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山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试数学


青岛市高三统一质量检测

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项:
2 参考公式:球的表面积为: S ? 4? R ,其中 R 为球的半径.

第Ⅰ卷(选择题
目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 A. 2

60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

2i 的实部为 1? i B. ? 2 C. 1

D. ? 1

2. 设全集 U ? R ,集合 M ? x | y ? lg( x 2 ?1) , N ? ? x | 0 ? x ? 2? ,则 N ? (? M ) ? U A. ? x | ?2 ? x ? 1? B. ? x | 0 ? x ? 1? C. ? x | ?1 ? x ? 1? D. ? x | x ? 1?

?

?

3. 下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是 A. y ? sin( x ? 2

?
2

)

B. y ? cos( x ? 2

?
2

)

C. y ? sin( ? x

?
2

)

D. y ? cos(x ?

?
2

)

4. 设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, a1 ? 2, a5 ? 3a3 ,则 S9 ? A. 90 B. 54 C. ? 54 D. ?72

5. 已知 m 、 n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n //? D.若 m // n, n ? ? ,则 m ? ? 6. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的 圆,则这个几何体的表面积是 A. 16? B. 14?
2

正视图

左视图

C. 12?

D. 8?
俯视图

7. 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,点为抛物线上一点,且 在第一象限, PA? l ,垂足为 A ,则直线 AF 的倾斜角等于

2? 3? 5? C. D. 3 4 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8. 若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 b ? a 的夹角为
A.

7? 12

B.

5? ? 2? C. D. 6 3 3 ? x, x ? 0 9. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围为 ? x ? x, x ? 0
A.

? 6

B.

A. [? ,1]

1 2

B. [? ,1)

1 2

C. (? ,0)

1 4

D. (?

1 , 0] 4
2

10. 已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n ,则二项式 ( x ? ) n 展开式中 x 项的系数为 A. 15 B. ?15 C. 30 D. ?30

1 x

11. 已知函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x ) = f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时其导函数 f ?( x) 满足

xf ?( x) ? 2 f? ( x),若 2 ? a ? 4 则
a A. f (2 ) ? f (3) ? f (log 2 a ) a C. f (log 2 a ) ? f (3) ? f (2 ) a B. f (3) ? f (log 2 a ) ? f (2 ) a D. f (log 2 a ) ? f (2 ) ? f (3)

12. 定义区间 (a, b) , [a, b) , (a, b] , [a, b] 的长度均为 d? ? ,多个区间并集的长度为各区间长度 b a 之 和 , 例 如 , (, 2 [, 5的 长 度 d 2 ? 3 . 用 [ x ] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 记 1 ) 3 ) ? ? 1 5)3 ( )( ? ? ?

{} x [ ] x ? ?x,其中 x? R .设 f() []{ , gx ? ? ,当 0 ? x ? k 时,不等式 f( )? ( )解集区 x? ? x x } () x 1 x gx
间的长度为 5 ,则 k 的值为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 网

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 某程序框图如右图所示,若 a ? 3 ,则该程序运行后,输出的 x 值为 ; 14. 若 是

开始

n ? 1, x ? a

?

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的值 1 x
a

n ? n ?1 n?3
否 输出 x 是

;

x ? 2x ? 1

? x2 ? y 2 ? 4 ? 15. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y ? y?0 ?
的最大值是 16.给出以下命题: ;

结束

y2 ? x 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x ; ① 双曲线 2
② 命题 p : “ ?x ? R , sin x ?
+

1 ? 2 ”是真命题; sin x

? ③ 已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2 x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位 ;
④ 设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若,则 P(?1 ? ? ? 0) ? 0.6 ; ⑤ 已知

2 6 5 3 7 1 10 ?2 ? ? 2, ? ?2, ? ? 2, ? ? 2 ,依照以上各式 2?4 6?4 5? 4 3? 4 7 ? 4 1? 4 10 ? 4 ?2 ? 4
n 8?n ? ? 2 , n ? 4) ( n ? 4 (8 ? n) ? 4
(写出所有正确命题的序号) .

