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圆 的 方 程


第八章
第二节 圆 的 方 程

一、知识梳理: 1、圆的方程
(1) 圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r
2 2 2

(三个独立条件确定一个圆) ;

其中, 圆心(a,b)
2

半径 r
2 2
2

2

圆心在原点 O 的圆方程: x ? y ? r ;

过原点 O 的圆方程:

2 2 x ? a ? y ? b ? a ? b ; ? ? ? ?
2 2

2 与 x 轴相切的圆方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? b r ? b ;

?

?

2 与 y 轴相切的圆方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a r ? a ; 2 2

?

?

(2)一般式:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
把 x +y +Dx+Ey+F=0
2 2

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F 配方得: ( x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4 2 2 D ? E ? 4F ? 0 时,方程(1)与标准方程比较,可以看出 当 ① 1 ? D E? D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆。 方程表示 ? ? , ? ? 为圆心, 2 2? ? 2

D E ②当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ? , y ? ? 。 2 2 D E 它表示一个点 (? , ? ) 2 2
2 2

2 2 ③当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示 任何图形.

(3)直径式:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0, 其中点(x1,y1),(x2,y2)是圆的一条直径的两个端点。
(4)半圆方程: y ?

r ? ? x ? a ? ? b,
2 2

y ? ? c ? bx ? x ? d 等
2

如: y ? 1 ? ? x ? 1? , x ? ? 2 y ? y ? 1
2 2 2

判断是怎样的半圆:先判断x,y的范围,再平方化简

2、圆的一般方程与二元二次方程 2 2 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 的关系;
二元二次方程表示圆当且仅当 2 2 A=C≠0,B=0 ,D +E -4AF>0。

3、点与圆的位置关系: 2 2 2 若圆(x-a) +(y-b) =r ,那么点(x0,y0)在

?圆上 ? ?x0 ? a ?2 ? ? y 0 ? b ?2 ? r 2 ? 2 2 2 ?圆内 ? ?x0 ? a ? ? ? y 0 ? b ? ? r ?圆外 ? ?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 0 0 ?

二、典例讨论: 1.圆的基本概念
例1、(1)一束光线从A(-1,1)出发经x轴反射 到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是____.

(2)圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l:x+y+b=0之

距离为

2

的点有2 个,则b 的范围为

.

2、求圆方程
例2、根据下列条件,求圆的方程。 (1)圆心在直线2x+y=0上,且与直线x+y-1=0切于 点(2,-1). (2)已知一圆过P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在y轴 上截得的线段长为4 3 ,求圆的方程。

(3)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的

轨迹方程是

.

3、点与圆的位置
x y 例 3、设椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心 a b
1 2 率为 e ? ,右焦点为 F ? c,0? ,方程 ax ? bx ? c ? 0 2
的两个实根为 x1 , x2 ,则点 P ? x1, x2 ? A.必在圆 x ? y ? 2 内;
2 2 2
2 2

(
2

)

B. 必在圆 x ? y ? 2 上; D.以上情况都有可能。

C. 必在圆 x ? y ? 2 外;
2 2

4、与圆有关的最值问题
例 4、 已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两 → →

条切线, A 、 B 为两切点,那么 PA · PB 的最小值为 ( ) B.-3+ 2 D.-3+2 2

A.-4+ 2 C.-4+2 2

解析:如图所示:设 PA=PB=x(x>0),∠APO=α,则∠ 1 APB=2α,PO= 1+x ,sinα= 2, 1+x
2

练习、设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点,过点 P 作圆 C:x +y -2x-2y+1=0 的两条切线,切点分 别为 A,B,则四边形 PACB 的面积最小时,∠APB= ( )A.60° B.45°
2 2
2 2

C.30°

D.120°

解析:⊙C:(x-1) +(y-1) =1,∵PA、PB 是⊙C 的 两条切线, ∴△PAC≌△PBC, ∴四边形 PACB 面积最小, 即△PAC 面积最小,∵AC 为⊙C 的半径,∴只要 PA 取 最小值,从而 PC 取最小值,∴PC 与已知直线垂直, ∴|PC|=2,∴∠APB=2∠APC=60°.


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