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高一数学第九周周练

时间:2013-12-10


一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1、设集合 U = ?1,2,3,4? , M = x ? U x 2 ? 5 x + p = 0 ,若 CU M = ?2,3? ,则实数 p 的值 为 A. ?4 2、函数 y ? B. 4 C. ?6 D. 6 ( a ) D、 ( b )

?

?

2 的定义域是 (??,1) ? [2,5) ,则其值域是 x ?1
2
B、 (??, 2]

A、 (??,0) ? ( 1 , 2]

C、 (??, 1 ) ? [2, ??)

2

(0, ??)
x ?( 1 ) ? 7 ,? x ? 2 3 、 设 函 数 f ( x) ? ? ? x, x ? 0 ?

, 若 f (a )? 1 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ,

0



c

) B、 (1, ??) C、 (?3,1) D、

A、 (??, ?3)

(??, ?3) ? (1, ??)
4.函数 f ( x) ? x ? 2 的图像为 C
2 | x|

5、若 2? ? ? ? ? ,则函数 y ? cos ? ? 6sin ? 的最大值和最小值为 A、最大值为 2,最小值为 1 ; B、最大值为 2,最小值为 0; D、最大值不存在,最小值为 0;

( d



2

C、最大值为 2,最小值不存在;

? ? ? ? ? ? ? 6. 若 a ? 1, b ? 2, a ? b ? a , 则 a 与 b 的夹角为

?

?

A. 答案:B

300

B.

450

C.

600

D.

750

7 、 若 x ? R, n ? N *, 定义E x ? x ( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? n ? 1) , 例 如
n
4 E?4 ? ( ?4 ) ? (? 3 ? ? ) (

2? ) ? ( f (? )) ? x 2 Ex ? 2 的奇偶性为 x ? 45 则 1
B.奇函数不是偶函数; D.非奇非偶函数;



a



A.偶函数不是奇函数; C.既是奇函数又是偶函数;

8.已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

f ( x) ? a x ,且 f '( x ) g ( x )? f ( x ) g '(x, ) g ( x)

? f (n) ? f (1) f (?1) 5 31 ? ? ,若有穷数列 ? ? ( n ? N * )的前 n 项和等于 ,则 n 等于 g (1) g (?1) 2 32 ? g (n) ?
A.4 答案:B 9.在 ?ABC 中, tan A 是以-4 为第 3 项,4 为第 5 项的等差数列的公差, tan B 是以 为第 3 项,9 为第 6 项的等比数列的公比,则该三角形是 A. 锐角三角形 答案:A 10. 当 x∈(-2,-1)时,不等式(x+1) <loga|x|恒成立,则实数 a 的取值范围是( b )
2

B.5

C.6

D. 7

1 3

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

A.[2,+∞)

B.(1,2]

C.(1,2)

D.(0,1)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小題 5 分,共 30 分.

? ?? 4 ? 11. 设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin(2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
17 2 答案: 50 。

5

3

12.设 a ? 0.16 3 ,b ? 1.50.75 ,c ? 6.258 , 则 a,b,c 从小到大的关系为___. a ? b ? c ________

?21? x , x ? 1 f (x) ? ? 13. 设函数 ?1 ? log 2 x , x ? 1 ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是
__ [0, ??) _____ 14.如图,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, AP ? 3 且 AP ?AC =

??? ???? ?

18

15. 在平面直角坐标系中, 定义 d ( P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之 间的“折线距离”. 则坐标原点 O 与直线 2 x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折线距离”的最 小值是__▲ __;圆 x ? y ? 1上一点与直线 2 x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折线距离”
2 2

的最小值是__▲ _.

5 答案: 5 , 2

?3x ? 2 5 x ? 5 ? ? 解析: (1) d ? x ? 2 x ? 2 5 ? ?? x ? 2 5 0 ? x ? 5 ,画图可知 x ? 5 时, d 取最小 ? ??3x ? 2 5 ? x ? 0 ? ?

? ?

?

?

值. (2)设圆上点 P ? cos ? ,sin ? ? ,直线上点 Q ? x, y ? , 则 d ? x ? cos ? ? y ? sin ? ? x ? cos ? ? 2 x ? ? 5 ?

? ?

sin ? ? ? 2 ?

? sin ? ? ? ?3 x ? cos ? ? sin ? ? 2 5 ? x ? 5 ? 2 ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? x ? cos ? ? sin ? ? 2 5 ? cos ? ? x ? 5 ? ?, 2 ? ? ? ? ?3 x ? cos ? ? sin ? ? 2 5 ? x ? cos ? ? ? ? sin ? 画出此折线,可知在 x ? 5 ? 时, d 取最小值, 2 sin ? ? 1 5 ? d min ? x ? 5 ? sin ?? ? ? ? ? ? cos ? ? 2 5 ? sin ? ? 5 ? ? sin ? ? 2 cos ? ? ? 5 ? 2 ? 2 2 ?

三、解答题:本大题共6小題,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a 。 ? cos B b

(Ⅰ)求

sinC 的值; sin A

(Ⅱ)若 cos B ?

