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松江区2015年高三数学文科一模试卷


松江区 2014 学年度第一学期高三期末考试 数学文科试卷
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟) 2015.1

一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足

z ?4 1 z

>? 0 ,则 z 的值为



. ▲ ▲ ▲ . . .

2.已知 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) ,且 f ?1 (?1) ? 2 ,则 f ?1 ( x) ? 3.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6, a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 4.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =

5.在正四棱柱 ABCD ? A 1 与平面 ABCD 所成的角为 60 ? ,则 1B 1C1D 1 中, BC

BC1 与 AC 所成的角为



(结果用反三角函数表示) .

6.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴都相切, 则该圆的标准方程是 ▲ . ▲ .
开始
a ? 5, S ? 1

7.按如图所示的流程图运算,则输出的 S ? 8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
3

) ( x ? R , ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,

将 y ? f ( x) 图像向左平移 ? 个单位长度 (0 ? ? ? 对称,则 ? ? ▲ .

?
2

a?4

N

) 所得图像关于 y 轴

Y
S ? S ?a a ? a ?1
第7题

输出S 结束

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则该 9.已知双曲线 4 b
双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ▲ . 10.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 5 的概率为 11.函数 f ( x) ?





1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 的单调递增区间为 2 2
2 2





12. 某同学为研究函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ?

? 0 ? x ? 1? 的性质,构造了如图所示的两个边
▲ .

长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,设

CP ? x ,则 f ? x ? ? AP ? PF .此时 fmax ( x) ? f min ( x) =

13. 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 对任意 x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) , 且当 x ? ?? 2,0? 时,

?1? f ( x) ? ? ? ? 1 .若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga ( x ? 2)(a ? 1) 在区间 ?? 2,6? 恰有 3 个不同的零点, ?2?
则 a 的取值范围是 ▲ . 14. (文)在正项等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a4 ? 1 ,若集合

x

? 1? ? 1? ? ? A ? ?t ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? a1 ? ? a2 ? ? ? ?

? ? 1? ? ? ? at ? ? ? 0, t ? N ? ? ,则 A 中元素个数为 at ? ? ? ?





二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相 应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 p, q ? R ,则“ q ? p ? 0 ”是“ A.充分非必要条件 C.充要条件
n

p ? 1 ”的 q

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

2 ? ? * 16.若二项式 ? 3x 2 ? ? (n ? N ) 展开式中含有常数项,则 n 的最小取值是 3 x? ?
A.4 C.6 B.5 D.7

17.设 P 是 ?ABC 所在平面内一点, BC ? BA ? 2BP 则 A. PA ? PB ? 0 C. PC ? PA ? 0 B. PB ? PC ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0

18.已知满足条件 x 2 ? y 2 ? 1 的点 ( x, y ) 构成的平面区域面积为 S1 ,满足条件 [ x]2 ? [ y]2 ? 1 的点

( x, y) 构 成 的 平 面 区 域 的 面 积 为 S 2 , 其 中 [ x]、 [ y] 分 别 表 示 不 大 于 x , y 的 最 大 整 数 , 例 如 : [?0.4] ? ?1 , [1.7] ? 1 ,则 S1与S 2 的关系是
A. S 1 ? S 2 C. S 1 ? S 2 B. S 1 ? S 2 D. S1 ? S 2 ? ? ? 3

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内

写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,且满足 a ? b ? c , b ? 2a sin B . (1)求 A 的大小; (2)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知函数 f ( x) ? a
x ?b

(a ? 0, a ? 1, b ? R) .

(1)若 f ( x ) 为偶函数,求 b 的值; (2)若 f ( x ) 在区间 ? 2, ??? 上是增函数,试求 a 、 b 应满足的条件.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始 时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙 时。如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为 8cm,细沙全部在上部时,其高 度为圆锥高度的

2 (细管长度忽略不计). 3

(1)如果该沙漏每秒钟漏下 0.02cm3 的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到 1 秒)? (2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高度(精确 到 0.1cm) .

