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必修1——1.1.2集合间的基本关系

时间:2014-09-09


1.1.2

集合间的基本关系

复习引入
1.集合、元素 2.集合的分类:有限集、无限集 3.集合元素的特性:确定性、互异性,无序性 3.集合的表示方法:列举法、描述法 4.常用数集: N , N , Z , Q, R
*

观察以下几组集合,并指出它们元
素间的关系:

① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};
② A={x| x>1}, B={x | x2>1}; ③ A={四边形}, B={多边形};

④ A={x | x是两边相等的三角形},
B={x| x是等腰三角形} .

1.子 集 一般地,对于两个集合,如果A中 任意一个元素都是B的元素,称集合A 是集合B的子集.

记作 A ?B 或 B ? A 读作“A含于B”,或“B包含 A”.
注意:区分∈ B

A

若任意x ? A ? x ? B,则A ? B
?注:有两种可能

A ?B

(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合

A
A

B
B

图中A是否为B的子集?

B (1)

A

B

A (2)

判断集合A是否为集合B的子集, 若是则在( )打√,若不是则在 ( )打×:
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( √ ) ②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} (× )

③A={0}, B={x x2+2=0} ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a}

(× ) (√ )

2.集合相等 示例2:

A={ x|x是两边相等的三角形}, B={ x|x是等腰三角形}, 有A?B,B?A,则A=B.

定 义
一般地,对于两个集合A与B, 如果集 合A中的任何一个元素都是 集合B的元素, 同时集合B中的任何一个元素都是集合A 的元素,则称集合A等于集合B,记作 A=B

若A ? B且 B ? A, 则A=B; 反之,亦然.

3.真子集 示例3:A={1, 2, 7},B={1, 2, 3, 7}, 如果A?B,但存在元素x∈B,且

x∈A,称A是B的真子集.
?A. B B 记作A? ,或 ? ?

Venn图为

B

A

4.空 集 示例4:考察下列集合,并指出集合中的 元素是什么? A={(x, y)| x+y=2}; B={x| x2+1=0,x∈R}.
? A表示的是x+y=2上的所有的点; ? B没有元素. B是A的真子集.

不含任何元素的集合为空集,记作?. 规定:空集是任何集合的子集,空集 是任何非空集合的真子集.

几个结论
①空集是任何集合的子集Φ ? A ②空集是任何非空集合的真子集 Φ A (A ≠ Φ ) ③任何一个集合是它本身的子集,即 A? A ④对于集合A,B,C,如果 A ? B, 且B ?C,则A ? C

注意易混符号
? ”:元素与集合之间是 ”与“ 属于关系;集合与集合之间是包含关 系如 1 ? N ,?1 ? N , N ? R, ? Φ ?{1,2,3} ? R ? ②{0}与Φ:{0}是含有一个元素0的集 合,Φ是不含任何元素的集合如 ?Φ ? {0}不能写成Φ={0},Φ∈{0}
? ①“∈

练习1:观察下列各组集合,并指明两个 集合的关系 ① A=Z ,B=N; A?B ② A={长方形}, B={平行四边形方形}; A?B ③ A={x|x2-3x+2=0}, B={1,2}. A=B

练习2:

? N ___ ? Z ___ ? Q ___ ?R 1. N ___
?

? C. 2. 若A ? B, B ? C, 则A ____
?

子集的传递性

例1⑴写出集合{a,b}的所有子集; ⑵写出所有{a,b,c}的所有子集; ⑶写出所有{a,b,c,d}的所有子集. ⑴{a},{b},{a,b},?; ⑵{a},{b},{c},{a,b},{a,b,c}, {a,c},{b, c},?; ⑶{a},{b},{c},{d},{a, b},{a, c}, {a, d},{b, c}, {b, d}, {c, d}, {a,b,c},{a,b,d}, {a,b,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d},?.

重要结论
? 结论:含n个元素的集合的所有

子集的个数是2n.
? 所有真子集的个数是2n-1,非空

真子集数为2n-2.

练习 1 .写出N,Z,Q,R的包含关系, 并用Venn图表示 2. 判断下列写法是否正确 ①Φ ?A ②Φ A ③ A ? A ④A A
?
A? A

3.已知A ? B, A ? C , B ? ?1, 2,3,5? , C ? ?0, 2, 4,8? , 求A

课堂小结
1.子集, 真子集,空集的概念与 性质; 2. 集合的相等; 3.集合与集合,元素与集合的

关系.

互异性运用1

1.设A={x,x2,xy}, B={1,x,y},且A=B, 求实数x,y的值.

互异性运用2

2.设A={x-y,x+y,xy}, B={x2+y2, x2-y2,0},

且A=B,求实数x,y的值.

空集运用1

1.已知A={x | x2-2x-3=0},

B={x | ax-1=0},
若B?A, 求实数a的值.

空集运用2

2.已知集合P ? {x | x ? x ? 6 ? 0}与集合
2

Q ? {x | ax ? 1 ? 0}, 满足Q ? P, 求a.

集合中的不等式1

1.已知集合A ? {x | ?3 ? x ? 4}与集合 B ? {x | 2m ? 1 ? x ? m ? 1},当B ? A时 求实数m的取值范围
m ?1

集合中的不等式2

2. 若A={x |-3≤x≤4}, B={x | 2m- 1≤x≤m+1},当B A时,求实数m的取值范 围.

作业布置
1.教材P.12 A组 5 B组2. 2. 若A={x |-3≤x≤4}, B={x | 2m-1≤x≤m+1},当B ? A时 , 求实数m的取值范围. 1,2,3,5?, 3.已知 A ? B, A ? C , B ? ?
.

C ? ?0,2,4,8?, 求A


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