1 , ?ABC 的周长为 5, 求 b 的长度。 4

解: (I)根据正弦定理知 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, ∴

cos A ? 2 cos C 2 sinC ? sin A ?????2 分 ? cos B sinB

化简得:sin(A+B)=2sin(B+C)???????4 分 ∴sinC=2sinA,∴

sinC ? 2 .……?????6 分 sin A

(II)∵

sinC a 2 ? c 2 ? b2 1 ? 2,? c ? 2a , cos B ? ? ,? b ? 2a ,? a ? b ? c ? 5,? a ? 1 sin A 2ac 4 ∴b=2????????????????12 分

4x ? n x 17. 已知函数 g ? x ? ? 是奇函数, f ? x ? ? log 4 ? 4 ? 1? ? mx 是偶函数。 x 2
(1)求 m ? n 的值; (2)设 h ?x ? ? f ? x 的取值范围。

??

1 x , 若 g ? x ? ? h ? log 4 ? 2a ? 1? ? 对任意 x ? 1恒成立,求实数 a ? ? 2

解: (1)由于 g ? x ? 为奇函数,且定义域为 R,

? g ? 0 ? ? 0 ,即

40 ? n ? 0 ? n ? 1 ,………………………………………3 分 20

由于 f ? x ? ? log 4 4 ? 1 ? mx ,
x

?

?

? f ? ? x ? ? log 4 ? 4? x ? 1? ? mx ? log 4 ? 4 x ? 1? ? ? m ? 1? x ,

1 ? f ? x ? 是偶函数,? f ? ? x ? ? f ? x ? ,得到 m ? ? , 2 1 所以: m ? n ? ;………………………………………………………………4 分 2 1 x (2)? h ? x ? ? f ? x ? ? x ? log 4 ? 4 ? 1? ,? h ? log 4 ? 2a ? 1? ? ? log 4 ? 2a ? 2 ? , ? ? 2

………………………………………………………………………………………2 分 又 g ? x? ?

4x ? 1 ? 2 x ? 2? x 在 区 间 [ 1?? 上 是 增 函 数 , 所 以 当 x ? 1 时 , , ) x 2

g ? x m i n g1? ? ? ? ?

3 ……………………………………………3 分 2

3 ? 2a ? 2 ? 4 2 ? 1 ? 由题意得到 ?2a ? 1 ? 0 ? ? ? a ? 3 , 2 ? 2a ? 2 ? 0 ? ? 1 即 a 的取值范围是: {a | ? ? a ? 3} 。…………………………………………3 分 2

18(本题满分 14 分)

已知点 O 为 ?ABC 的外心,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c。 ??? ? ??? ? ???? ? (1)若 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,求 cos ?BOC 的值;

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? b2 ? c2 (2)若 CO ? AB ? BO ? CA ,求 的值。 a2

19. (本题满分 14 分)


[

已知等差数列 ?an ? 满足: a3

? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n .
1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

(Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ?

20.已知:函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b (a ? 0, b ? 1) ,在区间 [2,
2

3] 上有最大值 4,最

小值 1,设函数 f ( x) ?

g ( x) . x

(1)求 a 、 b 的值及函数 f (x) 的解析式; (2)若不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [? 1, 1] 时恒成立,求实数 k 的取值范围;
x x

(3)如果关于 x 的方程 f ( 2 ? 1 ) ? t ? (
x

4 2x ?1

? 3) ? 0 有三个相异的实数根,求实数

t 的取值范围.

解: (1) g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b ,由题意得:
2

?a ? 0 ?a ? 1 ? 得? 或 1? ? g (2) ? 1 ? b ? 1 ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 4 ?b ? 0 ?
(舍)

?a ? 0 ?a ? ?1 ? 得? 2? ? g ( 2) ? 1 ? b ? 4 ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 1 ?b ? 3 ? 1 ?

? a ? 1, b ? 0
1 ? 2 …………4 分 x 1 x x (2)不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 ,即 2 x ? x ? 2 ? k ? 2 x , 2 1 2 1 ? k ? ( x ) ? 2 ? ( x ) ?1 2 2 1 1 2 2 设 t ? x ? [ , 2] ,? k ? (t ? 1) ,? (t ? 1) min ? 0 ,? k ? 0 …………6 分 2 2
g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 , f ( x ) ? x ?
(3) f ( 2 ? 1 ) ? t ? (
x

4 2 ?1
x

? 3) ? 0 ,即 2 x ? 1 ?

1 2 ?1
x

?

4t 2 ?1
x

? 3t ? 2 ? 0 .

2 令 u ? 2 ? 1 ? 0 ,则 u ? (3t ? 2)u ? (4t ? 1) ? 0 (?)
x

记方程 (?) 的根为 u1 、 u 2 ,当 0 ? u1 ? 1 ? u 2 时,原方程有三个相异实根, 记 ? (u ) ? u ? (3t ? 2)u ? (4t ? 1) ,由题可知,
2

? ?? (0) ? 4t ? 1 ? 0 ?? (0) ? 4t ? 1 ? 0 ? 或 ?? (1) ? t ? 0 .…………4 分 ? ?? (1) ? t ? 0 ? 3t ? 2 ?0 ? ?1 2 ?

??

1 ? t ? 0 时满足题设.…………2 分 4


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