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§9.4 直线与圆、圆与圆的


数学

川(文)

§9.4 直线与圆、圆与圆的 位置关系
第九章 解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0 (A2 + B2≠0), 圆:(x-a) +(y-b) =r (r>0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联

立直线和圆的方程,消元后得到的 一元二次方程的判别式为 Δ.
2 2 2

难点正本 疑点清源
1.直线与圆的位置关系 体现了圆的几何性质 和代数方法的结合, “代数法”与“几何 法”是从不同的方面 和思路来判断的.

基础知识

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要点梳理
方法 位置关系 相交 相切 相离
难点正本 疑点清源
1.直线与圆的位置关系

几何法 代数法 d< r d=r d> r Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0

体现了圆的几何性质 和代数方法的结合, “代数法”与“几何 法”是从不同的方面 和思路来判断的.

2. 圆与圆的位置关系 设圆 O1: (x-a1)2+(y-b1)2=r2(r1>0), 1 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 (r2>0). 2
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基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2. 计算直线被圆截得的弦长的

方法 几何法: 代数法:两圆 圆心距 d 位置 关系 相离 外切 与 r1,r2 的关系 方程联立组成 方程组的解的 情况

常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线 的距离)、弦长的一半及半径 构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用根与系数关系及弦长公式 |AB|= 1+k2|xA-xB| = ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB].

d>r1+r2
d=r1+r2

无解 一组实数解

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要点梳理 |r1-r2|<d< r1+r2
d=|r1- r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1- r2|(r1≠r2)
难点正本 疑点清源
2. 计算直线被圆截得的弦长的

相 交 内 切 内 含

两组不同的 实数解 一组实数解

常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线 的距离)、弦长的一半及半径 构成直角三角形计算.

无解

(2)代数方法 运用根与系数关系及弦长公式 |AB|= 1+k2|xA-xB| = ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB].

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基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
2x-y=0

解析

(- 3, 3)

(-13,13)

B
B

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题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l:y=kx+1,圆 C: (x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短 弦长.

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题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l:y=kx+1,圆 C: (x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短 弦长.

直线与圆的交点个数即为直线 方程与圆方程联立而成的方程 组解的个数;最短弦长可用代 数法或几何法判定.

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题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l:y=kx+1,圆 C:

? (x-1)2+(y+1)2=12.?y=kx+1, 方法一 (1)证明 由? ??x-1?2+?y+1?2=12, ? (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 消去 y 得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0, 因为 Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0, l 和圆 C 总有两个交点; 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短 (2)解 设直线与圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,

则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB|= 1+k2|x1-x2| 弦长.

8-4k+11k2 4k+3 =2 =2 11- , 1+k2 1+k2 4k+3 2 令 t= 2 ,则 tk -4k+(t-3)=0, 1+k
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动画展示
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题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l:y=kx+1,圆 C:

3 (x-1)2+(y+1)2=12. t≠0 时,因为 k∈R, 当 t=0 时,k=- ,当 4 所以 Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0, (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 4k+3 故 t= C 总有两个交点; l 和圆1+k2 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7.

|k+2| 方法二 (1)证明 C 圆心 C(1,-1)到直线 l 的距离 d= ,圆 (2)求直线 l 被圆 截得的最短 1+k2

弦长. k2+4k+4 11k2-4k+8 C 的半径 R=2 3,R2-d2=12- = ,而在 1+k2 1+k2
S=11k2-4k+8 中,
Δ=(-4)2-4×11×8<0,
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题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l:y=kx+1,圆 C:
故 11k22-4k+8>0 对 k∈R 恒成立, (x-1) +(y+1)2=12.

所以 R2-d2>0,即 d<R,所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总 (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 有两个交点. 8-4k+11k2 l 和圆 由平面几何知识,知|AB|=2 R2-d2=2 (2)解 C 总有两个交点; , 1+k2 (2)求直线 l 被圆 下同方法一. C 截得的最短
方法三 (1)证明 因为不论 k 为何实数,直线 l 总过点 P(0,1), 弦长. 而|PC|= 5<2 3=R,所以点 P(0,1)在圆 C 的内部,即不论 k 为 何实数,直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P.

