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【解析】山西大学附中2014年高三上学期期中考试数学文试题


山西大学附中 2014 年高三第一学期月考

数学试题(文科)
考查内容:高中全部 【试卷综述】本试卷是高三文科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学 科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常 规、注重主干知识,兼顾覆盖面试题重点考查:集合、不等式、向量、三视图、导数、简

单的线性规划、 直线与圆、数列、充要条件等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷. 【题文】一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) . 【题文】1.若 U ? ?1,2,3,4,5?, A ? ?1,2,3?, B ? ?2,4? ,则 A A. ?2,4? B. ?1,3? C. ?1,2,3,4? 【知识点】集合运算 A1 【答案】 【解析】B 解析:因为 U ? ?1,2,3,4,5?, A ? ?1,2,3?, B ? ?2,4? ,所以 Cu B ? {1,3,5} 因此 A

Cu B ? (



D. ?1,2,3,4,5?

Cu B ? {1,3} ,故选 B.


【思路点拨】根据集合的运算直接求解即可. 【题文】2.已知命题 p :对任意的 x ? R ,有 ln x ? 1 ,则 ? p 是( A.存在 x0 ? R ,有 ln x0 ? 1 C.存在 x0 ? R ,有 ln x0 ? 1 【知识点】全称命题 A3 B.对任意的 x ? R ,有 ln x ? 1 D.对任意的 x ? R ,有 ln x ? 1

【答案】 【解析】C 解析:命题 p :对任意的 x ? R ,有 ln x ?1 ,由全称命题的否定是特称命题可得: ? p 是 “存在 x0 ? R ,有 ln x0 ? 1 ”.故选 C. 【思路点拨】由全称命题的否定是特称命题直接可得. B.4 C.8 【知识点】等比数列 D3 D.16 【题文】3.若公比为 2 且各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a4 ? a12 ? 64 ,则 a7 的值等于(

)A.2

【答案】 【解析】B 解析:因为 a4 ? a12 ? 64 所以 a8 ? 8? a7 ? 4 .故选 B. 【思路点拨】因为 a4 ? a12 ? 64 ,由等比数列性质可得 a4 ? a12 ? a82 ? 64 ,可求 a8 ,从而可求 a7 . 【题文】4.设 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“复数 z ? ( x ?1) ? ( x ? 1)i 为纯虚数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分、必要条件 A2
2



2 【答案】 【解析】 C 解析:当 x ? 1 时, z ? 2i ,充分性成立;当 z ? ( x ?1) ? ( x ? 1)i 为纯虚数时,

? x 2 ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ?? ? x ? 1 ,必要性成立.故选 C. ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? ?1
【思路点拨】判断充要条件时,应先明确条件和结论,由条件能推出结论,充分性满足,由结论能推出条 件,则必要性满足.
页 1第

【题文】5.已知角 ? 的终边过点 P(?4k ,3k ) (k ? 0) ,则 2sin ? ? cos ? 的值是( A.



2 5

B. ?

2 5

C.

2 2 或? 5 5

D.随着 k 的取值不同其值不同

【知识点】三角函数定义 C1 【答案】 【解析】B 解析:因为角 ? 的终边过点 P(?4k ,3k ) (k ? 0) 所以 r ?

(?4 k) 2 ? (3 k) 2 ? ?5k ,所

3k 3 ?4k 4 ? ? , cos ? ? ? , ?5 k 5 ?5k 5 3 4 2 2sin ? ? cos ? ? 2 ? (? ) ? ? ? ,故选 B. 5 5 5 y x 【思路点拨】由三角函数定义 sin ? ? , cos ? ? 即可求得. r r 【题文】6.已知直线 m, n 及平面 ? , ? ,则下列命题正确的是
以 sin ? ? A. m / /? ? ? ? ? / /? n / /? ? B.

( D.



m / /? ? ? ? n / /? m / /n ?

C. m?? ? ? ? m / /? ??? ?

m?? ? ? ? m?n n / /? ?

【知识点】命题的真假判断 A2 【答案】 【解析】D 解析:A 中 ? , ? 还可能相交,B 中还可能 n ? ? ,C 中还可能 m ? ? , 故选 D. 【思路点拨】由空间中线面的位置关系即可求得结果. 【题文】7.曲线 y ? x 2 上的点 P 处的切线的倾斜角为

? ,则点 P 的坐标为 4
D. ( 1 , 1 )
2 4





(0, 0) A.
【知识点】导数应用 B12

(2, 4) B.

