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数学必修五数列知识总结


数列知识总结
一.要点提示: 1.数列的定义:按一定次序排列的一列数 数列是定义在正整数集或其有限子集{1,2,3,…,

n}上的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值.
数列的分类:①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 均有

an?1 ? an .②递减数列:对于任何 n ? N ? ,

an 使得 an ? M .

an?1 ? an .③摆动数列:例如: ? 1,1,?1,1,?1, ?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数

列:存在正数 M 使

an ? M , n ? N ?

.⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项

2.数列的通项公式和前 n 项和:对于任意数列 ?an ?,其通项 an 和它的前 n 项和 S n 之间的关系 是: an ? ?

(n ? 1) ?S1 , ?S n ? S n?1 (n ? 2, n ? N *)

3.求数列通项公式的方法: ①观察法:找项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式 an ,注意利用前几项得出的通项 公式不一定唯一 ②利用通项 an 和它的前 n 项和 S n 之间的关系(详见后面); ③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解 ④已知递推公式:迭加,迭乘,待定系数法等(详见后面) 4.证明一个数列是等差数列,常用的两种基本方法 :⑴定义法: .... 是常数) ?

an?1 ? an ? d ( n ? N ? ,d

?an ? 是等差数列;⑵中项法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列;

a n ?1 ?q a n 证明一个数列是等比数列,常用的两种基本方法 :⑴定义法: ( n ? N ? ,q ? 0 ....

?a ? a ? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?an ? 是等 是常数) ? n 是等比数列;⑵中项法: n?1
2

比数列.

(注意:通项的特点与前 n 项和的特点只用于判断,不用于证明其为等差数列)
5.等差数列的性质: (1)数列

a ?a ?an ?为等差数列, 则an ? am ? (n - m)d,或 d ? n m n?m

(2)数列 (3)数列

?an ?为等差数列的充要条件是:其通项公式可以写成 a

n

? a * n ? b (a,b 为实常数)

?an ?为等差数列的充要条件 2an ? an?1 ? an?1 ,推广 2an ? an?k ? an?k (n>k>0)

(4)数列 (5)数列

?an ?为等差数列:若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ?an ?为等差数列,去掉前 m 项,剩下的项构成等差数列 ?an ? 为等差数列,则每隔 k 项取 m 项的和仍构成等差数列

推广:数列 (6)数列

?an ?是公差为 d 的等差数列,则奇(偶)数项构成公差为 2d 的等差数列 ?an ? 为 公 差 为
d 等差数列:则在数列中每隔 k 项取一项构成的数列 是公差为 (k ? 1)d 的等差数列

推广①:数列

a1 ,ak+2 ,a2k+3 ,a3k+4
推广②:数列 (公差为 kd) (7)数列

, …

?an ? 是公差为 d 的等差数列,则项下标成等差数列(公差为 k)的项也成等差数列

?an ? , ?bn ? 项数相同的等差数列:则 ?kan ? m? , ?pan ? qbn ?, ?pan ? q?( p, q, m 为常
? an2 ? bn(a, b为常数)
m 项之和构成的数列 )为等差数列,公差 ;

数)仍为等差数列 (8)数列

?an ?为等差数列,其前 n 项和 S n 可以写成 S ?an ? 为等差数列 : 则数列中依次每连续
(即

n

(9) 数列

(10)数列

?an ?为等差数列: S 奇 表示奇数项的和, S 偶 表示偶数项的和,
S 奇 - S 偶 = nd, S 奇 / S 偶 = an/an+1;

若项数为 2n 项时, 则有 若项数为 2n-1 项时,则有

S 奇 - S 偶 = an , S 奇 / S 偶 = n/(n-1), S 2n?1 ? (2n ? 1)an

? Sn ? ? ?a ? S 则? ?n ? (11) 若等差数列 n 的前 n 项和 n , (即
6.等比数列的性质: (1)数列 (2)数列 (3)数列

) 为等差数列, 公差为

.

?an ?为等比数列: an ? a1q n?1 , am ? an q m?n , an 2 ? an?m ? an?m ?an ?为等比数列:
an ? an?1 ? an?1 ,推广 an ? an?m ? an?m (n>m>0)
2 2

?an ?为等比数列: m ? n ? p ? k ,则 am ? an ? a p ? ak

(4)数列

?an ?为等比数列,取掉前若干项,剩余的项也构成等比数列 ?an ? 为等比数列,则每隔 k 项取 m 项的和(积)仍构成等比数列

推广:数列 (5)数列

?an ?为等比数列,则奇(偶)数项构成等比数列 ?an ? 为公比为
q 等比数列:则在数列中每隔 k 项取一项构成的数列是公比为

推广①:数列

q k ?1 的等比数列
推广②:数列 (6) 数 列

?an ?为等比数列,则项数成等差数列的项成等比数列
为项数相同(可以都是无穷数列)的等比数列:则

?an ? , ?bn ?