所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点.
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题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l:y=kx+1,圆 C:

(x-1)2由平面几何知识知过圆内定点 P(0,1)的弦, +(y+1)2=12. (2)解 只有和 AC (C 为 (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 圆心)垂直时才最短, 而此时点 P(0,1)为弦 AB 的中点, 由勾股定理, l 和圆 C 总有两个交点; 知|AB|=2 12-5=2 7, (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短 即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. 弦长.

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题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l:y=kx+1,圆 C: (x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短 弦长.

(1)利用圆心到直线的距离可判 断直线与圆的位置关系,也可利 用直线的方程与圆的方程联立 后得到的一元二次方程的判别 式来判断直线与圆的位置关系; (2)勾股定理是解决有关弦问题 的常用方法.

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变式训练 1 (2012· 安徽)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共

点,则实数 a 的取值范围是 A.[-3,-1] C.[-3,1]
解析

( C ) B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

由题意知,圆心为(a,0),半径 r= 2.

若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离小于或等于半径, |a-0+1| 即 ≤ 2,∴|a+1|≤2.∴-3≤a≤1. 2

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题型二
【例 2】

圆与圆的位置关系
a 为何值时,圆 C1:x +
2

思维启迪

解析

探究提高

y2-2ax+4y+a2-5=0 和圆 C2: x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)外切;(2)相交;(3)外离; (4)内切.

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题型二
【例 2】

圆与圆的位置关系
a 为何值时,圆 C1:x +
2

思维启迪

解析

探究提高

y2-2ax+4y+a2-5=0 和圆 C2: x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)外切;(2)相交;(3)外离; (4)内切.

(1)分别表示出两圆的圆心坐标 和半径;(2)利用圆心距与两圆半 径的关系求解.

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题型二 圆与圆的位置关系
2

【例 2】 a 为何值时,圆 C1:x + 解2 将两圆方程写成标准方程. y -2ax+4y+a2-5=0 和圆 C2: C1:(x-a)2+(y+2)2=9, 2 +y2+2x-2ay+a2-3=0. Cx:(x+1)2+(y-a)2=4. 2 ∴两圆的圆心和半径分别为 C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2, (1)外切;(2)相交;(3)外离; 设两圆的圆心距为 d, (4)内切. 则 d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. 动画展示 (1)当 d=5,即 2a2+6a+5=25 时,两圆外切, 此时 a=-5 或 a=2. (2)当 1<d<5,即 1<2a2+6a+5<25 时,两圆相交,此时-5<a< -2 或-1<a<2. (3)当 d>5,即 2a2+6a+5>25 时,两圆外离,此时 a>2 或 a<-5. (4)当 d=1,即 2a2+6a+5=1 时,两圆内切,此时 a=-1 或 a=-2.
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思维启迪

解析

探究提高

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题型二
【例 2】

圆与圆的位置关系
a 为何值时,圆 C1:x +
2

思维启迪

解析

探究提高

y2-2ax+4y+a2-5=0 和圆 C2: x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)外切;(2)相交;(3)外离; (4)内切.

判断两圆的位置关系常用几何 法,即用两圆圆心距与两圆半径 和与差之间的关系,一般不采用 代数法.

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变式训练 2 已知圆 C 与圆 C1:x2+y2-2x=0 相外切,并且与直线

l:x+ 3y=0 相切于点 P(3,- 3),求圆 C 的方程.