的规律,得到一般性的等式为 则正确命题的序号为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 [0,

?
3

C

] 上单调递增,在区间
B

? 2? [ , ] 上单调递减;如图,四边形 OACB 中, a , b , c 为 △ABC 的 3 3
内角 A B,C 的对边,且满足 ,

4? ? cos B ? cos C sin B ? sin C ? 3 . sin A cos A
(Ⅰ)证明: b ? c ? 2a ;

?
O

A

(Ⅱ)若 b ? c ,设 ?AOB? ? , (0 ? ? ? ? ) , OA ? 2OB ? 2 ,求四边形 OACB 面积的最大值. 18. (本小题满分 12 分) 现有长分别为 1m 、 2m 、 3m 的钢管各 3 根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号) ,从中随 机抽取 n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的, 1 ? n ? 9 ) ,再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根. (Ⅰ)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相 等},求 P ( A) ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,若用 ? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不 计),①求 ? 的分布列; ②令? ? ?? 2? ? ? ?1 , E (? ) ? 1 ,求实数 ? 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分)
A D

D1 B1

C1

E

C
B

F

如图,几何体 ABCD ? BC1D1 中,四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , AB ? a , 1
?

面 B1C1D1 ∥面 ABCD , BB1 、CC1 、DD1 都垂直于面 ABCD ,且 BB1 ? 的中点. (Ⅰ)求证: ?DB1E 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分)
? 已知 n ? N ,数列 ?d n ?满足 d n ?

2a ,E 为 CC1 的中点,F 为 AB

3 ? (?1) n ,数列 ?an ?满足 an ? d1 ? d2 ? d3 ????? d2n ;又知数列 ?bn ?中, 2

n b1 ? 2 ,且对任意正整数 m, n , bnm ? bm .

(Ⅰ)求数列 ?an ?和数列 ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)将数列 ?bn ?中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项,……,第 an 项,……删去后,剩余的项按从小到大的 . . . . 顺序排成新数列 ?c n ?,求数列 ?c n ?的前 2013 项和. 21. (本小题满分 13 分)
x 已知向量 m ? (e , ln x ? k ) ,n ? (1, f ( x )) ,m / / n( k 为常数, e 是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在

??

?

??

?

点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直, F ( x) ? xex f ?( x) . (Ⅰ)求 k 的值及 F ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)已知函数 ( a 为正实数),若对于任意 x2 ?[0,1] ,总存在 x1 ? (0, ??) , 使得 g ( x2 ) ? F ( x1 ) ,求实 数 a 的取值范围 . 22. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,离心率为 ,其右焦点为 F ,过点 B(0, b) 作直线交椭 2 a b 2

圆于另一点 A . (Ⅰ)若 AB ? BF ? ?6 ,求 ?ABF 外接圆的方程;

??? ??? ? ?

x2 y 2 1 (Ⅱ)若过点 M (2, 0)的直线与椭圆 N : 2 ? 2 ? 相交于两点 G 、 H ,设 P 为 N 上一点,且满足 a b 3

???? ???? ??? ? ??? ???? 2 5 ? OG ? OH ? tOP ( O 为坐标原点) ,当 PG ? PH ? 时,求实数 t 的取值范围. 3

青岛市高三统一质量检测

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. CBACD ABBCA CB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 31 14. 2 15. 2 5 16.①③⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答 时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

4? 3 ,解得: ? ? , ? 3 2 sinB ? sinC 2 - cos B - cosC ? ? sin A cos A
解: (Ⅰ)由题意知:

2?

?

……………………………2 分

?sinB cos A ? sinC cos A ? 2 sin A - cosB sin A - cosC sin A ?sinB cos A ? cosB sin A ? sinC cos A ? cosC sin A ? 2 sin A
? sin ( A ? B) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A ………………………………………………………4 分

?sinC ? sinB ? 2 sin A ??b ? c ? 2a …………………………………………………6 分
(Ⅱ)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ABC 为等边三角形

1 3 SOACB ? S?OAB ? S?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4
……………………………………………9 分

……………………………8 分

? sin ? - 3 cos ? ?
?? ? (0,? ) ,?? 当且仅当 ? -

5 3 ? 5 3 , ………………………………………10 分 ? 2sin (? - ) ? 4 3 4

?

? 2? ?(- , ), 3 3 3
5 3 5? 时取最大值, SOACB 的最大值为 2 ? ………………12 分 4 6

?
3

?

?
2

即 ,??

18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件, P( A) ? (Ⅱ)① ? 可能的取值为 2, 3, 4, 5, 6
1 1 C3C32C6 9 ? ………………………………………4 分 3 C9 14

P(? ? 2) ?

C32 1 ? C92 12

P (? ? 3) ?