2h 3

h

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6分
1 2 已知数列 ?an ? 的首项为 1 ,记 f (n) ? a1Cn ? a2Cn ? k ? ak Cn ?
* n ( n ? N ). ? anCn

(1)若 ?an ? 为常数列,求 f (4) 的值; (2)若 ?an ? 为公比为 2 的等比数列,求 f ( n) 的解析式; (3)是否存在等差数列 ?an ? ,使得 f (n) ? 1 ? (n ? 1)2n 对一切 n ? N 都成立? 若存在,求出数列
*

?an ? 的通项公式;若不存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8分 (文)对于曲线 C : f ( x, y ) ? 0 ,若存在非负实数 M 和 m ,使得曲线 C 上任意一点 P( x, y ) ,

m ?| OP |? M 恒成立(其中 O 为坐标原点), 则称曲线 C 为有界曲线, 且称 M 的最小值 M 0 为曲线 C
的外确界, m 的最大值 m0 为曲线 C 的内确界. (1)写出曲线 x ? y ? 1(0 ? x ? 4) 的外确界 M 0 与内确界 m0 ; (2)曲线 y ? 4 x 与曲线 ( x ? 1) ? y ? 4 是否为有界曲线?若是,求出其外确界与内确界;若不
2 2 2

是,请说明理由; (3)已知曲线 C 上任意一点 P( x, y ) 到定点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 的距离之积为常数 a (a ? 0) ,求曲线

C 的外确界与内确界.

松江区 2014 学年度第一学期高三期末考试 数学文科试卷参考答案
一、填空题 1. ? 2i 3.90 5. arccos 7.20

?1? 2. ? ? ?2?
4.2

x

2 4

6.

? x ? 2?
? 12
1 3

2

? ? y ? 1? ? 1
2

8.

9.

5

10.

11. [k? ? 13.

?
12

, k? ?

?

3

4 ,2

?

5? ](k ? Z ) 12

12. 5 ? 2 ? 1 14. 7

二、选择题 15.A 16. D 17.C 18.A

三、解答题 19. 解: (1) b ? 2a sin B ? sin B ? 2 sin A sin B ?????2 分

? sin B ? 0 ? sin A ?

1 2

?????4 分

由于 a ? b ? c ,? A 为锐角,? A ?
2 2 2

?
6

?????6 分

(2)由余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ,

? 4 ? 12 ? c 2 ? 2 ? 2 3 ? c ?

3 ,?????8 分 2

c 2 ? 6c ? 8 ? 0 , c ? 2 或 c ? 4
由于 a ? b ? c , c ? 4 ?????10 分

所以 S ? 20. 解: (1) 即a
x ?b

1 bc sin A ? 2 3 ?????12 分 2

f ( x) 为偶函数,∴对任意的 x ? R ,都有 f (? x) ? f ( x) ,?????2 分
? x ?b

?a

x ? b ? ? x ? b ?????4 分

得 b ? 0 。?????6 分 (2)记 h( x) ? x ? b ? ?

? x ? b x ? ?b ,?????8 分 ?? x ? b x ? ?b

①当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 ? 2, ??? 上是增函数,即 h( x) 在区间 ? 2, ??? 上是增函数, ∴ ?b ? 2 , b ? ?2 ?????10 分 ②当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间 ? 2, ??? 上是增函数, 即 h( x) 在区间 ? 2, ??? 上是减函数但 h( x) 在 区间 ? ?b, ?? ? 上是增函数,故不可能?????12 分 ∴ f ( x ) 在区间 ? 2, ??? 上是增函数时, a 、 b 应满足的条件为 a ? 1 且 b ? ?2 ??14 分 21. 解(1)开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为H ?

2 16 2 8 ? 8 ? ,底面半径为 r ? ? 4 ? ?????2 分 3 3 3 3
2
2h 3

1 1 ? 8 ? 16 V ? ? r 2 H ? ? ? ? ? ? ? 39.71?????5 分 3 3 ? 3? 3
V ? 0.02 ? 1986 (秒)
所以,沙全部漏入下部约需 1986 秒。?????7 分 (2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径 4,?????9 分 设高为 H ?

h

1 1024 V ? ? ? 42 ? H ? ? ? ?????12 分 3 81 H? ? 64 ? 2.37 ? 2.4 27

锥形沙堆的高度约为 2.4cm. ?????14 分 22. 22. 解:(1)∵ ?an ? 为常数列,∴ an ? 1 (n ? N? ) . ∴ f (4) ? C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? 15 ?????4 分
1 2 3 4

(2)∵ ?an ? 为公比为 2 的等比数列,∴ an ? 2

n ?1

(n ? N? ) .?????6 分

1 2 3 ∴ f (n) ? Cn ? 2Cn ? 4Cn ?

n , ? 2n?1Cn n , (1 ? 2)n ? 3n ?????8 分 ? 2n Cn

1 2 3 ∴ 1 ? 2 f (n) ? 1 ? 2Cn ? 22 Cn ? 23 Cn ?