解 设所求圆的圆心为 C(a,b),半径长为 r, 则圆 C 的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ∵C(a,b)在过点 P 且与 l 垂直的直线上,
b+ 3 ∴ = 3. a-3 ①

|a+ 3b| 又∵圆 C 与 l 相切于点 P,∴r= . 2



∵圆 C 与圆 C1 相外切,∴ ?a-1?2+b2=r+1. 由①得 3a-b-4 3=0,
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题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知圆 C 与圆 C1:x2+y2-2x=0 相外切,并且与直线

l:x+ 3y=0 相切于点 P(3,- 3),求圆 C 的方程.

从而由②③④可得 4a2-26a+49=|2a-6|+1,
?a=4 ? 解得? ?b=0 ? ?a=0 ? ,或? ?b=-4 ?



3

,此时,r=2 或 r=6.

即所求的圆 C 的方程为 (x-4)2+y2=4 或 x2+(y+4 3)2=36.

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题型三
【例 3】

直线与圆的综合问题
已知⊙M:x2+(y-2)2
思维启迪 解析

探究提高

=1,Q 是 x 轴上的动点,QA, QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. 4 2 (1)若|AB|= , 求|MQ|、 点 Q 3 的坐标以及直线 MQ 的方程; (2)求证:直线 AB 恒过定点.

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题型三
【例 3】

直线与圆的综合问题
已知⊙M:x2+(y-2)2
思维启迪 解析

探究提高

=1,Q 是 x 轴上的动点,QA, QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. 4 2 (1)若|AB|= , 求|MQ|、 点 Q 3 的坐标以及直线 MQ 的方程; (2)求证:直线 AB 恒过定点.

第(1)问利用平面几何的知识解决; 第(2)问设点 Q 的坐标, 从而确定点 A、B 的坐标与 AB 的直线方程.

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题型三
【例 3】

直线与圆的综合问题
已知⊙M:x2+(y-2)2
思维启迪 解析

探究提高

2 =1,Q 是 x 轴上的动点,QA, (1)解 设直线 MQ 交 AB 于点 P,则|AP|= 2, 3 QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. 又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ, 4 2 (1)若|AB|= 2 8 求|MQ|、 点 , Q 3 =1, 得|MP|= 1 - 9 3 的坐标以及直线 MQ 的方程; |MA|2 又∵|MQ|= ,∴|MQ|=3. |MP| (2)求证:直线 AB 恒过定点. 设 Q(x,0),而点 M(0,2),由 x2+22=3,得 x=± 5,
则 Q 点的坐标为( 5,0)或(- 5,0).

从而直线 MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0.
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题型三
【例 3】

直线与圆的综合问题
已知⊙M:x2+(y-2)2
思维启迪 解析

探究提高

=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,
(2)证明 设点 Q(q,0),由几何性质,可知 A、B 两点在以 QM 为直径的 QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. 4 2 圆上,此圆的方程为 x(x-q)+y(y-2)=0,而线段 AB 是此圆与已知圆 (1)若|AB|= , 求|MQ|、 点 Q 3 ? 3? 的公共弦,即为 qx-2y+3=0,所以直线 AB 恒过定点?0,2?. 的坐标以及直线 MQ 的方程; ? ?

(2)求证:直线 AB 恒过定点.

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题型三
【例 3】

直线与圆的综合问题
已知⊙M:x2+(y-2)2
思维启迪 解析

探究提高

=1,Q 是 x 轴上的动点,QA, 在解决直线与圆的位置关系时要充 QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. 分考虑平面几何知识的运用, 如在直 4 2 (1)若|AB|= , 求|MQ|、 点 线与圆相交的有关线段长度计算中, Q 3 要把圆的半径、圆心到直线的距离、 的坐标以及直线 MQ 的方程; 直线被圆截得的线段长度放在一起 (2)求证:直线 AB 恒过定点. 综合考虑,不要单纯依靠代数计算,
这样既简单又不容易出错.

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变式训练 3 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.
解 (1)如图所示,|AB|=4 3,将圆 C 方程化 为标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,

∴圆 C 的圆心坐标为(-2,6),半径 r=4, 设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB,
∴|AD|=2 3,|AC|=4.C 点坐标为(-2,6). 在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2.