1 1 C3C3 1 ? C92 4

1 1 C32 ? C3C3 1 P (? ? 4) ? ? C92 3

1 1 C3C3 1 P (? ? 5) ? 2 ? C9 4

[来源:Zxxk.Com]

C32 1 P(? ? 6) ? 2 ? C9 12
∴ ? 的分布列为:

?
P

2

[来源:学*科*网]

3

4

5

6

1 12

1 4

1 3

1 4

1 12

……………………………………………………9 分 ② E (? ) ? 2 ?

1 1 1 1 1 ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 4 12 4 3 4 12

………………………………10 分

?? ? ?? 2? ? ? ?1,?E(?) ? ??2 E(? ) ? ? ?1 ? ?4? 2 ? ? ? 1
? E (? ) ? 1 ,??4? 2 ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ? ? ?
19. (本小题满分 12 分) 解: (I)连接 BD ,交 AC 于 O ,因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,所以 BD ? a
?

1 ………………………………………… 12 分 4

因为 BB1 、 CC1 都垂直于面

ABCD ,? BB1 // CC1 ,又面 B1C1D1 ∥面
所以四边形 BCC1B1 为平行四边形 ,则

z
D1

C1 B1
E

ABCD ,

B1C1 ? BC ? a ……………………………2 分
因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,

H
D


C

DB1 ? DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a
a 6a DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ? ? 2 2
2

[来

O

源:Z,xx,k.Com]

x A

F

B

y

a2 6a B1 E ? B1C ? C1 E ? a ? ? …4 分 2 2
2 1 2 2

所以 DE ? B1 E ?
2 2

6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 4

所以 ?DB1E 为等腰直角三角形

………………………………………………5 分

(II)取 DB1 的中点 H ,因为 O, H 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OH ∥ BB1 以 OA, OB, OH 分别为 x, y, z 轴建立坐标系, 则 D(0, ?

[来源:学科网 ZXXK]

a 3 2 a 3 a , 0), E (? a, 0, a), B1 (0, , 2a), F ( a, , 0) 2 2 2 2 4 4 ??? ? ???? 3 a 2 3 3 a, , a), DF ? ( a, a,0) ………………7 分 2 2 2 4 4

所以 DB1 ? (0, a, 2a), DE ? (?

???? ?

设面 DB1E 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 n1 ? DB1 ? 0, n1 ? DE ? 0 ,即 ay1 ? 2az1 ? 0 且 ?

??

?? ???? ?

?? ??? ?

3 a 2 ax1 ? y1 ? az1 ? 0 2 2 2

令 z1 ? 1,则 n1 ? (0, ? 2,1) ………………………………………………………………9 分 设面 DFE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 则 n2 ? DF ? 0, n2 ? DE ? 0 即 令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1, ?

??

?? ?

?? ???? ?

?? ??? ? ?

3 3 3 a 2 ax2 ? ay2 ? 0 且 ? ax2 ? y2 ? az2 ? 0 4 4 2 2 2
……………………………………………………11 分

?? ?

3 2 6 , ) 3 3

?? ?? ? 则 cos n1 , n2 ?

6 2 6 ? 2 2 3 3 ,则二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值为 …12 分 ? 2 2 1 8 3 ? 1? ? 3 3

20. (本小题满分 12 分) 解:? d n ?

3 ? (?1) n 3 ? 2n ,? an ? d1 ? d2 ? d3 ????? d2n ? ? 3n …………………3 分 2 2
………………5 分

2 2 3 3 n n 又由题知:令 m ? 1 ,则 b2 ? b1 ? 2 , b3 ? b1 ? 2 ? bn ? b1 ? 2 n m nm n mn m n 若 bn ? 2 ,则 bn ? 2 , bm ? 2 ,所以 bn ? bm 恒成立 n m n n 若 bn ? 2 ,当 m ? 1, bn ? bm 不成立,所以 bn ? 2

……………………………………6 分

(Ⅱ)由题知将数列 ?bn ?中的第 3 项、第 6 项、第 9 项……删去后构成的新数列 ?c n ?中的奇数列与偶数 列仍成等比数列,首项分别是 b1 ? 2 , b2 ? 4 公比均是 8, …………9 分

T2013 ? (c1 ? c3 ? c5 ????? c2013 ) ? (c2 ? c4 ? c6 ????? c2012 )

?

2 ? (1 ? 81007 ) 4 ? (1 ? 81006 ) 20 ? 81006 ? 6 ? ? …………………………………………12 分 1? 8 1? 8 7
1

? ln x ? k 1nx ? k ? f ?( x) ? x 21. (本小题满分 13 分)解: (I)由已知可得: f ( x ) = , ex ex

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 …………………………………………………………2 分 e

1 ? F ( x) ? xex f ?( x) ? x( ? ln x ? 1) ? 1 ? x ln x ? x 所以 F ?( x) ? ? ln x ? 2 …………3 分 x
由 F ?( x) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? 0 ? x ? 由 F ?( x) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? x ?