C. ( 1 , 1 ) 4 16

【答案】 【解析】D 解析:因为 y ? x 2 所以 y ' ? 2 x , tan

?
4

? 2x ? x ?

1 ,代入 y ? x 2 , 2

1 得 y ? ,因此点 P 的坐标为 ( 1 , 1 ) ,故选 D. 4 2 4
【思路点拨】由 y ' ? 2 x ? k ,可得点 P 横坐标,代入 y ? x 可求纵坐标.
2 2 , ? ?) 上为增函数”的( 【题文】8.“ a ? 2 ”是“函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 在区间 [?1



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分、必要条件 A2
2 , ? ?) 上为增函数,充分性 【答案】 【解析】A 解析:当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,此函数在区间 [?1

, ? ?) 上为增函数时,它的单调增区间为 ? ? 成立;当函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 在区间 [?1
2

? a ? , ?? ? ,所以 ? 2 ?

?

a ? ?1? a ? 2 ,因此必要性不成立,故选 A 2

【思路点拨】判断充要条件时,应先明确条件和结论,由条件能推出结论,充分性满足,由结论能推出条 件,则必要性满足. 【题文】9. 下列函数中周期是 2 的函数是 ( )
页 2第

A. y ? 2cos2 ? x ?1 C. y ? tan(

B. y ? sin 2? x ? cos 2? x D. y ? sin ? x cos ? x

?
2

x?

?
3

)

【知识点】函数周期 C8 【答案】 【解析】C 解析:A 中 y ? 2cos2 ? x ?1 ? cos ? 2? x ? 周期为 1; B 中 y ? sin 2? x ? cos 2? x ? C 中 y ? tan(

?? ? 2 sin ? 2? x ? ? 周期为 1; 4? ?

?
2

x?

?
3

) 周期为 2;

1 sin 2? x 周期为 1.故选 C. 2 2? ? 【思路点拨】正弦余弦函数的周期为 ,正切函数的周期为 . ? ?
D 中 y ? sin ? x cos ? x ?
2 2 【题文】10.椭圆 ax ? by ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A, B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为

3 a , 的值为 2 b
A.





3 2

B.

2 3 3

C.

9 3 2

D.

2 3 27

【知识点】椭圆的应用 H5
2 2 b 1 ? x) ? 1, 【答案】 【解析】A 解析:把 y ? 1 ? x 代入椭圆 ax ? by ? 1 得 ax ? (
2 2

(a ? b)x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 , 整理得
2

设A ,则 x1 ? x2 ? (x1,y1),( B x2,y2)

2b 2b , y1 ? y2 ? 2 ? , a?b a?b

a b a a 3 , ),∴过原点与线段 AB 中点的直线的斜率 k ? a ? b ? ? ∴线段 AB 的中点坐标为 ( .答 b a?b a?b b 2 a?b
案:A.
2 2 b 1 ? x) ? 1 ,由根与系数的关系可以推出线段 【思路点拨】把 y ? 1 ? x 代入椭圆 ax ? by ? 1 得 ax ? (
2 2

AB 的中点坐标为 (

b a a 3 , ), ,再由过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ,能够导出 的值. a?b a?b b 2
*

【题文】11.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且对于任意的 n ? N 都有 an?1 ? a1 ? an ? n, 则

1 1 ? ? a1 a2 2012 A. 2013


?

1 a2013

等于( B.

) C.

4026 2014

4024 2014
3第

D.

2013 2014

【知识点】数列递推式;数列的求和 D1 D4

【答案】 【解析】B 解析:因为 an?1 ? a1 ? an ? n ? 1 ? an ? n ,? an?1 ? an ? n ? 1

(a2 ? a1) ??? (an ? an ?1) ? 1 ? 2 ??? n ? 用叠加法: an ? a1 ?

n ? n ? 1? , 2

所以

1 2 1 1 , ? ?( 2 ? ) an n ? n ? 1? n n ?1

所以

1 1 ? ? a1 a2

?

1 a2013

? 1 1 1 1 1 ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4

?

