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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:2.3 函数的奇偶性与周期性

时间:2014-07-14


2.3

函数的奇偶性与周期性

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -2-

考纲要求 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

第二



2.3

函数的奇偶性与周期性 -3-

1.函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于 关于 y轴 原点 对称 对称

想一想你能否找出一个函数,既是奇函数,又是偶函数? 答案:f(x)=0,x∈R 即可.

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -4-

2.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定 义域内的任何值时,都有 f(x+T)= 称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中 的正数,那么这个 3.对称性

f(x) ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数, 存在一个最小

最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期.

若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)或 f(x)=f(2a-x),则函数 f(x)关于直线

x=a 对称.

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -5-

基础自测
1.函数 f(x)= -x 的图象关于( ) A.y 轴对称 C.坐标原点对称 B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称
1 x

关闭

判断 f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故选 C.
关闭

C
解析 答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -6-

2.(2013 湖南高考)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1

∵ f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴ f(-1)+g(1)=2,即-f(1)+g(1)=2.① f(1)+g(-1)=4,即 f(1)+g(1)=4.② B 由①+②得 g(1)=3,故选 B.
解析

关闭

关闭

答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -7-

3.函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-3)上( A.先减后增 B.先增后减 C.单调递减 D.单调递增

)

关闭

当 m=1 时,f(x)=2x+3 不是偶函数,当 m≠1 时,f(x)为二次函数,要使其为 偶函数,则其对称轴应为 y 轴,故需 m=0,此时 f(x)=-x2+3,其图象的开口向下 , 关闭 D 所以函数 f(x)在(-5,-3)上单调递增.
解析 答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -8-

4.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=2x,则 f(-2 014)+f(2 015)的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

关闭

f(-2 014)+f(2 015)=f(0)+f(1)=20+21=3.
关闭

C
解析 答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -9-

5.若偶函数 f(x)是以 4 为周期的函数,f(x)在区间[-6,-4]上是减函数,则 f(x)在 [0,2]上的单调性是 .

关闭

∵ T=4,且在[-6,-4]上单调递减, ∴ 函数在[-2,0]上也单调递减.又 f(x)为偶函数,故 f(x)的图象关于 y 轴对称,关闭 单调递增 由对称性知 f(x)在[0,2]上单调递增.
解析 答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -10-

考点一 函数奇偶性的判定
【例 1】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 3-x 2 + x 2 -3; (2)f(x)=(x+1) (3)f(x)=
4-x2 |x+3|-3 1-x ; 1+x

.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -11-

3- 2 ≥ 0, 解:(1)由 2 得 x=- 3或 x= 3. -3 ≥ 0, ∴ 函数 f(x)的定义域为{- 3, 3}. ∵ 对任意的 x∈{- 3, 3},-x∈{- 3, 3},且 f(-x)=-f(x)=f(x)=0, ∴ f(x)既是奇函数,又是偶函数. (2)要使 f(x)有意义,则
1- 1+

≥0,

解得-1<x≤1,显然 f(x)的定义域不关于原点对称, ∴ f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -12-

4- 2 ≥ 0, (3)∵ | + 3| ≠ 3, ∴ -2≤x≤2 且 x≠0. ∴ 函数 f(x)的定义域关于原点对称. 又 f(x)= f(-x)=
4- 2 +3-3

=

4- 2 4- 2

,

4-(- )2 -

=-

,

∴ f(-x)=-f(x), 即函数 f(x)是奇函数.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -13-

方法提炼 判定函数奇偶性的常用方法及思路: 1.定义法

考点一

考点二

考点三

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -14-

2.图象法

3.性质法:(1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇·奇”是偶,“奇÷ 奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶·偶”是偶,“偶÷ 偶”是偶; (3)“奇·偶”是奇,“奇÷ 偶”是奇. 提醒:(1)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内 x 取值的任意性,应分 段讨论,讨论时可依据 x 的范围取相应地化简解析式,判断 f(x)与 f(-x)的关 系,得出结论,也可以利用图象作判断. (2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. (3)性质法在选择题和填空题中可直接运用,但在解答题中应给出性质 推导的过程.
考点一 考点二 考点三

