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山大附中必考题型——斐波那契数列习题

时间:2017-10-24


斐波那契数列计算题 有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,...此数列的第 2010 项除以 8 的余数是 ___.
从第三项起每一项是前 2 项的和 前 6 个数除以 8 的余数分别是 1,1,2,3,5,0, 后面的数除 以 8 的余数则用前两个余数相加得到 即依次是 5,5,2,7,1,0,1,1,2,3,5,0,…… 则 循环周期是 1,1,2,3,5,

0,5,5,2,7,1,0, 共 12 个数一个周期,因为 2010÷12 余数 是 6 就相当于是第 6 个数的余数,即为 0

有一列数 1,2,3,5,8......从左往右第 100 个数是奇数还是偶数。要 算式
这些数其实是有规律的,除了前两位 1 和 2 之后,就是按:奇、奇、偶这样的顺序排列的,所以 有: (100-2)/3 =98/3 =32 余 2 所以第 100 个数是奇数。

有一列数 1、2、3、5、8、13、21......这列数中第 1001 个数除以 3, 余数是几?
依次算余数,发现 8 个数一组,是 12022101,所以第 1001 个余数是 1!

有 1 列数 1,2,3,5,8,13,21,34,55..从第三个数开始每个数是前 两个数的和,那么在前 1000 个数有多少奇
每 3 个数当中有 2 个奇数, 1000÷3=333 余 1 一共 333 组多 1 个 多的那个是第 334 组的第一 个,也是奇数 奇数一共有:333×2+1=667 个

有一列数 1,2,3,5,8,13,21.从第三个数起,每个数都是前面两个数的和,在前 20005 个数 中,偶数有多少个?
1,2,3,5,8,13,21,34,55..规律:奇 偶 奇 / 奇 偶 奇 / 奇 偶 奇/.20005÷3=6668 余 1 所以在前 20005 个数中,偶数有 6668 个

有一列数 1,1,2,3,5,8,13,21,34,从第三个数开始每一个数都是 它前面两个数的和,求这一列数的第 2006 个除以 4 后所得的余数?
1

如果硬算,那是算不出来的,所以,我们要找规律.1÷4 余 1,1÷4 余 1,2÷4 余 2,3÷4 余 3,5÷4 余 1,8 ÷4 余 0,13÷4 余 1,21÷4 余 1,34÷4 余 2,55÷4 余 3,89÷4 余 1,144÷4 余 0 余数是 1,1,2,3,1,0 这样循环的,把 2006÷6=334 余 2,那么,1,1,2,3,1,0 中的第 2 个是 1,答第 2006 个除以 4 后所得的 余数是 1

有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,34......从第 3 个数开始,每一个数都是它前 面 2 个数的和。那么在前 2008 个数中,有几个奇数
1339 个,顺序是:奇,奇,偶。最后一个也是奇数。 列式是:2008÷3=669……1 669×2+1=1339.

有一列数:1、1、2、3、5、8、13……,即第一、第二个数都是 1,从第三 个数起,每个数都是前面两个数的和,求第 2003 个数除以 3 的余数。
找规律,每个数除以 3 的余数分别是 1、1、2、0、2、2、1、0、%1、1、2,可以看出循环节长 度是 8,,第 2003 个就是第 3 个,余数是 2

+

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??

答案是 231.

+

34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584

答案是 6710

斐波那契数列前 a1+a2+a3+a4+a5.....+a10=11a7
2

下图是一个树形图的生长过程,依据图中所示的生长规律,第 16 行的实 心圆点的个数是 610

(新兔子数=上月成年兔

成年兔数=上月成年兔+上月新生兔)

空心代表幼兔,实心代表成年兔。 台阶问题: 一个楼梯共有 10 级台阶,规定每步可以迈一级台阶或二级台阶,从地面 到最上面一级台阶,一共可以有多少种不同的走法?
1 级台阶,有 1 种; 2 级台阶,有 1,1;2。2 种 3 级台阶,有 1,1,1;1,2;2,1。3 种 4 级台阶,有 1,1,1,1;1,1,2;2,1,1;1,2,1;2,2。5 种 5 级台阶,若第一次迈 1 级台阶,还剩 4 级,有几种? 若第一次迈 2 级台阶,还剩 3 级,有几种?

an? 2 ? an?1 ? an
一个楼梯共有 10 级台阶,规定每步可以迈一级台阶或二级台阶,最多可 以迈三级台阶。从地面到最上面一级台阶,一共可以有多少种不同的走 法?(89)
an ?3 ? an ? 2 ? an ?1 ? an

一只青蛙从宽 5 米的水田的一边要跳往另一边,它每次只能跳 0.5 米,或 1
3

米,这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法? (89 种)转化为台阶问题 (1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144) 有一堆火柴共 12 根, 如果规定每次取 1~3 根, 那么取完这堆火柴共有多 少种不同取法?(927 种)转化为台阶问题 (1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927)

如下图,小方和小张进行跳格子游戏,小方从 A 跳到 B,每次可跳 1 步或 2 步;小张从 C 跳到 D,每次可跳 1 步、2 步或 3 步。试比较:谁跳到目 标处的不同跳法多?多几种?(小方 144,小张 149)

A

C

B

D

在斐波那契数列的前 2010 项中,有多少个偶数?