故 f ( n) ?

3n ? 1 . 2

?????10 分
*

(3)假设存在等差数列 ?an ? ,使得 f (n) ? 1 ? (n ? 1)2n 对一切 n ? N 都成立,设公差为 d ,
1 2 则 f (n) ? a1Cn ? a2Cn ? k ? ak Cn ? n?1 n ?????12 分 ? an?1Cn ? anCn 2 1 , ? a2Cn ? a1Cn k ? Cn ?
n ?1 ? Cn )

n n?1 且 f (n) ? anCn ? an?1Cn ?

k ? ak Cn ?

1 2 相加得 2 f (n) ? 2an ? (a1 ? an?1 )(Cn ? Cn ?

n?1 ? Cn ),

∴ f (n) ? an ?

a1 ? an ?1 1 2 (Cn ? Cn ? 2

k ? Cn ?

? an ?

a1 ? an ?1 n (2 ? 2) ? 1 ? (n ?1)d ? ?2 ? (n ? 2)d ? (2n?1 ?1) . 2

∴ f (n) ?1 ? (d ? 2) ? ?2 ? (n ? 2)d ? 2n?1 ? (n ? 1)2n 恒成立, 即 (d ? 2) ? (d ? 2)(n ? 2)2n ?1 ? 0 n ? N ? 恒成立,∴ d ? 2 .?????15 分 故 ?an ? 能为等差数列,使得 f (n) ?1 ? (n ?1)2n 对一切 n ? N ? 都成立,它的通项公式为

an ? 2n ? 1 ....................... 16 分
(也可先特殊猜想,后一般论证及其它方法相应给分) 23. (1)曲线 x ? y ? 1(0 ? x ? 4) 的外确界 M 0 ? 5 与内确界 m0 ? (2)对于曲线 y ? 4 x ,设 P( x, y ) 为曲线上任意一点
2

2 .???4 分 2

|O P? |

2 2 x ? y ?

2 x ?4 x ? ( x?2 2 ) ? 4 (x ? ? 0| ) OP |? [0, ??)

?曲线 y 2 ? 4 x 不是有界曲线.
对于曲线 ( x ? 1) ? y ? 4
2 2

?????7 分

|O P ? |

2 2 x ? y ?

2 x ?4 ?( x ?1 2 ) ? 2 x ? 3 ( ? 1 ?x ? ? |3 ) |? [1,3] OP

?曲线 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 是有界曲线.外确界 M 0 ? 3 与内确界 m0 ? 1 ????10 分
2 2 2 2 (3)由已知得: ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? y ? a 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? y2 ? x2 ? 2 x ? 1 ?y 2 ?( x 2 ?y 1 ?) 2

?????12 分

? 4 x2

? a

?( x 2 ? y 2 ?1 )2 ? 4x 2 ?a 2

? y 2 ? 4 x2 ? a2 ? ( x2 ? 1)

x 2 ?a 2 y 2 ? 0 ,? 4x 2 ? a 2 ? x 2 ?1 ?( x 2 ? 1 )2 ? 4
2 ?( x 2 ? 1 ) ?a 2

?1 ? a ? x 2 ? a ? 1
2 2 4 x ? a ?1

|O P? |

2 2 x ? y ?

?????14 分

若 0 ? a ?1 , 则

1? a ?

4 x 2 ? a 2 ? 1 ? a ? 1 , 外 确 界 M0 ? a ? 1 , 内 确 界
?????16 分

m0 ? 1 ? a
2 若 a ? 1 , 0 ? x ? a ? 1 ,则 a ? 1 ?

4 x 2 ? a 2 ? 1 ? a ? 1 ,外确界 M 0 ? a ? 1 ,内确

界 m0 ? a ? 1 综合得:外确界 M 0 ?

a ? 1 ,内确界 m0 ? | a ? 1| .?????18 分


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