1 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ? 2013 2014 ? ? 2014 ?

?

4026 ,故答案为:B. 2014

【思路点拨】先找递推关系 an?1 ? an ? n ? 1并求通项公式,再利用通项的特征求和,即可得到结论. 【题文】 12. 已知函数 f ( x) ? ? 则实数 b 的取值范围是( A. (2,??) B. [2,??)

? lg(? x) ,
2

x?0

? x ? 6 x ? 4, x ? 0
) C. ( 2,

若关于 x 的函数 y ? f 2 ( x) ? bf ( x) ? 1 有 8 个不同的零点,

17 ) 4

D. ( 2,

17 ] 4

【知识点】根的存在性及根的个数判断 B1 【答案】 【解析】D 解析:∵函数 f ( x) ? ?

? lg(? x) ,

x?0

2 ? x ? 6 x ? 4, x ? 0

f x) ,作出 ( 的简图,如图所示:

f x) (0, 4] 上任意取一个值时,都有四个不同的 x 与 ( f x) 由图象可得当 ( 在 的值对应.
再结合题中函数 y ? f ( x) ? bf ( x) ? 1 有 8 个不同的零点,
2

可得关于 k 的方程 k ? bk ? 1 ? 0 有两个不同的实数根 k1、k2 ,且 0<k1 ? 4, 0<k2 ? 4 .
2

? ? b 2 ? 4>0 ? b ? ? 0< <4 ∴应有 ? 2 ? 0 ? b ? 0 ? 1>0 ? ? 16 ? 4b ? 1 ? 0 ?


,解得 2<b ?

17 ,故选 D. 4

4第

【思路点拨】方程 y ? f 2 ( x) ? bf ( x) ? 1 ? 0 有 8 个不同实数解,即要求对应于 ( 等于某个常数 k,有 2 f x) 个不同的 k,再根据函数对应法则,每一个常数可以找到 4 个 x 与之对应,就出现了 8 个不同实数解故先 根据题意作出 ( 的简图:由图可知,只有满足条件的 k 在开区间 f x) (0, 4] 时符合题意.再根据一元二次方 程根的分布的理论可以得出答案. 【题文】二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题纸相应位置上) . 【题文】13.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本 中的老年职工人数为_______. 【知识点】简单随机抽样 I1 【答案】 【解析】18 解析:由题意可得中年职工 180 人,老年职工 90 人,青年职工与老年职工的比例为 16:9,所以样本中的老年职工人数为 18.故答案为 18. 【思路点拨】分层抽样中要保持总体和样本中原有比例不变.

?x ? y ? 0 y ? 【题文】14.设实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 10 ? 10 ,则 的最大值为 x ?x ? 2 ? 0 ?
【知识点】简单线性规划 E5



9 【答案】 【解析】 2

?x ? y ? 0 ? 解析:由题意作出 ? x ? 2 y ? 10 ? 10 所对应的可行域, (如图) : ?x ? 2 ? 0 ?

目标函数 z ? 而由 ? 则

y 的代表可行域(阴影)内的点与原点连线的斜率,由图可知当直线过点 A 时,斜率最大, x
(2, 9) ,即点 A 的坐标为 ,所以直线 OA 的斜率为:

?x ? 2 ?x ? 2 解得 ? ? x ? 2 y ? 20 ? 0 ?y ? 9

9?0 9 ? ,故 2?0 2

9 9 y 的最大值为 ,故答案为: . 2 2 x y 的代表可行域(阴影)内的点与原点连线的斜率,由图 x


【思路点拨】由题意作出可行域,目标函数 z ?

可知当直线过点 A 时,斜率最大,只需解方程组求解 A 的坐标即可得答案. 【题文】15.已知 f ( x) ? x ? 3ax ? bx ? a 在 x ? ?1 时有极值 0,则 a ? b 的值为
3 2 2

【知识点】导数与极值 B12 【答案】 【解析】 ?7 解析:由题意可得 f '(x) ? 3x ? 6ax ? b ,且满足 ?
2

? f '(?1) ? 0 ? f (?1) ? 0



5第

即?