设所求直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为:y-5=kx, 即 kx-y+5=0.
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题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程. |-2k-6+5| 由点 C 到直线 AB 的距离公式: 2 2 =2, k +?-1? 3 得 k= . 4 故直线 l 的方程为 3x-4y+20=0.

又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0.
∴所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), → → 则 CD⊥PD,即CD· =0,∴(x+2,y-6)· PD (x,y-5)=0,

化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0.
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答题模板 12.与圆有关的探索问题
典例:(12 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存 在两点 A、B 关于直线 y=kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经 过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说明理由.
审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

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答题模板 12.与圆有关的探索问题
典例:(12 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存 在两点 A、B 关于直线 y=kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经 过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说明理由.
审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)假设存在两点 A、B 关于直线对称,则直线过圆心. → → (2)若以 AB 为直径的圆过原点,则 OA⊥OB,转化为OA· =0. OB

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答题模板 12.与圆有关的探索问题
典例:(12 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存 在两点 A、B 关于直线 y=kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经 过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说明理由.
规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒 解 圆 C 的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心为 C(1,-2).假设在圆 C 上存在两点 A、B 满足条件,
则圆心 C(1,-2)在直线 y=kx-1 上,即 k=-1.
3分

于是可知,kAB=1. 设 lAB:y=x+b,代入圆 C 的方程, 整理得 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 则 Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0,即 b2+6b-9<0. 解得-3-3 2<b<-3+3 2.
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7分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 12.与圆有关的探索问题
典例:(12 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存 在两点 A、B 关于直线 y=kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经 过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说明理由.
规 范 解 答 审 题 视 角 设点 A、B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 2 则 x1+x2=-b-1,x1x2=2b +2b-2. 由题意知 OA⊥OB,则有 x1x2+y1y2=0,
也就是 x1x2+(x1+b)(x2+b)=0. ∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0. ∴b2+4b-4-b2-b+b2=0,化简得 b2+3b-4=0. 解得 b=-4 或 b=1,均满足 Δ>0,
10分

温 馨 提 醒

即直线 AB 的方程为 x-y-4=0,或 x-y+1=0.
基础知识 题型分类 思想方法

动画展示

12分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 12.与圆有关的探索问题
典例:(12 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存 在两点 A、B 关于直线 y=kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经 过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说明理由.
审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

第一步:假设符合要求的结论存在.
第二步:从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解.

第三步:确定符合要求的结论存在或不存在. 第四步:给出明确结果. 第五步:反思回顾,查看关键点,易错点及答题规范.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 12.与圆有关的探索问题
典例:(12 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存 在两点 A、B 关于直线 y=kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经 过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说明理由.
审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)本题是与圆有关的探索类问题,要注意充分利用圆的几何性质答题. (2)要注意解答这类题目的答题格式.使答题过程完整规范. (3)本题的易错点是转化方向不明确,思路不清晰.

基础知识

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思想方法

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思想方法·感悟提高
1.过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率 1 为- k,由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存 在,则由图形写出切线方程 x=x0.

方 法 与 技 巧

2.过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)几何方法 当斜率存在时,设为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0), 即 kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径, 即可得出切线方程. (2)代数方法 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代 入圆方程,得一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ=0, 求得 k,切线方程即可求出.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

思想方法·感悟提高
3.两圆公共弦所在直线方程求法 若两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到 两圆的公共弦所在的直线方程.

方 法 与 技 巧

4.圆的弦长的求法 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l, ?l? 则?2?2=r2-d2. ? ? (2)代数法:设直线与圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两 ?y=kx+b, ? 点,解方程组? 消 y 后得关于 ??x-x0?2+?y-y0?2=r2, ? x 的一元二次方程,从而求得 x1+x2,x1x2,则弦长为 |AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2](k 为直线斜率).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆 心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾股定理

失 误 与 防 范

或斜率之积为-1 列方程来简化运算.
2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作 圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考虑运 算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以 防漏解.

