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高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.5知识点总结含同步练习及答案

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高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 不等式 3.5 不等式的恒成立及存在性问题(补充)

一、学习任务 了解恒成立问题与存在性问题的解题策略. 二、知识清单
恒成立问题 存在性问题

三、知识讲解
1.恒成立问题 描述: 不等式恒成立问题通常转化为求函数的最大值或最小值的问题,也可以

先分离变量,再转化为求 函数最大值或最小值的问题. ①f (x) > a 恒成立,转化为 f (x)min > a ②f (x) < a 恒成立,转化为 f (x)max < a ③f (x) ? a 恒成立,转化为 f (x)min ? a ④f (x) ? a 恒成立,转化为 f (x)max ? a 例题: 若关于 x 的不等式 ax 2 + 2x + 2 > 0 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:当 a = 0 时,原不等式可化为 2x + 2 > 0,其解集不为 R,故 a = 0 不满足题意,舍 去; 当 a ≠ 0 时,要使原不等式的解集为 R,只需 { 综上所述,实数 a 的取值范围为 (

1 , +∞) . 2

1 a>0 ,解得 a > . 2 2 Δ = 2 ? 4 × 2a < 0

已知 2 ? x ? 3 时,不等式 2x 2 ? 9x + a < 0 恒成立,求 a 的取值范围. 解:因为 2 ? x ? 3 时,2x 2 ? 9x + a < 0 恒成立, 所以当 2 ? x ? 3 时,a < ?2x 2 + 9x 恒成立. 令 f (x) = ?2x 2 + 9x(2 ? x ? 3),对称轴为 x = 所以 f (x)min = f (3) = 9,故 a < 9,所以 a 的取值范围为 (?∞, 9).

9 , 4

2.存在性问题 描述: 不等式存在性问题通常转化为求函数的最大值或最小值的问题,也可以先分离变量,再转化为求 函数最大值或最小值的问题.

f (x) > a

f (x

>a

① ② ③ ④

存在 存在 存在 存在

x x x x

使得 使得 使得 使得

f (x) > a f (x) < a f (x) ? a f (x) ? a

成立,转化为 成立,转化为 成立,转化为 成立,转化为

f (x)max > a f (x)min < a f (x)max ? a f (x)min ? a

例题: 若关于 x 的不等式 |a| ? |x + 1| + |x ? 2| 存在实数解,求实数 a 的取值范围. 解:|x + 1| + |x ? 2| 表示的是数轴上点 x 到 ?1、 2 的距离之和,若 |a| ? |x + 1| + |x ? 2| 存在实数解,则 |a| ? (|x + 1| + |x ? 2|)min 即可. 当 ?1 ? x ? 2 时,数轴上点 x 到 ?1 、2 的距离之和最小,且最小值为 3 . 所以 |a| ? 3 ,解得 a ? ?3 或 a ? 3 . 故 a 的取值范围是 (?∞, ?3] ∪ [3, +∞) . 若关于 x 的方程 4 x + a ? 2 x + a + 1 = 0 有实数解,求实数 a 的取值范围. 解:令 t = 2 x (t > 0),则原方程可转化为 t 2 + at + a + 1 = 0 在 (0, +∞) 上有实数解.方程 变形,得

a= ?

1 + t2 1+t (t + 1)2 ? 2(t + 1) + 2 =? t+1 2 = ?[(t + 1) + ? 2] t+1 ? ?(2√2 ? 2) = 2 ? 2√2 .

所以 a 的取值范围是 (?∞, 2 ? 2√2 ].

四、课后作业

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1. 若关于 x 的方程 9 x + (4 + a) ? 3 x + 4 = 0 有解,则实数 a 的取值范围是 ( A.(?∞, ?8) C.[?8, +∞)
答案: B 解析:

)

B.(?∞, ?8]

D.(?∞, +∞)

由 9 x + (4 + a) ? 3 x + 4 = 0,得 a = ?3 x ?

? ? ? ? ? ? ? 4 4 x √ ? 4 ? ?2 3 × x ? 4 = ?8 . 3x 3 )
D.a ? 4

2. 不等式 |x ? 2| ? |x + 2| ? a 有解,则实数 a 的取值范围是 ( A.a ? ?4
答案: C 解析: 根据题意,

B.a ? ?4

C.a ? 4

a ? (|x ? 2| ? |x + 2|) max
由绝对值的几何意义,得

|x ? 2| ? |x + 2| ? 4,

|x ? 2| ? |x + 2| ? 4,
因此,a ? 4. 3. 已知 f (x) = x 2 ,g (x) = ( ) ? m ,若对任意 x 1 ∈ [0, 2],存在 x 2 ∈ [1, 2],使得

f (x1 ) ? g (x2 ),则实数 m 的取值范围是 ( 1 , +∞) 4 1 C.[ , +∞) 2
A.[
答案: A 解析: 只需

1 2

x

)

1 ] 4 7 D.(?∞, ? ) 2
B.(?∞,

f (x) min ? g(x) min 即可.

4. 三位同学合作学习,对问题"已知不等式 xy ? ax2 + 2y 2 对于 x ∈ [1, 2] , y ∈ [2, 3] 恒成立,求 a 的 取值范围"提出了各自的解题思路. 甲说:"可视 x 为变量,y 为常量来分析". 乙说:"寻找 x 与 y 的关系,再作分析". 丙说:"把字母 a 单独放在一边,再作分析". 参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数 a 的取值范围是 ( A.[1, +∞)
答案: B 解析:

)
D.[?1, 6]

B.[?1, +∞)

C.[?1, 4)

y y y 2 ? 2( ) ,由 x ∈ [1, 2] , y ∈ [2, 3] ,x 、 y 构成正方形区域, 表示过 x x x y y 原点直线与正方形区域相交时直线的斜率的取值范围,则有 ∈ [1, 3] ,当 = 1 时, x x y y 2 ? 2( ) 有最大值为 ?1,则 a 的取值范围是 [?1, +∞) x x
分离变量 a ,a ?

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