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -15-

举一反三 1 下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是( )
A.y=2|x| C.y=2x+2-x B.y=lg(x+ x 2 + 1) D.y=lg
1 x+1

关闭

对于 D,y=lg

1

+1

的定义域为{x|x>-1},不关于原点对称,是非奇非偶函数.
关闭

D
解析 考点一 考点二 考点三 答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -16-

考点二 函数奇偶性的应用
【例 2-1】 (2013 重庆高考)已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则 f(lg(lg 2))=( ) A.-5 B.-1 C.3 D.4
关闭

∵ log210= ,
lg2

1

∴ lg(log210)=lg(lg 2)-1=-lg(lg 2). 令 g(x)=ax3+bsin x,易知 g(x)为奇函数. ∵ f(lg(log210))=f(-lg(lg 2))=g(-lg(lg 2))+4=5, ∴ g(-lg(lg 2))=1. ∴ g(lg(lg 2))=-1. ∴ f(lg(lg 2))=g(lg(lg 2))+4=-1+4=3.故选 C. B
解析 考点一 考点二 考点三

关闭

答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -17-

【例 2-2】 设 a,b∈R,且 a≠2,若定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)=lg 是奇函数 ,则 a+b 的取值范围为 ∵ f(x)在(-b ,b ) 上是奇函数 ,∴ f(-x)=lg . =-f(x)=-lg
1-2 1- 1+ 1+2

1+ax 1+2x
关闭

=lg

1+2 1+

,



1+2

1+

=

1- 1-2 1-2 1+2

对 x∈(-b,b)成立,可得 a=-2(a=2 舍去). .
1 2 1 2

∴ f(x)=lg 由

1-2 1+2

>0,得- <x< .
关闭

又 f(x)定义区间为(-b,b),
3≤1,-2<a+b≤-3. ∴ 0<b -2,2 2 2
解析 考点一 考点二 考点三

答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -18-

方法提炼 函数奇偶性的应用: 1.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在 各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于 f(x)的方程,从而可得 f(x)的解析式. 2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数,常常采用待定 系数法:利用 f(x)± f(-x)=0 产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字 母的值. 3.奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单 调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 4.若 f(x)为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0.这一结论在解决问题中 十分便捷,但若 f(x)是偶函数且在 x=0 处有定义,就不一定有 f(0)=0,如 f(x)=x2+1 是偶函数,而 f(0)=1.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -19-

举一反三 2(1)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0),则不等式 f(x-2)>0
的解集为( )

A.{x|x<-2,或 x>4} B.{x|x<0,或 x>4} C.{x|x<0,或 x>6} D.{x|x<-2,或 x>2} (2)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减.若数 列{an}是等差数列,且 a3<0,则 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的值( ) A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 0 D.可正可负

考点一

考点二

考点三

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -20-

解析: (1)当 x≥0 时,令 f(x)=2x-4>0,所以 x>2.又因为函数 f(x)为偶函数, 所以函数 f(x)>0 的解集为{x|x<-2,或 x>2}.将函数 y=f(x)的图象向右平移 2 个单位即得函数 y=f(x-2)的图象,故 f(x-2)>0 的解集为{x|x<0,或 x>4}. (2)∵ 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,函数 f(x)单调递减, ∴ 当 x<0 时,函数 f(x)亦单调递减,且 f(0)=0, ∴ 函数 f(x)在 R 上单调递减,且 x≥0 时,f(x)≤0;x<0 时,f(x)>0. ∵ a3<0,∴ f(a3)>0. ①若等差数列{an}的公差 d>0, ∵ f(a1)=f(a3-2d)>|f(a3+2d)|=|f(a5)|, ∴ f(a1)+f(a5)>0; 同理 f(a2)+f(a4)>0, ∴ f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)>0.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -21-

②若等差数列{an}的公差 d=0,则有 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)=5f(a3)>0. ③若等差数列{an}的公差 d<0, ∵ f(a5)=f(a3+2d)>|f(a3-2d)|=|f(a1)|, ∴ f(a5)+f(a1)>0; 同理 f(a2)+f(a4)>0, ∴ f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)>0.综上,选 A.
答案: (1)B (2)A

考点一

考点二

考点三

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -22-

考点三

函数的周期性及其应用
3 2

【例 3-1】 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f x + 014)= .