{

a 1 ? ?? ? k } , { n } , kan , an ? bn , an 为常数)等仍为等比数列 an bn

? ?

(7)数列 (8)数列

?an ?为公比为 q(q≠±1)的等比数列:则数列中连续 k 项之和(积)构成的数列是等比数列 ?an ?为等比数列: ( S 奇 表示奇数项的和, S 偶 表示偶数项的和)
S偶 S奇 / = q;
S 奇 - a1 )/ S 偶 = q

若项数为 2 n 项时,则有

若项数为 2 n -1 项时,则有( (9)递推公式为

an?1 ? pan ? q( p ? 1) 的递推数列{an } ,都可以转化为

an?1 ?

q ? p ?1

? q ? p ? an ? ? p ? 1 ? 从而构造等比数列 ?

7.等差数列与等比数列比较:

名称 定义 通项公 式

等差数列

等比数列

an+1―an=d ? ?an ? 为等差数列 an = a1+(n-1)d = am+(n-m)d
Sn ?

an?1 ? q(q ? 0) ? ?an ? 为等比数列 an

an= a1qn-1= amqn-m
?q ? 1? , ?na1 ? n S n ? ? a1 1 ? q a1 ? a n q ?q ? 1?. ? 1? q ? 1? q ?

n?a1 ? a n ? 前 n 项和 2 n?n ? 1? 公式 ? na1 ? d 2 a,A,b 成等差数列 a?b 中项 ,或 2A=a+b. ? A? 2
8.等差数列与等比数列的关系: (1)各项为正的等比数列

?

?

a,G,b,成等比数列
? G ? ? ab ,或

G2=ab

?an ? ,其对数数列{loga an }(a ? 0, a ? 1) 为等差数列

an { C }(C 为正常数)为等比数列 ? ? a n (2)数列 为等差数列,则数列

9 数列求和的一般方法(结合于具体的示例讲解): ①倒序求和法:(等差数列的求和); ②错位相减法:适用于差比数列(如果
2 3 4

?an ? 等差,?bn ? 等比,则?anbn ? 叫做差比数列)
n

例 1:求和: a ? 2a ? 3a ? 4a ? ? ? na (n ? N*)

? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? a ? a ? a ?a ? n ?1 ? ? (其中 ?an ? 等差)。可裂项为: ③裂项相消法: 适用于数列 ? n n ?1 ? 和 ? n

1 1 1 1 1 1 ? ( an?1 ? an ) ? ( ? ) an ? an ?1 d an an ?1 , an ? an?1 d
;(小技巧:消项前把加项写在一起,把减项放在一起,便于看出消项的规律)
1 1 1 1 ? ? ??? 1 ? 3 3 ? 5 5 ? 7 ( 2 n ? 1 ) ? (2n ? 1) 例 2:求和:

} 例 3:求数列 n ? n ? 1 的前 n 项和 ④通项化归法:(化出通项,由通项确定求和方法,一般可以裂项);

{

1

1 1 1 , ,? , ,? S 1? 2 ? 3 ?? ? n 例 4:求数列: 1 ? 2 1 ? 2 ? 3 的前 n 项和 n 1,
⑤公式法:(应用等差或等比数列的求和公式直接来求解)

⑥分组求和法:(将一个数列分成几组,每组都可以用等差数列及或等比数列的求和公式来求解);

1 1 1 1 2,2 ,3 ,4 , ?, n ? n ?1 , ? 2 4 8 2 例 5:求数列 的前 n 项之和
⑦∑求和记号法 用

?a
k ?1

n

k

=

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

已知:

?i ?
i ?1

n

n(n ? 1) n 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n 3 ? n(n ? 1) ? , ?i ? , ?i ? ? ? , 2 6 ? 2 ? i ?1 i ?1

2

注:(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 证明 1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 ) : (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1, n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 .......... 3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1. 把这 n 个等式两端分别相加,得: (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n, 由于 1+2+3+...+n=(n+1)n/2, 代入上式得: n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n 整理后得: 1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1 ? 2 2 ? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 2 ? ? ? n(n ? 1) 2 ?
例 7: 若 a,b,c 的值

n(n ? 1) (an 2 ? bn ? c) 12 , 对 n∈N 恒成立,求

补充: 等差数列前 n 项和的最值问题: 1、若等差数列?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最大值。

?a ? 0 (ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最大 ? ? n ; ?an ?1 ? 0

(ⅱ)若已知 Sn ? pn2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ?

q 的非零自然数时 Sn 最大; 2p

2、若等差数列?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最小值

?a ? 0 (ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最小 ? ? n ; ?an ?1 ? 0
(ⅱ)若已知 Sn ? pn2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ? 根据递推公式求通项: 1、构造法: 1 ° 已知 a1的值 , 递推关系形如“ an?1 ? pan ? q( p ? 1) ” ;它们都可以转化为
q 的非零自然数时 Sn 最小; 2p

an?1 ?

q ? p ?1

? q ? p ? an ? ? p ? 1 ? 从而构造等比数列 ?

