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2013广州高二竞赛试题及答案


2013 年广州市高二数学竞赛试题
2013.5.11 考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分.
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.在下列函数中,既是 ? 0, A. y ? cos 2

x

? ?? ? 上的增函数,又是以 ? 为最小正周期的偶函数的函数是 ? 2? B. y ? sin 2 x C. y ? cos x D. y ?| sin x |

2.已知向量 a ? ( x, y) ,其中 x ?{1, 2, 4,5} , y ?{2, 4,6,8} ,则满足条件的不共线的向量 共有 A.9 个

B.12 个

C.13 个

D.16 个

? x ? y ?1 ? 0 ? 3.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是由不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的区域, E 是到原 ? ?y?0
点的距离不大于 1 的点构成的区域,若向 E 中随机投一点,则所投点落在 D 中的概率 是 A. 1 ?

1 ?

B. 1 ?

2 ?

C.

1 ?

D.

2 ?

4.已知函数 f ( x) ? x ? x ? 3 ,则函数 g ? x ? ? f ( f ( x)) ? x 所有零点的和为
2

A. ? 2

B.0

C.2

D.4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 5.若直线 y ? 3x ? 2m 与圆 x ? y ? 8 相切,则 m ?
2 2

*



5 2

,a ? 1?,且 A ? B ? ??2? ,则实 6.已知集 A ? ? 1 ,a ? 1, a ? 3 , B ? ?a ? 3,a ? 1
2 2

?

?

数 a 的值等于

*

. ?1

2011 年广州市高二数学竞赛试题

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7.已知不等式

ax <1 的解集是{x| x<1 或 x>2},那么实数 a ? x ?1

*



1 2

8. 已知 a, b, c 为三条不同的直线, 且 a ? 平面M , b ? 平面N , M ? N ? c , 给出如下命题: ①若 a 与 b 是异面直线, 则 c 至少与 a , b 中的一条相交; ②若 a //b, 则必有 a //c; ③若 a 不垂直于 c, 则 a 与 b 一定不垂直; ④若 a ⊥b, a ⊥c, 则必有 M ? N . 其中正确的命题的是 (请填上正确命题的序号) 。①② 9.定义运算

a b z zi ? ad ? bc ,则符合条件 ? 3 ? 4i (其中 i 为虚数单位)的复数 c d ?1 1
。?

z? *

1 7 ? i 2 2
n

10.将数列 {2n ? 1}(n ? N* ) 依原顺序按第 n 组有 2 项的要求分组,则 2013 在第 10.前 n 组所含项数之和为 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2
2 n n ?1

* 组.

? 2 ,2013 是数列的第 1008 项.

由于 510 ? 2 ? 2 ? 1008 ? 2 ? 2 ? 1022 ,所以 2013 在第 9 组.
9 10

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11. (本小题满分 15 分)

?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 cos A ?

3 5 , sin B ? , 5 13

c ? 9。
(1)求 tan B 的值; (2)求 ?ABC 的面积。

3 4 11.(1)? cos A ? , ? sin A ? 1 ? cos 2 A ? 。……………………………………2 分 5 5 4 5 ? sin B ,∴ B 为锐角。……………………………………………4 分 ∵ sin A ? ? 5 13 12 ? cos B ? 1 ? sin 2 B ? 。…………………………………………………………6 分 13 sin B 5 ? tan B ? ? . …………………………………………………………………8 分 cos B 12 4 12 3 5 63 ? ? ? (2)∵ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? 。……10 分 5 13 5 13 65 a c 52 ? c ? 9 ,? ? ,得 a ? 。……………………………………………13 分 sin A sin C 7 1 1 52 5 90 S?ABC ? ac sin B ? ? ? 9 ? ? 。…………………………………………15 分 2 2 7 13 7
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12. (本小题满分 15 分)
? 如图,己知△ BCD 中,?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1 ,

AB ? 平面 BCD ,?ADB ? 60? , E 、 F 分别是 AC 、

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) 。 AC AD (1) 求证: 不论 ? 为何值, 总有平面 BEF ⊥平面 ABC ;
AD 上的动点,且
(2)若平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的大小为 60 ,求 ? 的值.
?

12.(1)证明:因为 AB⊥平面 ABCD,所以 AB⊥CD。 在△BCD 中, ?BCD ? 90 ,所以 BC⊥CD。
?