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

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1.“a=3”是“直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相切”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解 析

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1.“a=3”是“直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相切”的 ( A ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解 析
|a-3+4| 若直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 相切, 则有 2
2 2

=2 2,即|a+1|=4,所以 a=3 或-5.但当 a=3 时,直线 y =x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 一定相切,故“a=3”是 “直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相切”的充分不必 要条件.
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2.(2012· 重庆)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位 置关系一定是 A.相离 C.相交但直线不过圆心 B.相切 D.相交且直线过圆心 ( )

解 析

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2.(2012· 重庆)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位 置关系一定是 A.相离 C.相交但直线不过圆心 B.相切 D.相交且直线过圆心 ( C )

解 析
∵x2+y2=2 的圆心(0,0)到直线 y=kx+1 的距离
|0-0+1| 1 d= 2 = 2≤1, 1+k 1+k

又∵r= 2,∴0<d<r.
∴直线与圆相交但直线不过圆心.
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3.过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦 长为 A. 3 B.2 C. 6 D.2 3 ( )

解 析

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3.过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦 长为 A. 3 B.2 C. 6 D.2 3 ( D )

解 析
过原点且倾斜角为 60° 的直线方程为 3x-y=0,圆 x2+(y- | 3× 0-2| 2) =4 的圆心(0,2)到直线的距离为 d= =1,因此弦 3+1
2

长为 2 R2-d2=2 4-1=2 3.

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4.直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点,若 |MN|≥2 3,则 k 的取值范围是 ? ? 3 ? 3 3? ? ? ? ? ?- 3, 3? ?- ,0? A. 4 B.?- , ? C.? ? 3 3? ? ? ? ( ) ? 2 ? D.?-3,0? ? ?

解 析

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4.直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点,若 |MN|≥2 3,则 k 的取值范围是 ? ? 3 ? 3 3? ? ? ? ? ?- 3, 3? ?- ,0? A. 4 B.?- , ? C.? ? 3 3? ? ? ? ( B ) ? 2 ? D.?-3,0? ? ?

如图,若|MN|=2 3, 则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足
d2=22-( 3)2=1. ∵直线方程为 y=kx+3, |k· 2-3+3| ∴d= 2 =1, 1+k 3 解得 k=± 3 . 3 3 若|MN|≥2 3,则- 3 ≤k≤ 3 .
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解 析

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5. 设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、 两点, B 且弦 AB 的长为 2 3,则 a=________.

解 析

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5. 设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、 两点, B

0 且弦 AB 的长为 2 3,则 a=________. 解 析
|a+1| d= 2 ,由已知条件 d2+3=4, a +1

|a+1| 即 d=1, 2 =1,解得 a=0. a +1

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6.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0 (a>0)的公共弦长为 2 3, 则 a=________.

解 析

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6.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0 (a>0)的公共弦长为 2 3,

1 则 a=________. 解 析
方程 x2+y2+2ay-6=0 与 x2+y2=4.

1 1 2 2 相减得 2ay=2,则 y= .由已知条件 2 -? 3? = , a a
即 a=1.

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7.(2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2- 8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为 圆心, 为半径的圆与圆 C 有公共点, k 的最大值是________. 1 则

解 析

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7.(2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2- 8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为 4 3 圆心, 为半径的圆与圆 C 有公共点, k 的最大值是________. 1 则

解 析
圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).
由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2,

|4k-2| 4 2 即 2 ≤2.整理,得 3k -4k≤0.解得 0≤k≤ . 3 k +1
4 故 k 的最大值是3.
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8.(10 分)求过点 P(4,-1)且与圆 C:x2+y2+2x-6y+5=0 切于 点 M(1,2)的圆的方程.

解 析

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8.(10 分)求过点 P(4,-1)且与圆 C:x2+y2+2x-6y+5=0 切于 点 M(1,2)的圆的方程.

