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导数综合应用的做法和步骤技巧全解决篇

时间:2017-07-20


做导数大题,分四步来做-1、求定义域 2、判定单调性 3、求极值 4、求最值。下面是 对上面四步进行系统的分析。 1、求定义域, (无论我们做什么类的函数题,第一步必须是求定义域,在定义域内进行求 解和讨论,只有在定义域内讨论才有意义) 2、 函数求导并判断函数的单调性。方法是令导函数=0 求导用求导公式和求导的运算法 则,大家要把求导公式给背熟,这是导数类问题的基础。 划分单调

区间,除了导数为零的 点, 还要注意定义域内的不连续点和不可导点。 比如说不连续点 f(x)=(x-2)/(x-1)的平方。 这 函数求导之后,1 也是一个间断点。 说明一点:在某一区间,导数>0,能推出在此区间内函数为增函数,但是在某区间内函 数为增函数,推出的是导数>=0,但是导数不能恒等于 0 函数单调性的判定:对于大题中,导函数的形式一般有一次函数、二次函数、指数函 数和对数函数。主要拿二次函数来举例子,经常出现的导函数的形式就是二次函数 如果定义域为 R 内。 如果导函数是一次函数,斜率大于零,一定是先减后增,间断点为横轴的截距。如果 含有参数,讨论导函数根在定义域内,和定义域外 2 种情况来讨论参数。 如果导函数是二次函数,1。不含参数,直接利用二次函数的单调性质解。可用数轴 标根法。 2、含参数,判定 < 。若 < ≤ 0 ,则无极值点,如果二次项 系数>0 则增,反之减。 < >0,解除出函数的两个根,用数轴标根法(或者画出一次函数 的图像) ,注意要再定义域内来讨论。 如果是指对数函数,根据指对数函数的性质来讨论。 判断函数单调应的应用 2 点,函数极值判断和零点判断。 函数零点的判断,如果函数 在某一区间单调,且在区间的两端函数值异号,那么在这区间里一定存在零点。 3、判断函数的极值点,极值点的判定两个条件:1、导数 为零的点,既导数的根 2、导 函数的根两侧导数值异号。即先增后减为极大值, 先 减后增为极小值。 问大家一个问题:导数为零的点一定是极值点? 错,导函数的根两侧导数值异号。 可以列表看着直观,也可以不列出来 4、 由函数的最值, 可判断最值。 比较函数的极值和区间的端点大小, 最大的为函数最大值, 最小为函数最小值。1)如果函数在区间单调,那最大值和最小值在区间端点取,画个草图 解释。2)如果函数在区间只有一个极值,那一定是最大值或者最小值。3)如果区间内有 多个极值点,比较极值点和区间端点,取最大最小值。注意的是,极大值不一定比极小值 大,极小值也不一定比极大值小。 最值应用 2 个 1)求函数值域 2)不等恒成立的判定。一般的不等式恒成立的形式 f(x)>=k 可以求函 数的最小值来判定。或者 f(x)>=g(x)+k 可以构成函数 h(x)=f(x)-g(x)-k ,证明 h(x )最小值为零。等等。

特殊说明:1、如果遇到在函数上取两个点 x1 和 x2 的这种情况,对两点间一点进行讨论, 一定要将 x1,x2 带入原式子,一般情况下,对两个式子做差。然后令 X1/x2=t 消去 x1 和 x2,得到关于 t 的一个函数,再进行讨论。

已知 f(x)=xlnx(1)求 g(x)=(f(x)+k)/x(k∈R)的单调区间; (2)证明:当 x≥1 时,2x-e≤f(x) ≤x2-12 恒成立. 3)任取两个不相等的正数 x1 和 x2,且 x1<x2,若存在 x0>0 使得 f′(x)={f(x1)

-f(x2)}/x1-x2 成立,证明 x0>x1 答案见照片