因为 AB∩BC=B,所以 CD⊥平面 ABC。………………………………………………3 分 在△ACD 中,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) 。 AC AD

所以 EF∥CD,所以 EF⊥平面 ABC。 因为 EF ? 平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 ABC。……………………………………6 分 (2)解:作 BQ∥CD, 由(1)知 CD⊥平面 ABC,所以 BQ⊥平面 ABC。 所以 BQ⊥BC,BQ⊥BE。 因为 BQ 与 CD、EF 共面,平面 BEF∩平面 BCD=BQ, 所以∠CBE 为平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的平面角为 60° 。………………8 分 在?ABC 内作 EM⊥BC 交 BC 于点 M, 由 cos60° =

BM 1 ? , BE 2
① ……………………………9 分

所以 2BM=BE。

AE CE ? ? ,所以 =1- ? 。 AC AC EM CE ? 由 =1- ? , AB AC
又 在?BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=1, 所以 BD= 2 ,又在 Rt?ABD 中,∠ADB= 600, 所以 AB= 6 ,所以,EM= 6 (1- ? ) 。 又 ② ……………………………11 分

BM AE ? = ? ,且 BC=1,所以 BM= ? 。 ③ ……………………………12 分 BC AC 在 Rt? BME 中,由①②③得 4 ? 2=6(1- ? )2+ ? 2。……………………………13 分
2 即 ? -4 ? +2=0,解得 ? =2- 2 或 ? =2+ 2 。………………………………14 分

因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? =2- 2 。……………………………………………………15 分

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13. (本小题满分 20 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间。 13. 函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, …………………………………………………………2 分 +? ? 。

2 ( x ? 0) .……………………………………………………4 分 x (1)因为曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,
且 f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? 所以 f ?(1) ? f ?(3) 。 ………………………………………………………………………6 分 即 a ? ? 2a ? 1? ? 2 ? 3a ? ? 2a ? 1? ? 解得 a ?

2 , 3

2 . ………………………………………………………………………………8 分 3 (ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . ………………………………………………10 分 x

(2)因为 f ?( x) ?

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) .………………………13 分 ②当 0 ? a ?

1 1 时, ? 2 , 2 a

在区间 (0, 2) 和 ?

?1 ? ? 1? , ?? ? 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ? 2, ? 上 f ?( x) ? 0 , ?a ? ? a? ?1 ? ? 1? , ?? ? ,单调递减区间是 ? 2, ? .…………16 分 ?a ? ? a?

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ? ③当 a ?

1 时, 2

因为 f ?( x) ? ④当 a ?

( x ? 2)2 ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) .…………………18 分 2x

1 1 时, 0 ? ? 2 , 2 a

在区间 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ? , 2 ? 上 f ?( x) ? 0 , a? ?a ?

2011 年广州市高二数学竞赛试题

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故 f ( x ) 的单调递增区间是 ? 0, 14. (本小题满分 20 分)

? ?

1? ?1 ? ? 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ? , 2 ? .…………20 分 a? ?a ?

已知 R ? ?3,0? ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足

??? ? ???? ? ???? ? ???? ? RP ? PM ? 0 , 2PM ? 3MQ ? 0 。
(1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; ( 2)设 A 、B 为轨迹 C 上两点, N , xA ? 1 , y A ? 0 ,若存在实数 ? ,使 (1,0)

??? ? ???? 16 AB ? ? AN ,且 AB ? ,求 ? 的值。 3
14.(1)设点 M ( x, y ) , 由 2PM ? 3MQ ? 0 ,得 P ? 0, ?

???? ?

???? ?

? ?

y? ?x ? ? , Q ? , 0 ? 。……………………………………4 分 2? ?3 ?

由 RP ? PM ? 0 ,得 ? 3, ?

??? ? ???? ?

? ?

y ? ? 3y ? ? ? ? x, ? ? 0 。…………………………………………6 分 2? ? 2 ?

所以轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4 x
2

( x ? 0) . ………………………………………………8 分

(2)由(1)知 N 为抛物线 C : y ? 4 x 的焦点, A 、B 为过焦点 N 的直线与 C 的两个交 点. ①当直线 AB 斜率不存在时,得 A ?1, 2 ? , B(1, ?2) , AB ? 4 ?