【例题】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式. 2°已知 a1的值 ,递推关系形如“ an?1 ? pan ? qn ( p ? 1) ,两边同除 pn?1 都可以转化为
an ?1 an 1 ? q ? ? ? ? ? ? ( p ? 1) 从而迭加,利用等比数列前 n 项和公式求解 p n ?1 p n p ? ? p?
n

【例题】 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?an ? 的通项公式. 3°数列 ?an ? 中,已知 a1 , a2的值 ,递推关系形如“ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an ”, 利用待定系数法求解,就是设待定系数 m,n,把关系式化为 根据 an?2 ? p ? an?1 ? q ? an 得出 m,r 的值, an?2 ? man?1 ? r(an?1 ? man ) , 易知 an?1 ? man 是等比数列,从而可得 an?1 ? -man ? (a2 ? ma )r n?1 ,将问题转化为类型 2; 1 或者用特征根法求解,递推公式为 an?1 ? pan ? qan?1 , 其特征方程为

x 2 ? px ? q即x 2 ? px ? q ? 0 ,
①若方程有两相异根 s1 、 s2 ,则 an ? c1s1 ? c2 s2 ; ②若方程有两等根 s1 ? s 2 ,则 an ? (c1 ? nc2 )s1 . 其中 c1 、 c2 可由初始条件确定。 【例题】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求数列 ?an ? 的通项公 式. 4°递推关系形如" an ? pan?1 ? qan an? ,两边同除以 an an ?1 ,从而可以转化为 ( 1 p,q ? 0) 1 类型一,求出 ,进而求出 an an 【例题】已知数列 ?an ? 中,an ? an?1 ? 2an an? an ? 的通项公 ( 1 n ? 2),a1 ? 2 ,求数列 ? 式. 【例题】数列 ?a n ?中, a1 ? 2, an ?1 ? 2、迭代法(迭加法或迭乘法): a、⑴已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭加法或迭代法; an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 【例题】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式 a a a a a b、 已知关系式 an?1 ? an ? f (n) , 可利用迭乘法. an ? n ? n ?1 ? n ?2 ? ? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ?2 an ?3 a2 a1 a n ?1 【例题】已知数列?an ? 满足: n ? (n ? 2), a1 ? 2 ,求求数列 ?an ? 的通项公式; an?1 n ? 1
(n ? 1) ?S 3、 给出关于 Sn 和 an?1或Sn和an?2 的关系; (利用 an ? ? 1 , 求解) ( n ? 2 , n ? N *) S ? S n n ? 1 ?
2a n (n ? N ? ) ,求数列 ?a n ?的通项公式. 4 ? an
n
n n

【例题】设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) ,设

bn ? Sn ? 3n ,
求数列 ?bn ?的通项公式.

典型例题: A、求值类的计算题(多关于等差等比数列)

1)根据基本量求解(方程的思想) 【例题】已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a4 ? 9, a9 ? ?6, Sn ? 63 ,求 n ; 2)根据数列的性质求解(整体思想) 【例题】已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 54 , S2 n ? 60 ,则 S 3n ? B、求数列通项公式(参考前面根据递推公式求通项部分) C、证明数列是等差或等比数列 1)证明数列等差 【例题】已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,bn ? 差数列. 2)证明数列等比 【例题】数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,若 an+Sn=n.设 cn=an-1,求证:数 列{cn}是等比数列; D、求数列的前 n 项和 【例题 1】求数列{2n ? 2n ? 3} 的前 n 项和 Sn .(拆项求和法) 【例题 2】求和:S=1+
1 1 1 ? ??? (裂项相消法) 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n
Sn ( n ? N ? ) .求证:数列 ?bn ?是等 n

.

x2 1 1 【例题 3】设 f ( x ) ? ,求:⑴ f ( 1 4 ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ; 1 ? x2
1 1 1 ⑵ f ( 2010 ) ? f ( 2009 ) ? ?? f ( 1 ) ? f (2010 ). (倒序相 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? ? ? f (2009

加法) 【例题 4】若数列 ?a n ?的通项 an ? (2n ? 1) ? 3n ,求此数列的前 n 项和 Sn .(错位相减 法) 【例题 5】已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.(利用 二次函数图像的性质求解) E、数列单调性最值问题

【例题】数列 ?an ? 中,an ? 2n ? 49 ,当数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最小值时 n 的值


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