?3 ? 6a ? b ? 0

?a ? 1 ?a ? 2 ?a ? 1 或? ,当 ? 时, f '(x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3 ?? ? ?1 ? 3a ? b ? a ? 0 ?b ? 3 ?b ? 3 ?b ? 9
2

?a ? 2 2 ? 3 ? x ? 1? ? 0 , f '(x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递增,无极值;所以 ? ,因此 a ? b ? ?7 ?b ? 9
故答案为-7. 【思路点拨】由导数定义可得 ?

? f '(?1) ? 0 ,从而可得 a , b 的值. ? f (?1) ? 0

【题文】16.已知下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为___________。

2

2
2 正视图

2

2
侧视图

2
俯视图

【知识点】球的体积和表面积;由三视图求面积、体积;球内接多面体 G8 G2 G12 【答案】 【解析】 6? 解析:几何体为三棱锥,可以将其补形为一个棱长为 2 的正方体, 该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个,故 2 R ? 所以外接球的表面积为: 4? R ? 6? .故答案为:6π.
2

22 ?

? 2?

2

? 6,

【思路点拨】由题意判断几何体的形状,几何体扩展为正方体,求出外接球的半径,即可求出外接球的表 面积. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 【题文】17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 {an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 an ? bn?1 ? bn , b1 ? 1 ,求数列 {bn } 的通项公式 【知识点】等差数列,等比数列 D2 【答案】 【解析】(Ⅰ) an ? 3n ? 2 解析:(Ⅰ) an ? 3n ? 2 . (Ⅱ) bn ? D3 (Ⅱ) bn ?

3n 2 ? 7n ? 6 2
??6 分 ??12 分

3n ? 7n ? 6 . 2
2

【思路点拨】由 a2 , a4 , a9 成等比数列,可求首项与公差,从而可求 {an } 的通项公式; 再由 an ? bn?1 ? bn , b1 ? 1 可得数列 {bn } 的递推公式,利用叠加法即可求出数列 {bn } 的通项公式. 【题文】18. (本题满分 12 分)已知集合 A ? x ?3 ? x ? 1 , B ? ? x (Ⅰ)在区间 (?4 , 4) 上任取一个实数 x ,求“ x ? A
页 6第

?

?

? x?2 ? ? 0? . ? x ?3 ?

B ”的概率;

(Ⅱ)设 ( a, b) 为有序实数对,其中 a 是从集合 A 中任取的一个整数, b 是从集合 B 中任取的一个整数,

求“ b ? a ? A B ”的概率. 【知识点】几何概型,古典概型 K2 K3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) P 1 ?

3 3 (Ⅱ) P ( E ) ? 8 4 解析: (Ⅰ)由已知 B ? {x ?2 ? x ? 3} , A B ? {x ?2 ? x ? 1} ,…………2 分
B ”的概率为 P1 ,这是一个几何概型,则 P 1 ?

设事件“ x ? A

(Ⅱ)因为 a, b ? Z ,且 a ? A , b ? B ,

3 .…………………6 分 8

所以,基本事件共 12 个: (?2, ?1) , (?2, 0) , (?2,1) , (?2, 2) , (?1, ?1) , (?1, 0) , (?1,1) , (?1, 2) , …………………2 分 (0, ?1) , (0, 0) , (0,1) , (0, 2) . 设事件 E 为“ b ? a ? A B ”,则事件 E 中包含 9 个基本事件,…………10 分 9 3 ? .…………………12 分 事件 E 的概率 P( E ) ? 12 4 【思路点拨】由题意得 A

B ? {x ?2 ? x ? 1} ,根据几何概型的概率公式即可求解;需要列出符合题意的

基本事件的个数以及满足题意的基本事件的个数,再按公式代入求解. 【题文】19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC , ?ACD 与 ?ACB 是边长为 2 的等边三角形, BE ? 2 , BE 和平面 ABC 所成的角为 60 ? ,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证: DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)求三棱锥 B ? ACE 的体积

第 19 题 图 【知识点】线面平行的判定,锥体体积求法 G4 G1 【答案】 【解析】 (Ⅰ)略(Ⅱ)1 解析: (Ⅰ)由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O ,连接 BO, DO , 则 BO ? AC , DO ? AC ,????????2 分 又∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC ,作 EF ⊥平面 ABC , 那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴ ?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 ,????4 分 ∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴ DE // OF ,∴ DE // 平面 ABC ??6 分 (Ⅱ) VB? ACE ? VE ? ABC ? 1 ?????? 12 分