16 .……………10 分 3

②当直线斜率存在且不为 0 时,设 AB : y ? k ( x ?1) ,………………………………11 分 代入 y ? 4 x 得 k x ? 2(k ? 2) x ? k ? 0 .…………………………………………13 分
2 2 2 2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

2(k 2 ? 2) 4 16 ? 2 ? 4 ? 2 ? ,得 k ? ? 3 。………………15 分 则 AB ? x1 ? x2 ? 2 ? 2 k k 3
(或 AB ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ? 4 ?

4 ) k2
此时? x A ? 3,

? xA ? 1, yA ? 0, ?k ? 3 。 …16 分

1 xB ? 。…………17 分 3

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??? ? ???? 由 AB ? ? AN 得
所以存在实数 ? ?

1 x ?x 3 ? 4 。……………19 分 ?? B A ? xN ? x A 3 ? 1 3 3?

??? ? ???? 4 16 ,使 AB ? ? AN ,且 AB ? 。……………………………20 分 3 3

15. (本小题满分 20 分)设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a n 是 Sn 和 2 的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 1 ? i ? j ? n ( i, j , n 均为正整数)时,求 a i 和 a j 的所有可能的乘积 ai a j 之和 Tn ; (3)设 M ?
2 22 2n 1 3 ? ? ? ? (n ? N *) ,求证: ? M ? . T1 T2 Tn 2 4

15.(1)∵ an 是 S n 和 2 的等差中项,∴ Sn ? 2 ? 2an , 当 n ? 1 时, S1 ? 2 ? 2a1 ,解得 a1 ? 2 . 当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2 ? 2an?1 . ①-②得 S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 ∴ an ? 2an ? 2an?1 。 ∴ an ? 2an?1 。∴ ②



?n ? N

*

,n ? 2 ,

?

an ? 2 ? n ? 2? . a n ?1

∴数列 ?an ? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列, ∴ an ? 2 n ? n ? 2 ? . 当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 21 ,符合上式,
* 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n n ? N 。………………………………………4 分

?

?

(2)由 a i 和 a j 的所有可能乘积 ai ? a j ? 2

i? j

?1 ? i ?

j ? n? 可构成下表:

21?1 , 21? 2 , 21? 3 ,…, 21?? n?1? , 21? n
22? 2 , 2 2 ?3 ,…, 22?? n ?1? , 22? n

23?3 ,…, 23?? n?1? , 23? n ………………………………6 分

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………………

2n ? n
构造如下 n 行 n 列的数表:

21?1 , 21? 2 , 21? 3 ,…, 21?? n?1? , 21? n 2 2 ?1 , 22? 2 , 2 2 ?3 ,…, 22?? n ?1? , 22? n 2 3?1 , 23? 2 , 23?3 ,…, 23?? n?1? , 23? n ………………………………8 分
………………

2 n ?1 , 2n? 2 , 2 n ?3 ,… , 2n ?? n ?1? , 2n? n
设上表第一行的和为 T ,则 T ?

4 ?1 ?2 n ? 1? 2

? 4 ?2 n ?1 ? .……………………………10 分

2 n ?1 ? 22 ? 24 ? ? ? 22 n 于是 2Tn ? T 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

?

? ?

?

………………………12 分

? 4? 2 ? 1 ? ? ? ? 2? ? 1
n n

n 22 ? 4 ? 1 ?

4 ?1

?
∴ Tn ?

8 n ? 2 ? 1?? 2n?1 ? 1? . 3

4 n ? 2 ? 1? ? ? 2n?1 ? 1? .…………………………………………………………14 分 3 4 n n ?1 (3)∵ Tn ? ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? , 3


2n 3 ? 2n 3? 1 1 ? ? ? ? n ? n ?1 ? 。……………………………16 分 n n ?1 Tn 4 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? 4 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

∴M ?

2 22 2n ? ??? T1 T2 Tn

?

3 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? n?1 ?? ? 1 ??? 2 ??? 3 ? ??? ? n ? 4 ?? 2 ? 1 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ??
3? 1 ? ?1 ? n?1 ? .…………18 分 4 ? 2 ?1?
∵2
n ?1

?


? 1 ? 3 ,∴

1 3? 1 ? 3 ? ?1 ? n?1 ?? . 2 4 ? 2 ?1? 4

1 3 ? M ? 。…………………………20 分 2 4

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