解 析
解 设所求圆的圆心为 A(m,n),半径为 r,
则 A,M,C 三点共线,且有|MA|=|AP|=r, 因为圆 C:x2+y2+2x-6y+5=0 的圆心为 C(-1,3),

? n-2 2-3 ? = m-1 1+1 则? ? ?m-1?2+?n-2?2= ?m-4?2+?n+1?2=r ?
解得 m=3,n=1,r= 5,
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.
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1 2

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3 4 5 9.(12 分)已知点 A(1,a),圆 x2+y2=4.

(1)若过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切,求 a 的 值及切线方程.

解 析

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3 4 5 9.(12 分)已知点 A(1,a),圆 x2+y2=4.

(1)若过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切,求 a 的 值及切线方程.

解 析
解 (1)由于过点 A 的圆的切线只有一条,则点 A 在圆上, 故 12+a2=4,∴a=± 3.
当 a= 3时,A(1, 3),切线方程为 x+ 3y-4=0; 当 a=- 3时,A(1,- 3),切线方程为 x- 3y-4=0, ∴a= 3时,切线方程为 x+ 3y-4=0, a=- 3时,切线方程为 x- 3y-4=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

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6 7 8 9

3 4 5 9.(12 分)已知点 A(1,a),圆 x2+y2=4.

(1)若过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切,求 a 的 值及切线方程.

解 析
(2)设直线方程为 x+y=b,由于直线过点 A,∴1+a=b,
∴直线方程为 x+y=1+a,即 x+y-a-1=0.

|a+1| 又直线与圆相切,∴d= =2,∴a=± 2-1. 2 2
∴切线方程为 x+y+2 2=0 或 x+y-2 2=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

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1 2

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4 5 6 7

1.(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆 (x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] ( )

B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞)

解 析

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1 2

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3

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4 5 6 7

1.(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆 (x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] ( D )

B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞)

解 析
圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 的距离为 |m+n| 2 2=1, ?m+1? +?n+1? 1 所以 m+n+1=mn≤4(m+n)2,

所以 m+n≥2+2 2或 m+n≤2-2 2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组

专项能力提升

7 2 3 4 6 5 2.(2011· 江西)若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)

=0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 ( 3 3 3 3 A.(- , ) B.(- ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 3 3 3 3 C.[- , ] D.(-∞,- )∪( ,+∞) 3 3 3 3

)

解 析

基础知识

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1

B组

专项能力提升

7 2 3 4 6 5 2.(2011· 江西)若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)

=0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 ( 3 3 3 3 A.(- , ) B.(- ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 3 3 3 3 C.[- , ] D.(-∞,- )∪( ,+∞) 3 3 3 3

)

解 析
C1:(x-1)2+y2=1,
C2:y=0 或 y=mx+m=m(x+1).

当 m=0 时,C2:y=0,此时 C1 与 C2 显然只有两个交点;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组

专项能力提升

7 2 3 4 6 5 2.(2011· 江西)若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)

=0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 ( B ) 3 3 3 3 A.(- , ) B.(- ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 3 3 3 3 C.[- , ] D.(-∞,- )∪( ,+∞) 3 3 3 3

解 析
当 m≠0 时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1 与直线 y= 3 m(x+1)有两交点,当圆与直线相切时,m=± ,即直线处 3 3 3 于两切线之间时满足题意,则- <m<0 或 0<m< . 3 3 3 3 综上知- 3 <m<0 或 0<m< 3 .
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1 2

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3

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4 5 6 7

3.(2011· 大纲全国)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点 (4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于 A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 ( )

解 析

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3

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4 5 6 7

3.(2011· 大纲全国)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点 (4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于 A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 ( C )

解 析

∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),

∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.
设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),

则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2, 即 a,b 为方程(4-x)2+(1-x)2=x2 的两个根, 整理得 x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17. ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32, ∴|C1C2|= ?a-b?2+?a-b?2= 32×2=8.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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3

专项能力提升
4 5 6 7

4.若过点 A(a,a)可作圆 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的两条 切线,则实数 a 的取值范围为______________________.

