正弦余弦函数的性质概括
(1)周期性
举例:
生活中“周而复始”的变化规律。
日出 日落 、白天 黑夜 、四季更替
问题: 三角函数值是否具有“周而复始”的变化规律?
?
公式(一)
sin(? ? 2k? ) ? sin ? ( k ? Z ), cos(? ? 2k? ) ? cos ? ( k ? Z ), tan(? ? 2k? ) ? tan ? ( k ? Z ).
诱导公式sin(x+2π ) =sinx,的几何意义介 y 绍
o X X X+2π X+2π x
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函 数的规律性?
y
正弦曲线
-2? -?
1
y ? sinx , x ? R
x
o
-1
?
2?
3?
4?
余弦曲线
-2? -?
y 1
y ? cosx , x ? R
? 2? 3?
o -1
x
如何用数学语言刻画周期性
www.hzdiy an.com www.sy smk120.com www.qcxgqt.com www.tcsac.com http://sj.39.net/dx/150725/4663602.html http://sj.39.net/dx/150725/4663603.html http://sj.39.net/dx/150725/4663604.html http://sj.39.net/dx/150725/4663605.html http://sj.39.net/dx/150725/4663606.html http://sj.39.net/dx/150725/4663607.html http://sj.39.net/dx/150725/4663608.html http://sj.39.net/dx/150814/4678936.html http://sj.39.net/dx/150815/4679430.html http://sj.39.net/dx/150815/4679431.html http://sj.39.net/dx/150817/4679985.html http://sj.39.net/dx/150818/4681354.html http://sj.39.net/dx/150818/4681364.html http://sj.39.net/dx/150819/4682174.html http://sj.39.net/dx/150819/4682192.html http://sj.39.net/dx/150820/4682755.html http://sj.39.net/dx/150820/4682757.html http://sj.39.net/dx/150821/4683381.html http://sj.39.net/dx/150823/4683864.html http://sj.39.net/dx/150824/4684199.html
1、周期的定义
对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常
数 T,使得当 个值时,都有
f ( x) 周期函数,
x 取定义域内的每一
f ( x ? T ) ? f ( x),
非零常数 T 叫做这个函数的周期。
正弦函数和余弦函数的周期都是 2kπ
思考:一个周期函数的周期有多少个?
1﹑sinx,cosx 的周期是2π ﹑4π ﹑6π ﹑ -2π ﹑-4π ﹑-6π ……2kπ . 2﹑如果T是函数f (x) 的周期,那么2T ﹑ 3T ……kT也是函数f(x)的周期. 3 ﹑对周期函数定义中的“定义域中的每一个 值x ”的要求,而不是某一个值.
注意: 1.定义是对定义域中的每一个x值来说的, 只有个别的x值满足:f ( x ? T ) ? f ( x ) 不能说T 是y ? f ( x )的周期. 例如 : sin(
? ?
2
?
4
?
?
2
) ? sin
?
4
,
但是 sin(
?
3
?
?
2
) ? sin
?
3
.
就是说 sin( x ?
不能对x在定义域内的每一个值使 ) ? sin x ,因此
?
2
2
不是y ? sin x的周期.
练习:判断下列说法是否正确
? 2? 2? sin( x ? ) ? sin x 则 (1)x ? 时, 3 3 3
√) 一定不是 y ? sin x 的周期 (
2? 2? 7? x? (2) 时,sin( x ? 3 ) ? sin x 则 3 6
一定是 y ? sin x 的周期
( ) ×
2、最小正周期的定义 对于一个周期函数 f ( x) 如果在它所 有的周期中存在一个最小的正数,
那么这个最小的正数就叫做 f ( x)的 最小正周期。
说明: 我们现在谈到三角函数周期时,如果不加特别说明,一般都 是指的最小正周期;
2.等式f ( x ? T ) ? f ( x ),强调:自变 量x本身加的常数才是周期, 例如:f (2 x ? T ) ? f (2 x ), T 不是周期, 而应写成 T ? T ? f (2 x ? T ) ? f ? 2( x ? ) ? ? f (2 x ), 此时 才是 2 ? 2 ? 函数y ? f ( x )的周期.
例 求下列函数的周期: (1)y=3cosx, x∈R; (2)y=sin2x, x∈R;
1 ? (3) y ? 2sin( x ? ), x ? R 2 6 解:(1) ?cos x 是为周期的周期函数.
?cos( x ? 2? ) ? cos x, 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x,
这里的周期指的 是最小正周期!
? y ? 3cos x, x ? R的周期为2?
例 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R;
1 ? (3) y ? 2sin( x ? ), x ? R 2 6
解:(2)
? sin(2 x) ? sin(2 x ? 2? ) ?sin(2x) ? sin ?2( x ? ? )? ? y ? sin 2 x 的周期为π .
1 ? 1 ? (3) ? 2sin( x ? ) ? 2sin( x ? ? 2? ) 2 6 2 6 1 ? ?? ?1 ? 2sin( x ? ) ? 2sin ? ( x ? 4? ) ? ? 2 6 6? ?2
1 ? ? y ? 2sin( x ? ) 的周期为4π 2 6
另解
归纳总结
一般地,函数 y ? A sin(? x ? ? )及 y ? A cos(? x ? ? ) (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0 )的周期是
T?
2?
?
2?
若? ? 0 则 T ?
?
练习:
(1) 求下列函数的最小正周期
(1) f ( x) ? sin(2? x ?
?
5 1 ? ?x (2) f ( x) ? cos( ? ) 2 3 2
)
2? 2? T? ? ?1 ? 2?
2? 2? T? ? ?4 |? | ? 2
P36
练习 1, 2
小结:
1.周期函数、最小正周期的定义;
2. y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? )
型函的求法。
课后思考
函数 y = tan x是周期函数吗? 如果是,那么它的最小正周期是 多少?
?作业:P46
3
?? ?1 解:设f ( x ) ? 2sin ? x ? ?的周期为T . 6? ?2 ? f ( x ? T ) ? f ( x) ?? ?? ?1 ?1 ? 2sin ? ( x ? T ) ? ? ? 2sin ? x ? ? 6? 6? ?2 ?2
?? 1 ?? 1 ? ?? ?1 ? 2sin ? ? x ? ? ? T ?? 2sin ? x ? ? 6? 2 ? 6? ?2 ?? 2 1 ? 1 ? ? 令u ? x ? , 则 sin ? u ? T ? ? sin u 2 6 2 ? ? T ? y ? sin u 的周期为2? ? ? 2? , 即T ? 4? . 2