。

作答

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