解 析

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4 5 6 7

4.若过点 A(a,a)可作圆 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的两条 ? 3? (-∞,-3)∪?1,2? ? ? 切线,则实数 a 的取值范围为______________________.

解 析
圆方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,
?3-2a>0 ? 由已知可得? 2 ?a >3-2a ?

3 ,解得 a<-3 或 1<a< . 2

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1 2

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4 5 6 7

5.若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 C:x2+4x+y2-5=0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是__________.

解 析

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1 2

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3

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4 5 6 7

5.若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 C:x2+4x+y2-5=0

(0, 5) 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是__________.

解 析
圆的标准方程为(x+2)2+y2=9,令 x=0 得 圆与 y 轴的两个交点为(0,± 5),如图,直 线 kAM= 5.若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的 直线与圆 x2+4x+y2-5=0 在第一象限内的 部分有交点,则 k 的取值范围是 0<k< 5.
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3

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4 5 6 7

6.过点

?1 ? M?2,1?的直线 ? ?

l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 交于 A、B 两点,

C 为圆心, 当∠ACB 最小时, 直线 l 的方程为_______________.

解 析

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3

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4 5 6 7

6.过点

?1 ? M?2,1?的直线 ? ?

l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 交于 A、B 两点,

2x-4y+3=0 C 为圆心, 当∠ACB 最小时, 直线 l 的方程为_______________. 解 析

由题意得,当 CM⊥AB 时,∠ACB 最小, 1 1- ? 2 1? ?x- ?,即 2x-4y+3=0. 从而直线方程 y-1=- 2? 0-1?

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6

5 1 2 3 4 7.(13 分)已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x
+2y+7=0 相切.过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点. (1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程.

7

解 析

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1 2

B组

专项能力提升
6 7

5 3 4 7.(13 分)已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x
+2y+7=0 相切.过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点. (1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程.

解 析



(1)设圆 A 的半径为 R,

由于圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切, |-1+4+7| ∴R= =2 5. 5 ∴圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)①当直线 l 与 x 轴垂直时, 易知 x=-2 符合题意;
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1 2

B组

专项能力提升
6 7

5 3 4 7.(13 分)已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x
+2y+7=0 相切.过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点. (1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程.

解 析

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2),

即 kx-y+2k=0. 连接 AQ,则 AQ⊥MN.

∵|MN|=2 19,∴|AQ|= 20-19=1,
|k-2| 3 则由|AQ|= 2 =1,得 k=4, ∴直线 l:3x-4y+6=0. k +1

故直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0.
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§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

§9.4 直线与圆圆与圆的位置关系_数学_高中教育_教育专区。§ 9.4 直线与圆圆与圆的位置关系 1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法:...

9.4直线与圆、圆与圆的位置关系

9.4 直线与圆圆与圆的位置关系 考纲要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 3.能用直线...

9.4直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆圆与圆的位置关系 4直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结 第直线与圆圆与圆的位置关系 合,“代数法”与“几何...

9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

9.4 直线与圆圆与圆的位置关系_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 9.4 直线与圆圆与圆的位置关系_数学_高中教育_教育专区。...

9.4直线与圆、圆与圆的位置关系

§ 9.4 2014 高考会这样考 直线与圆圆与圆的位置关系 1.考查直线与圆的相交、 相切问题, 判断直线与圆圆与圆的位置关系; 2.计算弦长、面积,考查与...

9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

9.4 直线与圆圆与圆的位置关系一、选择题 1.已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数, 且 x+y=1},则 A∩B...

9-4直线与圆、圆与圆的位置关系

9-4 直线与圆圆与圆的位置关系 基础巩固一、选择题 1.(文)圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是 ( ) A.相切 C.相交过圆心 [...

9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 2

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9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 练出高分(含答案解析)

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