末尾数循环问题: 在斐波那契数列的前 2010 项中,有多少项的末位数等于 2?
(斐波那契数列的个位数:一个 60 步的循环: 11235 , 83145 , 94370 , 77415 , 61785.38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910…,每个循环中有 4 个个 位是 2 的数,分别是 3 个,第 36 个,第 54 个,第 57 个) 需要记忆:
斐波那契数列的个位数为 60 步的循环,最后两位数是一个 300 步的循环,最后三位数是一 个 1500 步的循环,最后四位数是一个 15000 步的循环,最后五位数是一个 150000 步的循 环.

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蜜蜂进蜂房问题: 一次蜜蜂从蜂房 A 出发,想爬到、、……、n 号蜂房,只允许它自左向右 (不许反方向倒走)。则它爬到各号蜂房的路线多少?

斐氏推算: 蜂从 A 爬到 1 号蜂房有一条路;爬到 2 号蜂房又 2 条路(A→2 和 A→1→2)
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爬到 n 号蜂房的路线可分成两类: 1.不经过 n-1 号蜂房,而从 n-2 号蜂房直接爬进 n 号蜂房; 2.经 n-1 蜂房而爬进 n 号蜂房。 仿前例推算知: 从 A 到 n-2 号蜂房路线有 fn-1 条, 而从 A 到 n-1 号蜂房路线有 fn-1, 这样蜂从 A 爬到 n 号蜂房的路 线条数有:fn=fn-2+fn-1,(n≧2) 这恰恰与生小兔问题的结论一致,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

假定有一排蜂房,形状如图,一只蜜峰在左下角,由于受了点伤,只能爬行,不能飞, 而且始终向右方(包括右上、右下)爬行,从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去.例 如, 蜜蜂爬到 1 号蜂房的爬法有: 蜜蜂→1 号; 蜜蜂→0 号→1 号共有 2 种不同的爬法, 若蜜蜂从最初位置爬到 4 号蜂房共有 n 种不同爬法,则 n 等于______.

斐波那契数列与蜜蜂的家谱问题: 蜜蜂的“家谱”:蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有母亲,没有父亲, 因为蜂后所产的卵,受精的孵化为雌蜂(即工蜂或蜂后),未受精的孵化 为雄蜂。人们在追溯雄蜂的家谱时,发现 1 只雄蜂的第 n 代子孙的数目刚 好就是 Fibonacci 数列的第 n 项 fn。
♂ | ♀ 0

6

╱╲ ♀♂ ╱╲╲ ♀♂♀ ╱╲|╱╲ ♀♂♀♂♀ ╱╲|╱╲╲╱╲ ♀♂♀♂♀♀♂♀ ╱╱╱╱╱ ♂♂♂♂♂

1 1 2 3 5

斐波那契数列与三角形问题: 现有长为 144cm 的铁丝, 要截成 n 小段(n>2),每段的长度不小于 1cm, 如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则 n 的最大值为 10。
分析:由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边,因此不构成三角 形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为 1,因此可以放 2 个 1, 第三条线段就是 2(为了使得 n 最大,因此要使剩下来的铁丝尽可能长,因此每一条线 段总是前面的相邻 2 段之和),依次为:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各 数之和为 143,与 144 相差 1,因此可以取最后一段为 56,这时 n 达到最大为 10。

有 8 个自然数(可以相同),其中从中任意选 3 个作为长度,均不能 构成三角形,那么这 8 个自然数的和的最小值 54.
大多数植物的花,其花瓣数都恰是斐波那契数。例如,兰花、茉利花、百合花有 3 个花瓣,毛茛 属的植物有 5 个花瓣,翠雀属植物有 8 个花瓣,万寿菊属植物有 13 个花瓣,紫菀属植物有 21 个 花瓣,雏菊属植物有 34、55 或 89 个花瓣。 这是植物生长的动力学特性造成的;相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.50776 度;这使种 子的堆集效率达到最高。

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