,且 f(1)=3,则 f(2

关闭

∵ f(x)=-f +

3 2

,
3 2

∴ f(x+3)=f +

+ =-f +
2

3

3 2

=f(x).

∴ f(x)是以 3 为周期的周期函数. 则 f(2 014)=f(671×3+1)=f(1)=3. 3
解析 考点一 考点二 考点三

关闭

答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -23-

【例 3-2】 已知 f(x)是 R 上的奇函数,f(1)=2,且对任意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则 f(3)= ;f(2 019)= .

在 f(x+6)=f(x)+f(3)中,令 x=-3,得 f(3)=f(-3)+f(3), 即 f(-3)=0,又 f(x)是 R 上的奇函数,故 f(3)=0. 故 f(x+6)=f(x),知 f(x)是周期为 6 的周期函数,从而 f(2 0 0 019)=f (6×336+3)=f(3)=0.
解析 考点一 考点二 考点三

关闭

关闭

答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -24-

方法提炼 抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出,常见的有以下几种情 形: (1)若函数满足 f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知 T 是函数的一个 周期; (2)若满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以 2a 是函 数的一个周期; (3)若满足 f(x+a)=
1 ,则 f(x)

f(x+2a)=f[(x+a)+a]=

1 =f(x), f(x+a)

所以 2a 是函数的一个周期; (4)若函数满足 f(x+a)=-

1 ,同理可得 f(x)

2a 是函数的一个周期;

(5)如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则①kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周 期,即 f(x+kT)=f(x);②若已知区间[m,n](m<n)的图象,则可画出区间 [m+kT,n+kT](k∈Z 且 k≠0)上的图象.
考点一 考点二 考点三

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -25-

举一反三 3 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对
称,f(-1)=1,则 f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)= .
关闭

由已知得 f(0)=0,f(1)=-1.又 f(x)关于 x=1 对称, ∴ f(x)=f(2-x)且 T=4, ∴ f(2)=f(0)=0,f(3)=f(3-4)=f(-1)=1,f(2 008)=f(0)=0,f(2 009)=f(1)=-1, f(2 010)=f(2)=0,f(2 011)=f(3)=1,f(2 012)=f(0)=0,f(2 013)=f(1)=-1. -∴ 1 f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=-1.
解析 考点一 考点二 考点三

关闭

答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -261 2 3 4

1.(2014 届陕西西安高三联考)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f A.1 2 5 2

B.-

1 4

=( A) C.

1 4

D.

1 2

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -271 2 3 4

2.已知函数 f(x)对一切 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),则 f(x)为( A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

)

关闭

显然 f(x)的定义域是 R,它关于原点对称. 令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), 又∵ f(0)=0, ∴ f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x). B ∴ f(x)是奇函数,故选 B.
解析

关闭

答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -281 2 3 4

3.设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)· f(x+2)=13,若 f(1)=2,则 f(99)=

.

关闭

由 f(x)f(x+2)=13 得 f(x+2)= ∴ f(x+4)=f[(x+2)+2] 13 = =f(x),
( +2)

13

( )

,

∴ f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴ f(99) 13 =f(25×4-1)=f(-1)=
2
13 (1)

=

13 2

.
解析

关闭

答案

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -291 2 3 4

4.函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范 围.
解:(1)令 x1=x2=1, 有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1,有 f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1), 解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x),得 f(-x)=f(x).故 f(x)为偶函数.

第二章

2.3

函数的奇偶性与周期性 -301 2 3 4

(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3. 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) 因为 f(x)为偶函数, 所以 f(-x)=f(x)=f(|x|). 所以不等式(*)等价于 f[|(3x+1)·(2x-6)|]≤f(64). 又因为 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 则|(3x+1)(2x-6)|≤64, 且(3x+1)(2x-6)≠0. 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5.
3 3 3 7 1 1

故 x 的取值范围是 - ≤x<- ,或- < x < 3,或 3 < x ≤ 5 .
3 3 3

7

1

1


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