【思路点拨】由题意取 AC 中点 O ,作 EF ⊥平面 ABC ,点 F 落在 BO 上, 可求四边形 DEFO 是平行四边形,可得 DE // OF ;利用等体积法即可求解.
页 7第

【题文】20. (本小题满分 12 分) 2 3 x y2 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴端点与短轴端点间的距离为 5 . 2 a b (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点,O 为坐标原点,若 ?OEF 为直角三角形,求直线 l 的斜率. 【知识点】直线与椭圆 H8

x2 ? y 2 ? 1 (2) ? 19 和 ? 5 4 c 3 , a 2 ? b 2 ? 5 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 1, 解析: (1)由已知 ? a 2 x2 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 ;??????4 分 4 (2) 根据题意,过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,
【答案】 【解析】 (1)
? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 32kx ? 60 ? 0 , ? y ? kx ? 4 ?

? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 , 15 令 ? ? 0 ,解得 k 2 ? . ??????7 分 4 设 E 、 F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) , 32k 60 ⅰ)当 ?EOF 为直角时,则 x1 ? x2 ? ? , , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 因为 ?EOF 为直角,所以 OE ? OF ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19 .??????9 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ⅱ)当 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,不妨设 ?OEF 为直角, y y ?4 ? ?1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ??① 此时, kOE ? k ? 1 ,所以 1 ? 1 x1 x1
所以
x12 2 ? y12 ? 1 ????②将①代入②,消去 x1 得 3 y12 ? 4 y1 ? 4 ? 0 ,解得 y1 ? 或 y1 ? ?2 (舍去) , 4 3 y ?4 2 2 ?? 5, 将 y1 ? 代入①,得 x1 ? ? 5, 所以 k ? 1 x1 3 3 经检验,所求 k 值均符合题意。 ??????11 分



综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5 .
2

??????12 分

?x 2 ? ? y ?1 【思路点拨】设 l : y ? kx ? 4 ,联立 ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 32kx ? 60 ? 0 , ? y ? kx ? 4 ?

令 ? ? 0 ,解得 k 2 ?

15 .然后分 ?EOF 为直角和 ?OEF 或 ?OFE 为直角两种情况时讨论即可. 4

【题文】21.(本题满分 12 分)已知 a ? R ,函数 (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y

f ( x) ? 2 x3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6ax

? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程. (Ⅱ) 若 | a |? 1 ,求 f ( x ) 在闭区间 [0,2 | a |] 上的最小值.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值 B11 B12 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 6 x ? y ? 8 ? 0 (Ⅱ)当 a ? 1 时,函数 当 a ? ?1 时,函数


f ( x ) 的最小值是 3a 2 ? a3 ,

f ( x ) 的最小值是 3a ? 1 .
8第

解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f( ? 2) ?6 ? x) ? 6x2 ?12x ? 6 ,所以 f( 在点 处的切线方程为 y ? 6 x ? 8 ; y? ( f x) (2,( f 2)) (Ⅱ)记 ( 为( 在闭区间 [0, g a) f x) 2a ] 上的最小值.

( f 2) ? 4, ? 曲线

f( ? x) ? 6 x2 ? ( 6 a ?1 )x ? 6a ? 6 ? x ?1?? x ? a ?
令 f( ? x) ? 0 ,得到 x1 ? 1 ,x2 ? a 当 a>1 时,

2 g a) ?? f 0) ? 0和 ( 比较 ( 的大小可得 ( f a) ?a ( 3 ? a)

1<a ? 3 ? ?0, ; 2 ? ?a ? 3 ? a ?,a>3

当 a< ? 1 时,

?3a ? 1,a< ? 1 ? ?( g a) ? 3a ? 1 ? ( f x) 在闭区间 [0, g a) ? ?0, 1<a ? 3 . 2a ] 上的最小值为 ( ?a 2 3 ? a ,a>3 ? ? ?
【思路点拨】 (Ⅰ)求导函数,确定切线的斜率,求出切点的坐标,即可求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) ) 处的切线方程; (Ⅱ)分类讨论,利用导数确定函数的单调性,从而可得极值,即可得到最值 【题文】选做题(在 22、23、24 三题中任选一题做答) 【题文】22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲: 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B, C 两点,弦 CD // AP , AD, BC 相 交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE ? EF ? EC . (Ⅰ)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.
2



9第

第 22 题图 【知识点】弦切角 N1 【答案】 【解析】 (Ⅰ)略(Ⅱ) PA ?