1 , e2

1 e2
………………………………………5 分

? F ( x) 的增区间为 (0,

1 1 ] ,减区间为 [ 2 , ??) 2 e e

(II)? 对于任意 x2 ?[0,1] ,总存在 x1 ? (0, ??) , 使得 g ( x2 ) ? F ( x1 ) ,

? g( x)max ? F ( x)max
由(I)知,当 x ?

……………………………………………………………………6 分

1 1 1 时, F ( x) 取得最大值 F ( 2 ) ? 1 ? 2 .………………………………8 分 2 e e e

对于 g( x) ? ?x2 ? 2ax ,其对称轴为 x ? a
2 当 0 ? a ? 1 时, g ( x ) max ? g ( a ) ? a , ? a 2 ? 1 ?

1 ,从而 0 ? a ? 1 ………………10 分 e2 1 1 ,从而 1 ? a ? 1 ? 2 ……12 分 2 e 2e

当 a ? 1 时, g( x)max ? g(1) ? 2a ?1, ? 2a ? 1 ? 1 ? 综上可知: 0 ? a ? 1 ?

1 ………………………………………………………………13 分 2e2
c 2 2 2 2 ,又 a ? b ? c , ? a 2

22. (本小题满分 13 分)解:(Ⅰ)由题意知: c ? 3 , e ? 解得: a ?

x2 y 2 ? ?1 …………………………2 分 6 3 ??? ? ??? ? 可得: B (0, 3) , F ( 3, 0) ,设 A( x0 , y0 ) ,则 AB ? (? x0 , 3 ? y0 ) , BF ? ( 3, ? 3) , ??? ??? ? ? ? AB ? BF ? ?6 ,?? 3x0 ? 3( 3 ? y0 ) ? ?6 ,即 y0 ? x0 ? 3
6, b ? 3 ? 椭圆 C 的方程为:

? 4 3 ? x0 2 y0 2 ? x0 ? ? ?1 ? x0 ? 0 ? ? ? 3 3 ?? 由? 6 ,或 ? ? y0 ? ? 3 ?y ? x ? 3 ?y ? 3 ? 0 ? 0 ? 0 3 ?

即 A(0, ? 3) ,或 A(

4 3 3 , ) 3 3

…………………………………………………………4 分

①当 A 的坐标为 (0, ? 3) 时, OA ? OB ? OF ? 3 , ?ABF 外接圆是以 O 为圆心, 3 为半径的圆, ? 即 x2 ? y2 ? 3 ……………………………………………………………5 分 ②当 A 的坐标为 (

4 3 3 , ) 时, kAF ? 1 , kBF ? ?1 ,所以 ?ABF 为直角三角形,其外接圆是以线段 AB 3 3
2 3 2 3 1 15 , , ) ,半径为 AB ? 3 3 2 3 2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3 2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? ……7 分 3 3 3

为直径的圆,圆心坐标为 (

??ABF 外接圆的方程为 ( x ?

综上可知: ?ABF 外接圆方程是 x2 ? y2 ? 3 ,或 ( x ? (Ⅱ)由题意可知直线 GH 的斜率存在.

设 GH : y ? k ( x ? 2) , G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) , P ( x, y )

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得: (1? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ? 2
由 ? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ?1)(8k 2 ? 2) ? 0 得: k 2 ?

1 (?) 2

…………………… …9 分

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ???? 2 5 ? ???? 2 5 2 5 2 ,? HG ? 即 1 ? k x1 ? x2 ? ? PG ? PH ? 3 3 3

1 ,结合( ? )得: ………………………… ……………………11 分 4 ???? ???? ??? ? ?OG ? OH ? tOP ,?( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) ?k2 ?
从而 x ?

y ? y2 1 ?4k x1 ? x2 8k 2 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? ,y? 1 ? 2 t t t (1 ? 2k 2 ) t t (1 ? 2k )

? 点 P 在椭圆上,?[
即t ? 8?
2

8k 2 ?4k 2 ]2 ? 2[ ] ? 2 ,整理得: 16k 2 ? t 2 (1? 2k 2 ) 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )

2 6 2 6 8 ,??2 ? t ? ? ,或 ? t ? 2 ………………………………13 分 2 3 3 1 ? 2k


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