15 3 4

2 解析: (Ⅰ)∵ DE ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF ∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ????????2 分

又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA EA EP ? ∴ ?EDF ∽ ?EPA , ∴ , ∴ EA ? ED ? EF ? EP ????4 分 EF ED 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP .????????5 分 9 2 (Ⅱ)∵ DE ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2 ∴ EC ? ,∵ CE : BE ? 3 : 2 ∴ BE ? 3 2 27 由(1)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得 EP ? .????????7 分 4 15 ∴ BP ? EP ? EB ? . ∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA2 ? PB ? PC 4 15 27 9 15 3 ∴ PA 2 ? ? ( ? ) ,解得 PA ? .????????10 分 4 4 2 4 ∽ CED 【思路点拨】利用 DEF 与 已 知 可 得 EC 的 长 , 进 而 得 到 BE , 利 用 相 交 弦 定 理 可 得
AE ? ED ? EB ? CE ,得到 AE.再利用 AP CD ,可得 AEP∽ FED ,得到 PE,进而得到 PB,再利用
切割线定理可得 PA ? PB ? PC 即可得出.
2

【题文】23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线 l 的参

? x ? 1 ? t cos? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ),曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4 cos? . ? y ? t sin ? (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,当 ? 变化时,求 AB 的最小值.
数方程为 ? 【知识点】简单曲线的极坐标方程 N3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) y ? 4 x (Ⅱ) AB 的最小值为 4
2

解析: (Ⅰ)由 ? sin

2

? ? 4 cos? ,得 ( ? sin ? ) 2 ? 4? cos?
2
2 2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x .????????5 分
2 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t sin ? ? 4t cos? ? 4 ? 0 .

设 A 、 B 两点 对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t 2 ?
页 10 第

4 cos ? 4 , t1 t 2 ? ? , 2 sin ? sin 2 ?

∴ AB ? t1 ? t 2 ? 当? ?

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ?

?
2

16cos2 ? 16 4 , ? ? 4 2 sin ? sin ? sin 2 ?

时, AB 的最小值为 4. ????????10 分

【思路点拨】 (1)利用 ?

? x ? ? cos? 即可化为直角坐标方程; ? y ? ? sin?

(2)将直线 l 的参数方程代入 y 2 ? 4 x ,利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出. 【题文】24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲: 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? log2 (a 2 ? 3a) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【知识点】带绝对值的函数 B1 【答案】 【解析】 (Ⅰ) {x | ?1 ? x ? 2} (Ⅱ) ? 1 ? a ? 0 或 3 ? a ? 4 解析: (Ⅰ)原不等式等价于

3 3 1 ? ? ? 1 ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 于? 或? 2 或? 2 2 2 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ?? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 3 1 3 1 解得: ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? . 2 2 2 2 即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} . ????????5 分
(Ⅱ)不等式 f ( x) ? log2 (a 2 ? 3a) ? 2 等价于 log2 (a 2 ? 3a) ? 2 ? | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | , 因为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 ,所以 f ( x) 的最小值为 4,
2 ? ?a ? 3a ? 0 于是 log2 (a ? 3a) ? 2 ? 4 即 ? 2 所以 ? 1 ? a ? 0 或 3 ? a ? 4 .?10 分 ? ?a ? 3a ? 4 ? 0

2

3 3 ? ? 1 ?x ? ?? ? x ? 【 思 路 点 拨 】( Ⅰ ) 不 等 式 等 价 于 ? 或 ? 2 或 2 2 ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6

1 ? ?x ? ? 分别求出这 3 个不等式组的解集,再取并集,即得所求. 2 ? ? ?? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6
(Ⅱ)不等式 f ( x) ? log2 (a ? 3a) ? 2 等价于 log2 (a ? 3a) ? 2 ? | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | ,
2 2

f ( x) 的最小值为 4,于是 log2 (a 2 ? 3a) ? 2 ? 4 即可求解.



11 第


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